吳紅霞

(江蘇省南京市第九中學(xué),210018)

數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部是有機(jī)聯(lián)系、縱橫交錯的,很多問題,解題視角廣、方法多,即使求解合理正確,未必就是最佳思路.因此,平時在解決問題成功時,不能就此罷手,更應(yīng)深入探究,反思回顧,多視角、多層面探究和思考,尋求一題多解,沖破桎梏,揭示題目內(nèi)部規(guī)律,撥開迷霧,加強(qiáng)對問題的領(lǐng)悟. 本文以一道高三?？继羁疹}為例進(jìn)行分析,以求沖破思維的禁錮,培養(yǎng)發(fā)散性思維能力,提升分析問題、解決問題的能力.

一、原題呈現(xiàn)

二、解法探究

視角1解三角形視角

解法1(利用正弦定理和余弦定理)

在?ABP和?BCP中分別使用正弦定理，得

①

②

③

在?APC中,由余弦定理，得 22=PA2+PC2-2PA·PC·cos 135° .

④

分析2由于AB=BC,則S?ABP=S?BCP,從而由等面積法得到PA和PC的關(guān)系,再結(jié)合?APC中余弦定理利用方程思想求出PA和PC.

解法2(利用等面積法和余弦定理)

解法3(設(shè)角變量利用正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系)

故PB=sinθ=cosθ-sinθ,

即 2sinθ=cosθ.

又sin2θ+cos2θ=1,θ∈(0,π),

評注視角1的三種解法源于對數(shù)量積運算的不同轉(zhuǎn)化,分別借助多次使用正、余弦定理解三角形,聯(lián)立方程組得解,需要理順圖形中的各種邊角關(guān)系,屬于常規(guī)思路,也是學(xué)生的常用方法.

視角2平面幾何視角

分析4在圖2中,過點C作CD∥PA，與PB的延長線交于點D, 結(jié)合題中已知條件，可得等腰直角三角形PDC,進(jìn)而解直角三角形即可.

解法4(利用勾股定理)

如圖2,過點C作CD∥PA與PB的延長線交于點D, 即PA∥CD,從而∠APB=∠PDC=90°,又AB=BC,則PB=BD,PA=CD.

分析5在圖3中,過點C作CE∥PB與AP的延長線交于點E.結(jié)合題中已知條件可得等腰直角三角形PEC, 進(jìn)而解直角三角形即可.

解法5(利用勾股定理)

如圖3,過點C作PB平行線與AP的延長線交于點E,即PB∥EC,從而∠APB=∠AEC=90°.

又AB=BC,則AP=PE,EC=2PB.

解法6如圖4,過點A作PC的平行線與PB的延長線相交于點H,即PC∥AH,由AB=BC,得

PB=BH,AH=PC,

評注利用題中已知直角通過作平行線構(gòu)造直角三角形是本方法的關(guān)鍵,利用勾股定理解直角三角形是根本.

視角3解析法視角

分析7坐標(biāo)法也是解三角形和向量問題的常規(guī)方法,而且坐標(biāo)法有思維量小的優(yōu)勢,幾乎不需多想,只需找到解相關(guān)點坐標(biāo)的條件即可,這是要讓學(xué)生重視且要加強(qiáng)訓(xùn)練的方法.

解法7(利用坐標(biāo))

如圖5,以點P為坐標(biāo)原點,PA所在直線為x軸,PB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(a,0),B(0,b).

由題意知點B為AC中點,從而C(-a,2b).

又由∠BPC=45°得直線PC方程為

y=-x,則a=2b.

①

又AB=1,則a2+b2=1.

②

評注由題目條件中已知直角很容易聯(lián)想到坐標(biāo)法,建立坐標(biāo)系時可以根據(jù)需要調(diào)整圖形方向. 坐標(biāo)法的優(yōu)勢是思維量小,化圖形問題為坐標(biāo)計算,方法的關(guān)鍵是找到解相關(guān)點坐標(biāo)的條件.

三、解題反思

這是一道可以有效訓(xùn)練學(xué)生思維的好題,通過這一道題目,可以復(fù)習(xí)正、余弦定理，平面向量等多個知識點,加深鞏固解三角形、幾何法、坐標(biāo)法等多種基本思想方法,同時也加強(qiáng)了向量運算、幾何運算、坐標(biāo)運算等相關(guān)運算能力,能根據(jù)題目的特點選擇對應(yīng)的運算途徑也是要形成的能力之一.當(dāng)然,運算能力離不開思維能力,有什么樣的思維就有什么樣的運算,多思考就少運算,少思考就多運算.

著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出:“好題目和某種蘑菇有點相似:它們都是成串成長,找到一個以后,我們應(yīng)該看看,很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而當(dāng)解完一道題以后,要不斷領(lǐng)悟反思,多視角切入進(jìn)行深度挖掘,從而達(dá)到一題多解、觸類旁通的效果. 通過典型實例的一題多解,使得解題思路更加開闊,數(shù)學(xué)知識的掌握更加熟練牢固,同時也可以拓展思維,妙法頓生,提高解題速度,培養(yǎng)發(fā)散思維能力,激發(fā)學(xué)習(xí)的主動性、積極性和趣味性,全面提高知識水平和思維能力.