馮瑞華, 仉志余

(1.中北大學(xué)理學(xué)院,山西太原030051;2.太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系,山西太原030008)

§1 引 言

1988年德國(guó)學(xué)者Stenfan Hilger在其博士論文中首次提出了測(cè)度鏈分析理論,既適合連續(xù)系統(tǒng)也適應(yīng)于離散系統(tǒng),把微分方程和差分方程理論和方法統(tǒng)一了起來(lái).但起初關(guān)注的學(xué)者并不多,后來(lái)隨著時(shí)標(biāo)上微積分知識(shí)的積累,人們發(fā)現(xiàn)時(shí)標(biāo)上動(dòng)力方程在理論物理,核動(dòng)力學(xué),物理化學(xué),電子工程和經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景,例如可以用來(lái)描述電路中電流的改變率,經(jīng)濟(jì)學(xué)中的蜘蛛網(wǎng)模型等.于是近年來(lái)涌現(xiàn)出了大量的研究成果,研究范圍也不斷拓寬,如時(shí)標(biāo)上動(dòng)力方程的振動(dòng)性、漸近性的判定定理等,見(jiàn)文獻(xiàn)[1-17]及其引文.

本文研究時(shí)標(biāo)T上三階非線(xiàn)性時(shí)滯動(dòng)力方程

的振動(dòng)性,并假設(shè)以下條件始終成立.

(H1)γ>0是兩個(gè)正奇數(shù)之比的常數(shù).

(H2)正值函數(shù)a(t)∈Crd(T,(0,∞))滿(mǎn)足

(H3)時(shí)滯函數(shù)τ:T→T單調(diào)增,且τ(t)≤t,limτ(t)=∞.

關(guān)于時(shí)標(biāo)(或時(shí)間尺度)T及其上的微積分基本概念,性質(zhì),運(yùn)算法則和記號(hào)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8,9]等,這里不再重述.方程(1)的解是指定義在時(shí)間尺度T上滿(mǎn)足方程(1)的非平凡實(shí)值函數(shù)x(t),t∈T.因?yàn)檫@里研究方程的振動(dòng)性,所以假設(shè)時(shí)間尺度T是無(wú)界的.方程(1)的解x(t)稱(chēng)為振動(dòng)的,如果既不最終為正,也不最終為負(fù);否則,稱(chēng)為非振動(dòng)的.方程(1)稱(chēng)為振動(dòng)的,如果它的所有解都是振動(dòng)的.

近年來(lái)對(duì)于三階動(dòng)力方程的振動(dòng)性和漸進(jìn)性的研究日趨活躍,并涌現(xiàn)出了不少具有啟發(fā)意義的成果,例如:

當(dāng)a(t)=1,b(t,x(t))=b(t)時(shí)方程(1)可以化為三階非線(xiàn)性動(dòng)力方程

或者

2007年Erbe等[1]研究了方程(4)的Hille和Nehari型振動(dòng)準(zhǔn)則,2017年魏會(huì)賢等[12]研究了方程(4)的變形方程(5)的漸進(jìn)性態(tài).

當(dāng)a(t)=1,b(t,x(t))=b(t)時(shí)方程(1)可以化為三階非線(xiàn)性動(dòng)力方程

或者拓展為中立型的

2011年李同興等[4]研究了當(dāng)f(t,x(τ(t))=p(t)xγ(τ(t))時(shí)方程(6)的振動(dòng)性,給出了兩個(gè)有效的振動(dòng)定理.2017年王一拙等[14]研究了方程(7)的振動(dòng)性.

當(dāng)γ=1,τ(t)=t,b(t,x(t))=b(t)時(shí)方程(1)可以化為三階非線(xiàn)性動(dòng)力方程

或者

2005年Erbe等[2]建立了方程(8)的振動(dòng)準(zhǔn)則.2012年李同興等[15]對(duì)方程的特形方程(9)的振動(dòng)性給出了更精妙的結(jié)果.

當(dāng)b(t,x(t))=b(t)時(shí)方程(1)可以化為三階非線(xiàn)性動(dòng)力方程

或者拓展為中立型的

其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)).李同興,Hassan和高麗等[3,5-8]分別研究了方程(10)在不同條件下的振動(dòng)性,Candan和石云龍等[13,16]分別建立了中立型方程(11)的振動(dòng)準(zhǔn)則.

本文將運(yùn)用不同于上述文獻(xiàn)的Riccati變換和不等式技巧,得到方程(1)幾個(gè)新的Leighton型,Philos型和Kamenev型振動(dòng)定理,從而推廣和豐富已有文獻(xiàn)中的結(jié)果.

§2 基本引理

為了證明主要結(jié)論,需要用到下面的Keller鏈鎖規(guī)則公式[9]:

其中x(t)是?可微的,γ>0,xσ=x?σ.

下面給出幾個(gè)引理,它們將對(duì)主要結(jié)果的證明起到至關(guān)重要的作用.

引理2.1設(shè)x(t)是方程(1)的一個(gè)最終正解,則存在t1∈[t0,∞)T,使得當(dāng)t∈[t1,∞)T時(shí),有且僅有下列兩種情形之一:

引理2.2設(shè)x(t)是方程(1)的一個(gè)最終正解并滿(mǎn)足引理2.1中的情形(i),又設(shè)a?(t)6 0和

成立,則存在t1∈[t0,∞)T,使得當(dāng)t∈[t1,∞)T時(shí),有嚴(yán)格單調(diào)減.

證設(shè)x(t)是方程(1)的一個(gè)最終正解并滿(mǎn)足引理2.1中的情形(i).由于(a(t)x?(t))?=a?(t)x?(t)+a(σ(t))x??(t)>0,并且有a?(t)≤0和x?(t)>0,t∈[t1,∞)T,因此可得x??(t)>0,t∈[t1,∞)T.令X(t)=x(t)?tx?(t),則有

可知X(t)在[t1,∞)上是嚴(yán)格單調(diào)減的.可以斷言,存在t2∈[t1,∞)T,當(dāng)t∈[t2,∞)T時(shí)有X(t)>0.否則若X(t)<0,可推得

其中φ(t,t1)由(3)式定義.

證設(shè)x(t)是(1)的一個(gè)最終正解且滿(mǎn)足引理2.1中的情形(i),則b(t,x(t))((a(t)x?(t))?)γ是單調(diào)減的.于是對(duì)(a(t)x?(t))?>0從t1到t>t1積分,可得

§3 主要定理及其證明

注1容易看出當(dāng)b(t,x(t))=b(t),a(t)=1時(shí),方程(1)將變?yōu)榉匠?6).因此本文定理3.1完全包含了文獻(xiàn)[4]中的定理2.1.文獻(xiàn)[6]研究了γ≥1,b(t,x)=b(t)時(shí)方程(10)的振動(dòng)性,本文的γ>0,因此,本文定理3.1也拓展了文獻(xiàn)[6]定理4.1的應(yīng)用范圍.

注2由定理3.1可知選擇不同的δ(t)函數(shù),可以得到不同的振動(dòng)條件,例如當(dāng)取δ(t)=1時(shí),可得著名的Leighton型振動(dòng)定理,當(dāng)δ(t)=t時(shí),也可得到相似的重要振動(dòng)定理,限于篇幅,這里從略了.因此,本文豐富和統(tǒng)一了所列文獻(xiàn)及其引文中包括三階微分方程和差分方程的振動(dòng)性結(jié)果.

下面的定理是關(guān)于方程(1)的Philos型振動(dòng)準(zhǔn)則.

證假設(shè)方程(1)有一個(gè)非振動(dòng)解x(t),不失一般性,可設(shè)存在足夠大的t1∈[t0,∞)T,使得當(dāng)t∈[t1,∞)T時(shí),有x(t)>0,x(τ(t))>0.則對(duì)于所有t∈[t1,∞)T,由引理2.1可知x(t)滿(mǎn)足情形(i)或情形(ii).

如果情形(i)成立,則類(lèi)似于定理3.2的證明可得(29)式成立,即

注3本文定理3.2和定理3.3推廣了文獻(xiàn)[4,6]的研究,即同時(shí)將函數(shù)b(t)拓展到b(t,x),將函數(shù)H(t,s)的定義域

擴(kuò)展到

和將γ≥1擴(kuò)展到γ>0的情形.易見(jiàn)本文定理3.3完全包含了文[4]的定理2.2和文[6]的定理4.3并將其條件中的積分上限σ(t)精確為t,且本文定理3.2拓展了文[6]定理4.2關(guān)于γ的應(yīng)用范圍.

下面的定理是關(guān)于方程(1)的Kamenev型振動(dòng)準(zhǔn)則.

證假設(shè)方程(1)有一個(gè)非振動(dòng)解x(t),不失一般性,可設(shè)存在t1∈T,使得當(dāng)t∈[t1,∞)T時(shí),有x(t)>0,x(τ(t))>0.由引理2.1,可知x(t)滿(mǎn)足情形(i)或情形(ii).

若為情形(i)成立,則類(lèi)似于定理3.1的證明可得(25)式成立,即有

§4 應(yīng)用舉例

考慮三階非線(xiàn)性時(shí)滯微分方程

的振動(dòng)性.

對(duì)照方程(1),這里