何澤榮,周 楠,韓夢杰

(杭州電子科技大學(xué)運籌與控制研究所,浙江杭州310018)

§1 引 言

種群動力系統(tǒng)的可控性問題既重要也較為困難.基于個體特征差異(如年齡、尺度)的連續(xù)種群模型,通常形為偏微分-積分方程,且具有全局反饋形式的邊界條件,屬于一類新的無窮維狀態(tài)系統(tǒng),其可控性研究頗為不易,參見[1-13]及所引文獻(xiàn).在絕大多數(shù)生物種群中,生態(tài)學(xué)家們都發(fā)現(xiàn)了個體之間的等級或地位差異,參見綜述論文[14]及所關(guān)聯(lián)的200多項生態(tài)學(xué)研究成果.為了定量理解這類種群的演化行為,學(xué)者們建立了一些等級結(jié)構(gòu)種群動力學(xué)模型(見[15-25]),并進(jìn)行了較為深入的研究,其結(jié)果可以很好地解釋某些用其它種類模型難以解釋的生態(tài)現(xiàn)象.

另一方面,關(guān)于這類系統(tǒng)模型的可控性問題,似乎未見公開的成果報道.本文力圖解決一類年齡等級結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)的近似可控性問題,它具有較強的非線性,采用個體遷移作為分布式控制手段.運用凍結(jié)系數(shù)法、線性系統(tǒng)可控性和集值映射不動點原理確立非線性系統(tǒng)的可控性.

§2 系統(tǒng)模型

本文研究下述由個體年齡決定的等級結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)動力學(xué)模型的近似可控性.

其中描述種群中個體競爭的“內(nèi)部環(huán)境”E(x)定義為

α代表相對年長的個體加權(quán)系數(shù).與年輕個體相比,年長個體的競爭力較弱.在系統(tǒng)(1)-(2)中,Q=(0,A)×(0,T),常數(shù)A為個體的最大年齡,T為調(diào)控周期.x(a,t)代表t時刻的種群年齡分布密度,函數(shù)參數(shù)μ和β分別表示個體的平均死亡率和繁殖率,它們都與內(nèi)部環(huán)境E(x)有關(guān).函數(shù)x0(a)給出種群的初始年齡分布,u(a,t)表示人對個體的遷移率(投放或者移出),它滿足約束

出于生態(tài)意義和理論分析需要,假定下列條件成立.

(A1)死亡率μ(a,t,s)在Q×[0,+∞)上連續(xù),μ(a,t,s)>0且對任意固定的t有

(A2)繁殖率β(a,t,s)在Q×[0,+∞)上連續(xù),并且0≤β(a,t,s)≤,為正的常數(shù).

(A3)對給定的(a,t)∈Q,μ(a,t,·)單調(diào)不減,β(a,t,·)單調(diào)不增;β與μ關(guān)于第三個變量s局部Lipschitz連續(xù).

(A4)存在正常數(shù),使得

注2.1文[25]已經(jīng)對系統(tǒng)(1)-(2)的適定性作了分析,得出結(jié)論:對任意給定的u∈U,系統(tǒng)(1)-(2)存在唯一解.

§3 近似可控性

通過實施個體遷移,能否將種群分布從當(dāng)前狀態(tài)調(diào)節(jié)到預(yù)定狀態(tài)?這是所謂可控性問題.先給出如下精確定義.

定義3.1對任意給定的初始分布x0∈L∞[0,A],終態(tài)分布∈L∞[0,A]和誤差ε>0,如果存在u∈U,使得系統(tǒng)(1)-(2)相應(yīng)的解xu(a,t)滿足

那么稱系統(tǒng)(1)-(2)在區(qū)間[0,T]上近似可控.

處理可控性的主要思路:首先固定種群的內(nèi)部環(huán)境,此時的模型退化為線性系統(tǒng),其近似可控性結(jié)果已知.然后研究某個與解有關(guān)的集值映射,嚴(yán)格證明其不動點的存在性.由此獲得系統(tǒng)(1)-(2)的近似可控性.

任意固定環(huán)境函數(shù)E(x)為X.考察下列線性系統(tǒng)

利用假設(shè)(A1)-(A4)和文[6]中定理4.1可推知:上述系統(tǒng)(3)在L1(Q)中近似可控;即存在u∈U,使得系統(tǒng)(3)的解xu(a,t;X)滿足

為了定義合乎需求的映射,需要確立系統(tǒng)(3)某類解集的緊性.為此先給出以下估計.

當(dāng)0

再證下列緊性結(jié)果.

引理3.2下列集合

證由于在R2中是緊集.利用集合K的定義可知:任一X∈K必為上的連續(xù)函數(shù),且K中任一序列必為等度連續(xù).運用Arzela-Ascoli定理即得結(jié)論.

再由(21)與(23)導(dǎo)出:當(dāng)a

最后利用(20)和(24)可得:

其中,C1與u1,u2無關(guān).

為了建立系統(tǒng)(1)-(2)的近似可控性,需要下列結(jié)果.([26,p452],Theorem 9.B)

引理3.4(Kakutani) 如果下列條件成立:

(1)集合H是局部凸空間Y中的非空緊凸集;

(2)集值映射G:H→2H上半連續(xù);

(3)對任意y∈H,G(y)非空、閉、凸.

那么映射G在H上必存在不動點.

定理3.1系統(tǒng)(1)-(2)在L1[0,A]中近似可控.

證定義集值映射G:K→2K如下:

其中集合K由引理3.2給出,xu(a,t;X)是線性系統(tǒng)(3)的解.

由引理3.2知:K是緊集.此外,易知K為凸集.從而引理3.4的條件(1)成立.

根據(jù)文[6]的結(jié)論知:G(X)6=?.由于函數(shù)u是線性系統(tǒng)(3)的非齊次項,因此G(X)必為凸集.再由引理3.3知G(X)為閉.引理3.4的條件(3)也成立.

最后驗證條件(2),即證明映射G上半連續(xù).

令序列{Xn}在L1(Q)中收斂于X,且對任意選定的un,使得E(xun)∈G(Xn)在L1(Q)中收斂于h,只需證明h∈G(X).

由關(guān)系式(5)知:

由于{un}?L∞(Q)?L2(Q),由控制集的一致有界性知:存在子序列(仍記為{un}),使得{un}在L2(Q)上弱收斂于u.此外,利用(14)可得:序列{bun}在L2(Q)中有界,因此存在子列(仍記為{bun}),使得{bun}弱*收斂于b.對(25)右端取極限n→∞,可確定下列函數(shù):

此外,由un的選取知:令n→∞,立即導(dǎo)出:

綜合上述過程即知:h=E(x(·,·;X)),并且h∈G(X).

總而言之,映射G滿足引理3.4的所有條件,它必有不動點.

§4 結(jié)束語

作為本文的主要結(jié)果,定理3.1意味著:存在適當(dāng)?shù)倪w移策略,經(jīng)過一段指定時間后,它能將種群系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)調(diào)節(jié)至人們所期望的目標(biāo)狀態(tài).應(yīng)當(dāng)注意:這一結(jié)果的證明是純粹存在性的而非構(gòu)造性的;即證明了滿足可控性要求的遷移策略一定存在,但并沒有具體給出一個遷移函數(shù)的表達(dá)式.這種情況在數(shù)學(xué)對象的存在性分析中經(jīng)常遇到.當(dāng)模型的相關(guān)參數(shù)已知后,為了具體找出控制策略,還需進(jìn)一步利用共軛梯度等數(shù)值方法計算出滿足精度要求的遷移函數(shù).

致謝作者感謝審稿專家提出的寶貴意見.