陳亦令,邊保軍

(同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海200092)

§1 引 言

保險(xiǎn)公司分紅問(wèn)題在集體風(fēng)險(xiǎn)理論中是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題.從公司金融的角度來(lái)看,公司價(jià)值可定義為破產(chǎn)前股東所得紅利的期望現(xiàn)值.如何最大化公司價(jià)值一直是業(yè)界關(guān)心的問(wèn)題,同時(shí)股東希望從投資中獲得分紅利潤(rùn).因此采取何種分紅策略使得貼現(xiàn)的分紅最大一直是精算界的熱點(diǎn).當(dāng)索賠事件由常系數(shù)跳躍強(qiáng)度的泊松過(guò)程描述時(shí),稱(chēng)之為經(jīng)典Cram′er-Lundberg模型.經(jīng)過(guò)學(xué)者多年的探究,這種假設(shè)經(jīng)不住事實(shí)的驗(yàn)證.實(shí)證研究表明索賠事件有時(shí)會(huì)在短時(shí)間內(nèi)成群出現(xiàn).也就是說(shuō),一項(xiàng)重大索賠事件之后伴隨著一系列索賠事件.例如,在2008金融危機(jī)期間,信用保險(xiǎn)公司短期內(nèi)受理的索賠事件快速增加.又例如,自然災(zāi)害的發(fā)生沖擊大量受保人的利益,影響公司價(jià)值.但是,很少有研究者提出帶有族群特性索賠事件的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程.Hawkes1971年首次提出Hawkes過(guò)程[1]來(lái)描述短時(shí)間內(nèi)發(fā)生多次跳躍的現(xiàn)象.Bacry等[2]的研究驗(yàn)證了Hawkes過(guò)程在金融市場(chǎng)的應(yīng)用價(jià)值.

隨著現(xiàn)代隨機(jī)控制理論的發(fā)展,經(jīng)典的保險(xiǎn)公司最優(yōu)分紅問(wèn)題引起了越來(lái)越多學(xué)者們的關(guān)注.許多問(wèn)題應(yīng)運(yùn)而生,例如:保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程模擬,最優(yōu)分紅策略,生存概率問(wèn)題以及現(xiàn)實(shí)金融活動(dòng)下的條件拓展.在此,Albrecher[3]和Avanzi[4]總結(jié)前人研究,給出了兩篇綜述文章.Azcue和Muler[5]在經(jīng)典Cram′er-Lundberg模型下,探究了帶投資的最優(yōu)分紅問(wèn)題,并且證明了帶狀策略的最優(yōu)性.Chen和Bian[6]在變化分紅上界條件下,探究了保險(xiǎn)公司最優(yōu)分紅和最優(yōu)投資策略問(wèn)題.孫宗岐與陳志平[7]考慮索賠次數(shù)服從復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程,探究了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資-再保-混合分紅策略問(wèn)題.

Hawkes過(guò)程用于描述索賠事件的自激勵(lì)特性與族群特性,應(yīng)用到保險(xiǎn)公司價(jià)值研究起步較晚.Gao和Zhu[8]探究了線(xiàn)性Hawkes模型下的中心極限定理,并運(yùn)用到保險(xiǎn)公司生存概率問(wèn)題.Stabile和Torrisi[9]利用Hawkes過(guò)程描述帶有族群特性的索賠事件,并探究了保險(xiǎn)公司生存概率問(wèn)題在輕尾條件下的無(wú)限和有限破產(chǎn)概率的漸進(jìn)行為.Hainaut[10]分析了金融市場(chǎng)和保險(xiǎn)市場(chǎng)之間存在傳染特性下的保險(xiǎn)公司資產(chǎn)管理政策.李亞男等[11]考慮到,保險(xiǎn)公司承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)是相關(guān)的,探究了保險(xiǎn)公司最優(yōu)分紅和再保險(xiǎn)問(wèn)題.然而,大量文獻(xiàn)中的索賠過(guò)程一直都是由常系數(shù)泊松過(guò)程描述,且涉及Hawkes過(guò)程來(lái)刻畫(huà)索賠過(guò)程的分紅問(wèn)題更是少數(shù).因此,引入Hawkes過(guò)程來(lái)描述索賠事件的族群特性,探究保險(xiǎn)公司的最優(yōu)分紅問(wèn)題:尋找分紅策略,使得保險(xiǎn)公司在破產(chǎn)時(shí)分紅最大化.

本文中索賠事件由Hawkes過(guò)程描述,它的索賠跳躍強(qiáng)度具有自激勵(lì)和回歸特性,造成跳躍族群現(xiàn)象.運(yùn)用隨機(jī)控制理論,探究了穩(wěn)定Hawkes模型下的保險(xiǎn)公司最優(yōu)分紅問(wèn)題,并將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)非線(xiàn)性Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程.該方程是一個(gè)非線(xiàn)性微分積分方程,研究解的存在唯一性具有重要意義.探究了目標(biāo)函數(shù)的有界性和連續(xù)性,并在粘性解的框架下給出了解的存在性.同時(shí),給出驗(yàn)證定理:目標(biāo)函數(shù)還可以被驗(yàn)證為相應(yīng)HJB方程的最小粘性上解.啟發(fā)式的介紹了障礙線(xiàn)策略,并在數(shù)值模擬部分給出了一個(gè)具體分紅過(guò)程.

本文的主要結(jié)構(gòu)如下.§2講述了Hawkes過(guò)程以及具體的保險(xiǎn)公司分紅模型構(gòu)建.§3給出了目標(biāo)函數(shù)的有界性和連續(xù)性,并介紹了粘性解的定義.§4在粘性解的框架下證明了目標(biāo)函數(shù)是相應(yīng)HJB方程的粘性解,并給出了驗(yàn)證定理.§5進(jìn)行了數(shù)值模擬與結(jié)果展示.

§2 模型構(gòu)建

Hawkes過(guò)程是一類(lèi)具有隨機(jī)波動(dòng)率的泊松過(guò)程.換句話(huà)說(shuō),該過(guò)程是一個(gè)具有自激勵(lì)性質(zhì)的計(jì)數(shù)過(guò)程.用Nt=N(0,t]指代(0,t]時(shí)刻內(nèi)索賠事件發(fā)生的次數(shù).給定概率空間(?,(Ft)t≥0,P),計(jì)數(shù)過(guò)程{Nt}t≥0滿(mǎn)足:

其中,λt為索賠跳躍強(qiáng)度,滿(mǎn)足如下隨機(jī)微分方程:

正如圖1中所示,在短時(shí)間內(nèi),一個(gè)索賠事件很可能伴隨著一系列的索賠事件.同時(shí)假設(shè)0≤β<α,均值回歸性質(zhì)保證了索賠跳躍強(qiáng)度不會(huì)趨于無(wú)窮,確保索賠跳躍強(qiáng)度過(guò)程穩(wěn)定性.

保險(xiǎn)產(chǎn)品定期接受保費(fèi),承擔(dān)不定期到來(lái)的索賠事件,同時(shí)按策略分紅給持有者.保險(xiǎn)公司的產(chǎn)品投資組合的盈余過(guò)程如下:

圖1 Hawkes過(guò)程與保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程模擬路徑

其中,x為初始資金;p為單位時(shí)間內(nèi)收到的保費(fèi);Yi為索賠額,獨(dú)立同分布于分布函數(shù)F.假設(shè)p>E[λtYi],使得保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程期望意義上不會(huì)破產(chǎn).圖1也給出了一條無(wú)分紅過(guò)程的盈余過(guò)程Xt的模擬路徑.

累積到t時(shí)刻的分紅總量為:

其中,為連續(xù)分紅過(guò)程.若分紅率為qs,則.離散部分表示保險(xiǎn)公司可以立即拿出部分盈余作為紅利.索賠過(guò)程由Hawkes過(guò)程描述.假設(shè)立即分紅量不能超過(guò)現(xiàn)有的公司盈余.換句話(huà)說(shuō),分紅不能導(dǎo)致公司破產(chǎn).

滿(mǎn)足以上條件的分紅策略記為可行分紅策略l,假設(shè)Lx,λ是所有可行分紅策略的集合.執(zhí)行一條可行分紅策略l,對(duì)應(yīng)的破產(chǎn)時(shí)間為:

可以看出,公司破產(chǎn)只可能發(fā)生在索賠事件到來(lái)之時(shí).目標(biāo)函數(shù)為:

其中c是一個(gè)常系數(shù)貼現(xiàn)因子.整個(gè)優(yōu)化問(wèn)題可以歸結(jié)為尋找最優(yōu)的分紅策略,使得保險(xiǎn)公司到破產(chǎn)時(shí)刻分紅貼現(xiàn)的期望最大化.為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,只考慮股東當(dāng)前的最大利益,這也是保險(xiǎn)公司中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題,以此來(lái)評(píng)價(jià)一個(gè)保險(xiǎn)組合.

為了表述方便,假定R+=[0,+∞),并且V(x,λ)=0當(dāng)x<0.假設(shè)目標(biāo)函數(shù)足夠光滑,通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理,得到此優(yōu)化問(wèn)題對(duì)應(yīng)的HJB方程:

其中

§3 預(yù)備知識(shí)

命題 3.1目標(biāo)函數(shù)(6)滿(mǎn)足

證第一個(gè)不等式顯然成立,因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司可以立即將公司盈余全部分紅.對(duì)于任意l∈Lx,λ,有,所以

結(jié)論得證.

命題 3.2目標(biāo)函數(shù)(6)關(guān)于x和λ連續(xù).

接下來(lái)給出本文優(yōu)化問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理(Dynamic Programming Principle).詳細(xì)證明過(guò)程類(lèi)似于[12],在此不再贅述.

命題 3.3對(duì)于任意x≥0,λ≥0和任意停時(shí)τ>0,有

由于HJB方程(7)是一個(gè)高度非線(xiàn)性的微分積分方程,目標(biāo)函數(shù)的光滑性很難在經(jīng)典解的意義下滿(mǎn)足HJB方程(7).因此,介紹一種由[13]提出的一種弱解:粘性解(Viscosity Solution).

定義3.1連續(xù)函數(shù):R+×R+→R是HJB方程(7)的粘性上解,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意連續(xù)可微函數(shù)?都有

連續(xù)函數(shù):R+×R+→R是HJB方程(7)的粘性下解,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意連續(xù)可微函數(shù)ψ都有

最后連續(xù)函數(shù)u是HJB方程(7)的粘性解,當(dāng)且僅當(dāng)u是HJB方程(7)的粘性上解和粘性下解.

§4 主要結(jié)果

4.1 解的存在性

命題 4.1目標(biāo)函數(shù)(6)是HJB方程(7)的粘性上解.

命題 4.2目標(biāo)函數(shù)(6)是HJB方程(7)的粘性下解.

證假設(shè)目標(biāo)函數(shù)(6)在(x0,λ0)點(diǎn)處不是粘性下解.考慮任意可行策略l∈Lx0,λ0,斷言,對(duì)于任意?>0,存在h>0和一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)ψ,使得

假設(shè)目標(biāo)函數(shù)(6)在點(diǎn)(x0,λ0)處不是粘性下解,則存在η和連續(xù)可微函數(shù),使得在(x0,λ0)達(dá)到局部最大值,并且有

由命題4.1和命題4.2,得到以下定理:

定理 4.1目標(biāo)函數(shù)(6)是HJB方程(7)的粘性解.

4.2 驗(yàn)證定理

由于該問(wèn)題在零點(diǎn)處邊界條件的天然缺失,比較原理的證明存在困難.采用Azcue和Muler[5]中的辦法,給出了類(lèi)似的驗(yàn)證定理,探究解的唯一性.在給出驗(yàn)證定理之前,闡述以下條件

(A.1):u關(guān)于x,λ局部利普希茨(Lipschitz);

(A.2): 存在常數(shù)M>0,使得u(x,λ)≤M(1+x+λ).

由命題3.1和命題3.2,知道目標(biāo)函數(shù)(6)滿(mǎn)足條件(A.1)和(A.2).

在此對(duì)分紅策略進(jìn)行初步的定性研究.索賠過(guò)程不具有族群特性的一維保險(xiǎn)公司最優(yōu)分紅問(wèn)題中,障礙策略被證明是最優(yōu)策略.假設(shè)分紅障礙為b,當(dāng)盈余大于b時(shí),支付盈余超過(guò)b的部分為紅利;當(dāng)盈余等于b時(shí),定期收取的保費(fèi)當(dāng)作分紅;當(dāng)盈余小于b時(shí),不進(jìn)行分紅.然而,根據(jù)隨機(jī)控制理論,最優(yōu)控制(分紅策略)一定是公司盈余和索賠跳躍強(qiáng)度的函數(shù),原來(lái)的障礙策略失效.引進(jìn)索賠跳躍強(qiáng)度,將障礙點(diǎn)拓展成障礙線(xiàn).根據(jù)HJB方程(7),可以將R+×R+分成三個(gè)子集.

定義 4.1定義P=A∪B∪C,其中:

圖2 分紅區(qū)域劃分

圖3 一個(gè)最優(yōu)分紅策略的例子

區(qū)域A蘊(yùn)含著一個(gè)函數(shù)ρ:R+→R+, 使得1?Vx(ρ(λ),λ)=0和L(V)(ρ(λ),λ)=0.稱(chēng)A={(ρ(λ),λ)∈R+×R+}是一條障礙線(xiàn).

圖2簡(jiǎn)單展示了定義4.1中的分紅區(qū)域劃分.定義4.1蘊(yùn)含著一個(gè)分紅策略,簡(jiǎn)述如下.為了直觀展示,將障礙線(xiàn)ρ(λ)簡(jiǎn)化成一次函數(shù).水平虛線(xiàn)是指平均索賠跳躍強(qiáng)度.簡(jiǎn)單的說(shuō),假如當(dāng)前資產(chǎn)和索賠跳躍強(qiáng)度位于A,適當(dāng)分紅,使得資產(chǎn)和索賠跳躍強(qiáng)度仍然在障礙線(xiàn)上,直到索賠到來(lái).假如當(dāng)前資產(chǎn)和索賠跳躍強(qiáng)度位于B上,資產(chǎn)盈余較多,立即拿出部分資產(chǎn)分紅,使得資產(chǎn)水平平移到障礙線(xiàn)A上.假如當(dāng)前資產(chǎn)和索賠跳躍強(qiáng)度位于C,資產(chǎn)盈余較少,不分紅,直到離開(kāi)區(qū)域C.

圖3給出了定義4.1分紅策略下的一個(gè)資產(chǎn)組合盈余狀態(tài)的變化路徑.初始盈余和跳躍強(qiáng)度為A=(xA,λA)∈B,且λA>,模擬路徑為A→B→C→D→E→F→G.其中:A→B:立即支付xA?xB;B→C:不分紅;λt回歸到水平線(xiàn),Xt線(xiàn)性增長(zhǎng);C→D:支付ptCD?ρ(λD)+ρ(λC) 作為紅利,其中,即不發(fā)生跳躍時(shí),從C到D的時(shí)間,使得Xt仍在障礙線(xiàn)上;當(dāng)處在D點(diǎn),以保費(fèi)率p連續(xù)分紅,此時(shí)Xt和λt不變,直到索賠到來(lái);D→E:索賠到來(lái),盈余過(guò)程上跳,跳躍強(qiáng)度下跳;E→F:與B→C段類(lèi)似,不分紅;F→G:一個(gè)大索賠事件到來(lái),保險(xiǎn)公司破產(chǎn).

§5 數(shù)值結(jié)果

對(duì)HJB方程(7)進(jìn)行差分?jǐn)?shù)值求解,并給出了目標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)分紅策略的數(shù)值結(jié)果.HJB方程的差分格式建立參考Forsyth[14]中的方法.在零點(diǎn)處邊界條件的缺失阻礙了差分格式的建立.因此,人工補(bǔ)齊缺失的邊界條件.首先,數(shù)值求解L(V)=0,然后對(duì)得到的解進(jìn)行改進(jìn),使得其滿(mǎn)足1?Vx=0,具體的改進(jìn)方法可見(jiàn)Azcue和Muler[3].

相應(yīng)的定解條件和人工邊界條件為

其中,Vc是常系數(shù)λ=0.1的最優(yōu)分紅問(wèn)題的連續(xù)解,以此來(lái)給出V在λ=0處的初始值.

圖4 目標(biāo)函數(shù)的數(shù)值結(jié)果三維圖

圖5 最優(yōu)分紅策略中的障礙線(xiàn)

圖4展示了目標(biāo)函數(shù)數(shù)值解的三維圖.圖5展示了障礙線(xiàn)的點(diǎn)點(diǎn)圖和多項(xiàng)式擬合.首先,策略控制必定是資產(chǎn)盈余和索賠跳躍強(qiáng)度的函數(shù),不是時(shí)間的函數(shù).可以看到,ρ(λ)關(guān)于λ非增.當(dāng)λ小時(shí),索賠事件偶爾發(fā)生,盈余保持較高水平,下降的慢;當(dāng)λ大時(shí),ρ(λ)下降的快,分紅障礙低,保險(xiǎn)公司需要立即拿出部分盈余分紅,防止索賠事件連續(xù)到來(lái)使得公司破產(chǎn)而無(wú)法分紅.正是由于自激勵(lì)性質(zhì)的存在,當(dāng)λ足夠大時(shí),索賠事件在短時(shí)間內(nèi)接連發(fā)生,出現(xiàn)族群現(xiàn)象.

§6 結(jié)語(yǔ)

實(shí)證研究表明,索賠事件具有族群特性.引入Hawkes過(guò)程刻畫(huà)短時(shí)間內(nèi)發(fā)生多次索賠事件的現(xiàn)象,探究了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)分紅問(wèn)題.利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理,將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)非線(xiàn)性HJB方程,在粘性解的框架下給出了解的存在性.同時(shí),目標(biāo)函數(shù)還可以被驗(yàn)證為HJB方程最小的粘性上解.最后,進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,并定性的分析了具體的分紅策略.最優(yōu)分紅策略與當(dāng)下保險(xiǎn)公司盈余和索賠跳躍強(qiáng)度有關(guān).簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),根據(jù)當(dāng)下盈余和跳躍強(qiáng)度與障礙線(xiàn)的關(guān)系做出分紅操作.數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn),當(dāng)索賠跳躍強(qiáng)度非常大時(shí),索賠事件在短時(shí)間內(nèi)連續(xù)發(fā)生,保險(xiǎn)公司需要立即拿出部分盈余分紅,防止索賠事件連續(xù)到來(lái),使得公司短時(shí)間內(nèi)破產(chǎn)而無(wú)法分紅.

致謝作者衷心感謝審稿人提出的寶貴建議.