王廣富 王鳳靈

【摘要】高等數(shù)學(xué)是理工科各專業(yè)必修的一門重要基礎(chǔ)課，也是學(xué)好專業(yè)課的必備條件。很多同學(xué)對數(shù)學(xué)課有畏難情緒，如何讓同學(xué)們了解高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，提高同學(xué)們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，消除同學(xué)們對高等數(shù)學(xué)的焦慮和恐懼，掌握解決數(shù)學(xué)問題的方法，第一堂課是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。本文通過教學(xué)內(nèi)容切入、教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)和怎么學(xué)好高等數(shù)學(xué)等方面，就如何上好高等數(shù)學(xué)第一堂課做了相關(guān)的探討。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) ?悖論 ?三角函數(shù)

【基金項目】國家自然科學(xué)基金（No.11861032）江西省高等學(xué)校教學(xué)改革研究重點(diǎn)項目（No.JXJG-17-5-1）。

【中圖分類號】G642;O13-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）08-0124-02

1.引言

高等數(shù)學(xué)（Advanced Mathematics）是高等院校一門重要的基礎(chǔ)理論課程，是理工和經(jīng)濟(jì)管理等非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的必修數(shù)學(xué)課?！八粌H是學(xué)好其他專業(yè)課程的有力工具，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和解決實(shí)際問題的能力起著重要的作用”[1]。但同時數(shù)學(xué)又由于其自身要求邏輯嚴(yán)密，計算能力要求高，導(dǎo)致很多大學(xué)生對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生了畏難情緒?，F(xiàn)在大一新生中流行一句話，流傳很廣——“從前有棵樹，叫高樹（數(shù)），樹上掛了很多人”。說明該門課程掛科率很高，同學(xué)們都已經(jīng)到了怕的地步。那么如何幫助大一新生學(xué)好高等數(shù)學(xué)， 克服他們的畏難心理并激發(fā)學(xué)生的求知欲， 就顯得尤為重要。作為高等數(shù)學(xué)老師， 必須打破原有的思維定勢， 建立新的思維結(jié)構(gòu)， 幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變思維， 從而充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。因此高等數(shù)學(xué)的第一堂課尤其重要， 從而必須設(shè)計一堂富有啟發(fā)性和鼓勵性的“緒論課”[2]。

2.由悖論引入學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必要性

在給學(xué)生講解高等數(shù)學(xué)內(nèi)容之前，首先用經(jīng)典的龜兔賽跑引入悖論“兔子跑不過烏龜”，其次給出另一個悖論“2=”。用這兩個悖論來引起學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，引發(fā)學(xué)生們的探討。

例1：兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜。

假設(shè)兔子比較仗義，覺得自己跑得快，就先讓烏龜向前爬行s0米。這時，兔子和烏龜再聽發(fā)令槍響同時跑。設(shè)兔子速度為v1，烏龜速度為v2（v1>v2）。顯然兔子從它的位置A跑到烏龜?shù)奈恢肂，這段距離s0要花兔子t1=時間，而兔子跑的同時烏龜并沒有在B等兔子，而是向前爬到了C處。此時相當(dāng)于烏龜在兔子前面C處，兔子在B處，兩者相距s1米。兩者此時同時再跑，當(dāng)兔子到達(dá)C處時，而烏龜又向前爬行了一段距離s2后到達(dá)D處。如此重復(fù)下去，雖然兔子與烏龜之間的距離越來越短，但是兩者之間始終有差距，故兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜。

假設(shè)將直角邊長為1的等腰直角三角形的斜邊放在x軸上，如圖2，則|OB|=。將A點(diǎn)向下折到x軸上，設(shè)為C。如圖2（2）。繼續(xù)將A1，A2下折到x軸上，如圖2（3）。如此這樣，一直折下去，直角邊OA和AB上的點(diǎn)都落在了斜邊OB上， 而OA和AB的長度之和為2，OB的長度為。因此我們得到2=。

兩個悖論都是基于將有限的線段進(jìn)行了無限次的劃分。涉及到無窮多個數(shù)的和的問題，而不再是單純初等數(shù)學(xué)所考慮的有限問題。怎么解決這個問題呢，這就依賴于我們要學(xué)的高等數(shù)學(xué)。

3.中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接

由于新課改的問題，原來很多中學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容現(xiàn)在已經(jīng)弱化甚至不做要求，但是到了高等數(shù)學(xué)里又要求很高。而原來是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容又放在高中講解了一部分，例如導(dǎo)數(shù)和定積分。這就要求大學(xué)數(shù)學(xué)老師對整個高等數(shù)學(xué)內(nèi)容給學(xué)生一個輪廓，高屋建瓴，能夠指導(dǎo)學(xué)生哪些內(nèi)容應(yīng)該重點(diǎn)補(bǔ)齊，而哪些東西又與高中所學(xué)不同。這些都需要老師認(rèn)真指出來。作者認(rèn)為學(xué)生補(bǔ)全掌握三角函數(shù)的知識，主要有：1）正割函數(shù)和余割函數(shù);2）同角間的三角函數(shù)關(guān)系;3）誘導(dǎo)公式;4）積化和差與和差化積公式。

尤其是第一和第四部分對于學(xué)生來講是新內(nèi)容， 要求學(xué)生學(xué)會，記住并靈活掌握。

1）正割函數(shù)和余割函數(shù)的引入。

設(shè)是一個任意大小的角，將角？琢的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊放到x軸上，角？琢的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是P（x，y），它到原點(diǎn)的距離為r。（見圖3）。則角？琢的正弦，余弦，正切，余切定義如下：

2）同角間的三角函數(shù)關(guān)系。

積的關(guān)系：六邊形上每個頂點(diǎn)的三角函數(shù)值等于它相鄰的兩個三角函數(shù)值的乘積。例如：sin=tan·cos。

平方和關(guān)系：實(shí)邊構(gòu)成的三角形中，上面兩個頂點(diǎn)處的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)處三角函數(shù)值的平方。例如：tan2+12=sec2。

3）誘導(dǎo)公式。這個公式是中學(xué)里重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生一般掌握較好，只要給學(xué)生點(diǎn)到即可。

4）和差化積與積化和差公式。

和差化積公式看起來很復(fù)雜，但是觀察其特點(diǎn)，只要記住每個公式的前后三角函數(shù)名稱即可，因為后面兩項里的角度分別是前面兩個角的和的一半與差的一半。

4.如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)

4.1高等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，經(jīng)過三百多年的發(fā)展，有其固有的特點(diǎn)，高度抽象，理論系統(tǒng)嚴(yán)密，邏輯性強(qiáng)，應(yīng)用性廣。高等數(shù)學(xué)無論概念、性質(zhì)和定理，還是判斷和推理，都要運(yùn)用邏輯的規(guī)則，有嚴(yán)密的邏輯性，遵循思維的規(guī)律。數(shù)學(xué)是自然界的語言，是自然科學(xué)與社會科學(xué)的基礎(chǔ)，為其他學(xué)科提供思想、觀念和研究方法。數(shù)學(xué)也是一種文化，在人類文明的進(jìn)程中起著重要的推動作用。人類歷史上幾乎所有的原始創(chuàng)新和重大發(fā)現(xiàn)都同數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步密切相關(guān)。尤其是到了現(xiàn)代，隨著電子計算機(jī)的出現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域更加寬廣，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正成為科技發(fā)展的強(qiáng)大動力。因此，學(xué)好高等數(shù)學(xué)對我們來說相當(dāng)重要。

4.2 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的方法

針對高等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要學(xué)好高等數(shù)學(xué)，重要的還是要：

1）充分理解概念。高等數(shù)學(xué)中有很多定義和概念。概念反映的是事物的本質(zhì)，所以一定要弄清楚它是如何定義的、有什么性質(zhì)，通過做相應(yīng)的練習(xí)鞏固知識， 才能真正地理解一個概念[4]。

2）完全掌握定理。對于課本上的每個定理都要掌握它的條件是什么？結(jié)論是什么？記住適用的條件和適用范圍，做到有的放矢，千萬不要“張冠李戴”，“亂點(diǎn)鴛鴦”。

3）弄懂例題，多做練習(xí)。課本上的例題都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理[4]。針對不同的例題，根據(jù)其特點(diǎn)，熟悉其解法，在理解例題的基礎(chǔ)上作適量的習(xí)題。作題時要善于總結(jié)題型和解題方法，這是因為大學(xué)學(xué)習(xí)與高中學(xué)習(xí)是完全不同的狀態(tài)，高中時可能一個知識點(diǎn)會做很多練習(xí)來鞏固，高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多，有時候老師一堂課可能就會講很多知識點(diǎn)，但是留給學(xué)生練習(xí)的時間又比較少，所以學(xué)生課下一定要多做練習(xí)，做完之后還要反思，舉一反三，“勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，一分辛苦一分才”。

4）理清內(nèi)容，把握脈絡(luò)。要對每個章節(jié)的內(nèi)容及時總結(jié)，對所學(xué)的知識體系有整體的把握，“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，這樣不僅可以加深對知識的理解，還會對進(jìn)一步的學(xué)習(xí)有所幫助。

結(jié)語

好的開始是成功的一半，上好第一堂課對老師和學(xué)生都具有重要的意義。正確的引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生充分認(rèn)識到學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的重要性和必要性， 調(diào)動學(xué)生的積極性， 從而對這門課產(chǎn)生較濃厚的學(xué)習(xí)興趣，也就為學(xué)好這門課奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M]，上海：上海交通大學(xué)出版社，第三版，2012.

[2]劉俊，劉佳.“緒論課”——打開《高等數(shù)學(xué)》殿堂的金鑰匙，科技資訊，2011， 212.

[3]楊文蘭.同角三角函數(shù)關(guān)系教學(xué)之我見，涪陵師專學(xué)報，1999年第15卷第3期，58-60。

[4]高等數(shù)學(xué)http：//www.worlduc.com/blog2012.aspx？bid=27

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作者簡介：

王廣富（1976-），男，山東菏澤人，博士，華東交通大學(xué)理學(xué)院副院長/副教授，2016.3-2017.2英國伯明翰大學(xué)訪問學(xué)者，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及圖論方面的研究。