康姣

新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)，越來越重視對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的考察，圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題便是考查學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)重要途徑.此類問題不僅涉及圓錐曲線的定義、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，還牽涉到函數(shù)，方程等代數(shù)方面的知識(shí).它最大的特點(diǎn)是難以理解，難以想象，計(jì)算量大，這使得學(xué)生一遇到這類問題就望而止步.網(wǎng)絡(luò)畫板的應(yīng)用使得本身很枯燥的課堂瞬間有了活力，讓學(xué)生可以在直觀上理解這類問題，提供了“探究-證明”的授課方式.先讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，再授以解決這類問題的一般方法，相比傳統(tǒng)的教學(xué)方法效果更好，也更能讓學(xué)生接受.下面以幾個(gè)典型例題為例來講解.

一、定點(diǎn)問題

例1：已知橢圓C：x24+y23=1，若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以為AB直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

探究：作出橢圓x24+y23=1的圖像，在其上取一個(gè)點(diǎn)A，連接右頂點(diǎn)M和A，作直線MB⊥MA且和橢圓交于點(diǎn)B，通過運(yùn)動(dòng)A點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)直線AB恒過定點(diǎn)P，此過程讓學(xué)生產(chǎn)生了濃厚的興趣.然后再講解此類問題的一般方法：設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消參，利用韋達(dá)定理，找到k與m的關(guān)系，代入直線方程，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m3x2+4y2=12得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）>0，即3+4k2-m2>0，

x1+x2=-8mk3+4k2，x1·x2=4（m2-3）3+4k2.

y1·y2=（kx1+m）·（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=3（m2-4k2）3+4k2.

∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)M（2，0），且kAM·kBM=-1，

∴y1x1-2·y2x2-2=-1，y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，即3（m2-4k2）3+4k2+4（m2-3）3+4k2+16mk3+4k2+4=0，

整理得：7m2+16mk+4k2=0，解得：m1=-2k，m2=-2k7，且滿足3+4k2-m2>0.

當(dāng)m=-2k時(shí)，l：y=k（x-2），直線過定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾;

當(dāng)m=-2k7時(shí)，l：y=k（x-27），直線過定點(diǎn) P（27，0）.

綜上可知，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為P（27，0）.

總結(jié)：本題為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的一個(gè)典型例題，可以推廣到以下兩種情形，再通過網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行驗(yàn)證.

（1）過圓錐曲線如橢圓x2a2+y2b2=1上任意一點(diǎn)M（x0，y0）作兩條相互垂直的直線MA，MB，分別交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，則直線AB必過定點(diǎn)P（x0（a2-b2）a2+b2，-y0（a2-b2）a2+b2）.

探究：先構(gòu)造兩個(gè)變量a，b，作出橢圓x2a2+y2b2=1，在其上取兩個(gè)點(diǎn)M，A，連接MA，作直線MB⊥MA且和橢圓交于點(diǎn)B，不論a，b取什么值，通過運(yùn)動(dòng)A點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)直線AB恒過定點(diǎn)P（x0（a2-b2）a2+b2，-y0（a2-b2）a2+b2），其中M的坐標(biāo)為（x0，y0）.

（2）“手電筒”模型：過圓錐曲線上任意一點(diǎn)M（x0，y0）作兩條直線MA，MB，分別交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，只要給定一個(gè)限定MA與MB的條件（如kMA+kMB=定值，kMA·kMB=定值），直線AB依然會(huì)過定點(diǎn)（因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）.

探究：先構(gòu)造三個(gè)變量n，a，b，用一個(gè)隱函數(shù)方程if（n=1，x2/a2+y2/b2-1，if（n=2，x2/a2-y2/b2-1，y2-2px））表示三類圓錐曲線，在其上取兩個(gè)點(diǎn)M和A，連接MA，作直線MB，和圓錐曲線交于點(diǎn)B，在kMA+kMB和kMA·kMB為定值的條件下，我們通過運(yùn)動(dòng)點(diǎn)A發(fā)現(xiàn)直線AB恒過一個(gè)異于M的定點(diǎn)，變換n，k的值和M的位置，發(fā)現(xiàn)結(jié)論依然成立.

通過動(dòng)態(tài)展示，學(xué)生在直觀上更容易接受這個(gè)結(jié)論，可以鼓勵(lì)學(xué)生按照例1的方法去證明，從而加深學(xué)生對(duì)這種題型的理解，掌握解題技巧.

二、定值問題

例2：已知橢圓C：x24+y22=1，若A1，A2分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MA2⊥A1A2，且MA1交橢圓C于不同于A1的點(diǎn)R，求證：OR·OM為定值.

探究：作出橢圓x24+y22=1，在直線x=2上取一個(gè)點(diǎn)M，連接A1M，和橢圓交于點(diǎn)R，連接OR和OM，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)M，我們發(fā)現(xiàn)不管M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置，OR·OM都為定值4.

證明：由題意可知，A1（-2，0），A2（2，0），設(shè)R（x1，y1），則直線RA1的方程為：y=y1x1+2（x+2），令x=2，得M（2，4yx1+2），所以O(shè)R·OM=（x1，y1）·（2，4yx1+2）=2x1+4y21x1+2=2x21+4y21+4x1x1+2，

又因?yàn)辄c(diǎn)R在橢圓上，故滿足橢圓方程x214+y212=12x21+4y21=8代入上式，可得OR·OM=4即OR·OM為定值.

總結(jié)：本題中A1是一個(gè)固定的點(diǎn)，對(duì)于任意一點(diǎn)A，我們可以推廣到以下一般情形：

（*）設(shè)A，B是有心圓錐曲線x2a+y2b=1（a>0，b≠0）上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是曲線上異于A，B的任意一點(diǎn)，若PA，PB分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，則OR·OM為定值a.

探究：圓、橢圓、雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，應(yīng)先構(gòu)造兩個(gè)變量a，b，作出有心圓錐曲線x2a+y2b=1的圖像，在其上取兩個(gè)點(diǎn)A，P，作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接PA，PB分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，通過運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可發(fā)現(xiàn)OR·OM=a，變換a，b的值，結(jié)論依然成立.

圓錐曲線定點(diǎn)定值問題博大精深，如果僅僅告知學(xué)生結(jié)論，學(xué)生很難在已有的認(rèn)知水平內(nèi)理解和接受，網(wǎng)絡(luò)畫板的輔助應(yīng)用，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自己去探索，還可以實(shí)現(xiàn)課上到課下的延伸，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

責(zé)任編輯 羅峰