寧利中 張珂 寧碧波 劉爽 田偉利

1) (西安理工大學(xué)水利水電學(xué)院， 西安 710048)

2) (嘉興學(xué)院建筑工程學(xué)院， 嘉興 314001)

3) (上海大學(xué)建筑系， 上海 200444)

(2019 年12 月21日收到; 2020 年3 月25日收到修改稿)

利用流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬， 探討了具有通過(guò)流動(dòng)的傾斜腔體中普朗特?cái)?shù)Pr = 6.99的流體的對(duì)流分區(qū)與動(dòng)力學(xué)特性. 結(jié)果表明， 對(duì)于相對(duì)瑞利數(shù)r = 9， 在通過(guò)流動(dòng)雷諾數(shù)Re = 1.5時(shí)， 隨著腔體傾斜角θ的增加， 系統(tǒng)出現(xiàn)均勻行波對(duì)流、非均勻行波對(duì)流以及單對(duì)流圈斑圖; 在通過(guò)流動(dòng)雷諾數(shù)Re = 12.5時(shí)， 隨著腔體傾斜角θ的增加， 系統(tǒng)出現(xiàn)局部行波對(duì)流、平行流及局部單對(duì)流圈斑圖; 進(jìn)一步， 對(duì)通過(guò)流動(dòng)雷諾數(shù)Re和腔體傾斜角θ的不同組合情況的數(shù)值模擬， 發(fā)現(xiàn)在通過(guò)流動(dòng)雷諾數(shù)Re和腔體傾斜角θ構(gòu)成的平面上，具有通過(guò)流動(dòng)的傾斜腔體中的對(duì)流可以分成前述六種斑圖區(qū)域， 即均勻行波對(duì)流區(qū)、非均勻行波對(duì)流區(qū)、單對(duì)流圈區(qū)、局部行波對(duì)流區(qū)、平行流區(qū)及局部單對(duì)流圈區(qū). 研究了不同對(duì)流區(qū)域?qū)α髯畲蟠怪绷魉賥max和努塞爾數(shù)Nu隨著時(shí)間的變化特性. 探討了不同對(duì)流區(qū)域?qū)α髡穹鵄和努塞爾數(shù)Nu隨著腔體傾斜角θ變化的動(dòng)力學(xué)特性.

1 引 言

自從20世紀(jì)初Henri Bénard首先對(duì)底部加熱流體層對(duì)流進(jìn)行實(shí)驗(yàn)， Lord Rayleigh首先進(jìn)行小擾動(dòng)理論分析以來(lái)， Rayleigh-Bénard對(duì)流問(wèn)題一直受到許多研究者的廣泛關(guān)注[1，2]. 文獻(xiàn)[1， 2]就Rayleigh-Bénard對(duì)流問(wèn)題的研究進(jìn)展進(jìn)行過(guò)綜述. 關(guān)于Rayleigh-Bénard對(duì)流問(wèn)題的研究方法分為實(shí)驗(yàn)研究、理論分析以及數(shù)值模擬. 最初， 人們通過(guò)實(shí)驗(yàn)及理論分析的方法進(jìn)行研究. 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展， 數(shù)值模擬分析研究獲得了很大進(jìn)展. 基于對(duì)流振幅方程組的模擬具有計(jì)算時(shí)間少又能定性揭示對(duì)流特性的特點(diǎn)[3，4]. 由于Rayleigh-Bénard對(duì)流現(xiàn)象可以精確地由流體力學(xué)的連續(xù)方程、動(dòng)量方程及能量方程來(lái)描述， 因此， 基于流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬引起了廣泛的研究興趣[5-16]. 已經(jīng)揭示了行波[5-7]、局部行波[8-12]、振動(dòng)對(duì)流[9]、行波中的缺陷結(jié)構(gòu)[6，7，12，13]、擺動(dòng)行波[14，15]及對(duì)傳波[16]等對(duì)流結(jié)構(gòu)或者現(xiàn)象， 取得了豐富的成果. 在對(duì)經(jīng)典Rayleigh-Bénard對(duì)流問(wèn)題研究的基礎(chǔ)上， 對(duì)水平腔體的一側(cè)施加水平流動(dòng)[17-19]， 研究水平流動(dòng)對(duì)Rayleigh-Bénard對(duì)流問(wèn)題的影響. 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了對(duì)流發(fā)生的附近的線性特性[17]， 局部行波的周期性[18]，對(duì)流斑圖的分區(qū)特性及斑圖成長(zhǎng)特性[19]等一些新的對(duì)流結(jié)構(gòu). 如果對(duì)于經(jīng)典Rayleigh-Bénard對(duì)流問(wèn)題， 考慮腔體傾斜時(shí)[20-25]， 研究獲得了一些新的對(duì)流特性， 如缺陷湍流， 對(duì)流層的雙穩(wěn)定性與競(jìng)爭(zhēng)，不同普朗特?cái)?shù)情況下的對(duì)流斑圖、分區(qū)及臨界條件等. 本文進(jìn)一步在考慮腔體傾斜的同時(shí)， 也考慮通過(guò)流動(dòng)對(duì)Rayleigh-Bénard對(duì)流問(wèn)題的影響， 試圖獲得一些新的對(duì)流結(jié)構(gòu)或者對(duì)流現(xiàn)象.

本文利用流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬， 探討了具有通過(guò)流動(dòng)的傾斜腔體中普朗特?cái)?shù)Pr=6.99的流體的對(duì)流分區(qū)與動(dòng)力學(xué)特性. 對(duì)不同通過(guò)流動(dòng)雷諾數(shù)和腔體傾斜角的組合情況的數(shù)值模擬， 發(fā)現(xiàn)在通過(guò)流動(dòng)雷諾數(shù)和腔體傾斜角構(gòu)成的平面上， 具有通過(guò)流動(dòng)的傾斜腔體中的對(duì)流可以分成六種斑圖區(qū)域， 即均勻行波對(duì)流區(qū)、非均勻行波對(duì)流區(qū)、單對(duì)流圈區(qū)、局部行波對(duì)流區(qū)、平行流區(qū)及局部單對(duì)流圈區(qū). 這是本文模型不同于以前模型的最大特點(diǎn). 不同對(duì)流區(qū)域?qū)α髯畲蟠怪绷魉俸团麪枖?shù)隨著時(shí)間的變化具有不同特性. 不同對(duì)流區(qū)域?qū)α髡穹鵄和努塞爾數(shù)隨著腔體傾斜角的變化也具有不同動(dòng)力學(xué)規(guī)律.

2 數(shù)學(xué)物理模型

圖 1 傾斜腔體的流動(dòng)示意圖Fig. 1. Flow diagram in inclined cavity.

在數(shù)值計(jì)算中， 利用有限容積法離散了控制力學(xué)方程組， Simple算法用于求解速度-壓力耦合方程. 擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分格式， 對(duì)流項(xiàng)采用迎風(fēng)格式， 時(shí)間項(xiàng)采用一階隱式格式離散. 采用均勻交錯(cuò)網(wǎng)格系統(tǒng). 數(shù)值模擬的可靠性和正確性可以由文獻(xiàn)[26]的實(shí)例證明. 由于文獻(xiàn)[27]對(duì)與的網(wǎng)格進(jìn)行了計(jì)算， 發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果幾乎相同， 誤差很小. 所以采用的網(wǎng)格進(jìn)行模擬， 時(shí)間步長(zhǎng)采用s.

討論中采用量綱歸一化參數(shù)描述腔體體形， 坐標(biāo)為X=x/d，Y=y/d， 長(zhǎng)高比為Γ=Lx/d. 對(duì)流系統(tǒng)可以由瑞利數(shù)(為了方便， 使用相對(duì)瑞利數(shù)r=Ra/Rac， 其中Rac=1708 )， 普朗特?cái)?shù)Pr=， 表征進(jìn)口流動(dòng)的雷諾數(shù)及傾斜腔體的傾角來(lái)控制.

本 文 采 用T0=293.15 K ，Pr=6.99 的 流 體 .長(zhǎng)高比Γ=20 .

3 對(duì)流分區(qū)與動(dòng)力學(xué)特性

3.1 不同的對(duì)流斑圖結(jié)構(gòu)

對(duì)于具有通過(guò)流動(dòng)的傾斜腔體中Pr=6.99 的對(duì)流， 當(dāng)給定相對(duì)瑞利數(shù)r=9 時(shí)， 不同的通過(guò)流動(dòng)雷諾數(shù)和不同的傾斜角度組合時(shí)， 系統(tǒng)出現(xiàn)六種不同的對(duì)流斑圖.

3.1.1 均勻行波對(duì)流

當(dāng)Re=1.5 并且時(shí)， 出現(xiàn)均勻行波對(duì)流結(jié)構(gòu)， 如圖2所示. 圖2(a)為腔體中的溫度場(chǎng)，可以看出， 溫度場(chǎng)上升羽流和下降羽流間隔出現(xiàn)，羽流以垂直線為對(duì)稱; 在腔體長(zhǎng)度方向上均勻分布. 圖2(b)為腔體中的流線分布， 在向上彎曲的通過(guò)流線的下部或者向下彎曲的通過(guò)流線的上部出現(xiàn)封閉的流線圈， 流線圈均勻分布. 溫度場(chǎng)下降羽流的位置和兩個(gè)流線圈之間的下降流位置相對(duì)應(yīng);溫度場(chǎng)上升羽流的位置和兩個(gè)流線圈之間的上升流位置相對(duì)應(yīng). 腔體中共有23個(gè)流線圈， 它的波數(shù)為k=23π/20=3.61 . 圖2(c)為腔體中011范圍內(nèi)的速度矢量場(chǎng). 在向上彎曲的通過(guò)流線的下部的矢量場(chǎng)即下壁面附近的矢量場(chǎng)是順時(shí)針?lè)较? 在向下彎曲的通過(guò)流線的上部的矢量場(chǎng)即上壁面附近的矢量場(chǎng)是逆時(shí)針?lè)较? 這一對(duì)具有不同旋轉(zhuǎn)方向的對(duì)流圈沿腔體長(zhǎng)度方向上交替出現(xiàn). 在對(duì)流圈的左側(cè)如果是箭頭向下的下降流， 在對(duì)流圈的右側(cè)必然是箭頭向上的上升流. 沿腔體長(zhǎng)度方向上， 可以清楚地看出， 上升流和下降流交替地出現(xiàn).在上升流和下降流處垂直速度較大， 對(duì)流圈的上下部水平速度較大. 對(duì)流圈的中心部位速度較小. 由圖2可以看出， 溫度場(chǎng)、流線及速度矢量場(chǎng)都是均勻分布并整體上向一個(gè)方向流動(dòng)， 類似于Rayleigh-Bénard-Poiseuille 流動(dòng)中出現(xiàn)的行波， 因此稱其為均勻行波.

圖 3 和 時(shí)的非均勻行波對(duì)流 (a) 溫度; (b)流線; (c)速度矢量Fig. 3. Non-uniform traveling wave convection atand : (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

圖 2 且 時(shí)的均勻行波對(duì)流 (a) 溫度;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 2. Uniform traveling wave convection at and: (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.2 非均勻行波對(duì)流

3.1.3 單對(duì)流圈斑圖

圖 4 和 時(shí) 的 單 對(duì) 流 圈 (a) 溫 度 ;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 4. Single roll convection at and :(a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.4 局部行波對(duì)流斑圖

圖 5 R e=12.5 和 時(shí)的局部行波對(duì)流 (a) 溫度;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 5. Localized traveling wave convection atRe=12.5 and : (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.5 平行流斑圖

保持雷諾數(shù)為Re=12.5 ， 增加傾斜角到θ=10°時(shí)， 系統(tǒng)出現(xiàn)平行流斑圖， 如圖 6所示. 可以看出， 0 ≤X≤20 范圍內(nèi)的溫度等值線和流線與10≤X≤15范圍內(nèi)的速度矢量圖都是一些平行于上下壁面的直線， 故稱其為平行流.

圖 6 和 時(shí)的平行流動(dòng) (a) 溫度;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 6. Parallel flows at and : (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.6 局部單對(duì)流圈斑圖

圖 7 R e=12.5 和 θ =45° 時(shí)的局部單對(duì)流圈 (a) 溫度;(b)流線; (c)速度矢量Fig. 7. Localized single roll convection at and: (a) Temperature; (b) streamlines; (c) velocity vector.

3.1.7 對(duì)流垂直最大流速隨著時(shí)間的變化特性

圖 8 不同對(duì)流結(jié)構(gòu)的最大垂直流速的時(shí)間演化 (a) Re =1.5; (b) Re = 12.5Fig. 8. Time evolution of maximum vertical velocity in different convection structures: (a) Re = 1.5; (b) Re = 12.5.

3.1.8 努塞爾數(shù)Nu隨著時(shí)間的變化特性

圖 9 不同對(duì)流結(jié)構(gòu)的努塞爾數(shù)的時(shí)間演化 (a) Re =1.5; (b) Re = 12.5Fig. 9. Time evolution of Nusselt number in different convection structures: (a) Re = 1.5; (b) Re = 12.5.

圖9(b)是相對(duì)瑞利數(shù)r=9 ， 雷諾數(shù)Re=12.5及傾斜角分別為θ=1°， 1 0°， 4 5°時(shí)對(duì)應(yīng)的局部行波對(duì)流、平行流及局部單對(duì)流圈斑圖的努塞爾數(shù)Nu隨著時(shí)間的變化. 三種情況下， 努塞爾數(shù)Nu隨著時(shí)間增加而減小， 在t=10 s左右達(dá)到穩(wěn)定. 與小雷諾數(shù)情況下相反， 努塞爾數(shù)隨著傾斜角的增加而減小.

3.2 對(duì)流斑圖的分區(qū)

對(duì)前述的六種對(duì)流斑圖進(jìn)行了大量的數(shù)值模擬后， 發(fā)現(xiàn)當(dāng)r=9 時(shí)在傾斜角與雷諾數(shù)平面上可以劃分為6個(gè)不同的區(qū)域， 如圖10所示. 對(duì)于較小的雷諾數(shù)， 當(dāng)傾斜角較小時(shí)， 由于傾斜角對(duì)對(duì)流的影響微乎其微， 在腔體長(zhǎng)度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力都很小， 可以忽略， 系統(tǒng)出現(xiàn)的是類似水平腔體情況下的均勻行波對(duì)流;隨著傾斜角的增加， 在腔體長(zhǎng)度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力都已經(jīng)發(fā)揮作用， 隨著兩個(gè)方向浮力作用的競(jìng)爭(zhēng)， 系統(tǒng)中的均勻行波對(duì)流轉(zhuǎn)變成非均勻行波對(duì)流; 隨著傾斜角的進(jìn)一步增加， 在腔體長(zhǎng)度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力明顯加強(qiáng)， 起到控制作用， 系統(tǒng)過(guò)渡到單對(duì)流圈斑圖.對(duì)于雷諾數(shù)Re=10 附近的情況， 當(dāng)傾斜角較小時(shí)， 由于傾斜角對(duì)對(duì)流的影響微不足道， 在腔體長(zhǎng)度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力很小， 其影響可以忽略， 系統(tǒng)出現(xiàn)的是類似水平腔體情況下的局部行波對(duì)流; 隨著傾斜角的增加， 在腔體長(zhǎng)度方向冷面上的重力分力和熱面上浮力變得明顯，與雷諾數(shù)的綜合作用結(jié)果使系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成局部單對(duì)流圈斑圖. 對(duì)于雷諾數(shù)的情況， 雷諾數(shù)的影響明顯， 起了控制作用， 對(duì)于傾斜角θ約小于的情況， 系統(tǒng)出現(xiàn)的都是平行流斑圖. 在傾斜角θ約大于時(shí)， 形成平行流動(dòng)的臨界雷諾數(shù)幾乎線性變大.

圖 10 不同對(duì)流斑圖在傾斜角度 -雷諾數(shù) 平面上的分區(qū)Fig. 10. Partition of different convective patterns in the plane - .

3.3 對(duì)流斑圖的動(dòng)力學(xué)特性

3.3.1 對(duì)流振幅的特性

圖 11 不同對(duì)流結(jié)構(gòu)時(shí)A隨著 的變化 (a) Re = 1.5;(b) Re = 12.5Fig. 11. Variation of A in different convection structures with : (a) Re = 1.5; (b) Re = 12.5.

圖 12 不同對(duì)流結(jié)構(gòu)時(shí) 隨著 的變化 (a) Re = 1.5;(b) Re = 12.5Fig. 12. Variation of in different convection structures with : (a) Re = 1.5; (b) Re = 12.5.

3.3.2 努塞爾數(shù)的特性

4 結(jié) 論

利用流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬， 探討了具有通過(guò)流動(dòng)的傾斜腔體中普朗特?cái)?shù)的流體的對(duì)流分區(qū)與動(dòng)力學(xué)特性. 可以得出以下結(jié)論.

3)最大振幅A隨著傾斜角的增加而增加， 不同對(duì)流斑圖區(qū)變化規(guī)律不同. 努塞爾數(shù)隨著傾斜角的變化特性說(shuō)明， 均勻行波對(duì)流與非均勻行波對(duì)流時(shí)努塞爾數(shù)隨著傾斜角的變化幾乎不發(fā)生變化. 單對(duì)流圈斑圖， 努塞爾數(shù)隨著傾斜角的增加而增加. 局部行波對(duì)流、平行流及局部單對(duì)流圈斑圖的努塞爾數(shù)隨著傾斜角的增加而減小.