廣東省中山紀(jì)念中學(xué) (528454) 李文東

在各地的高考試題和模擬試題中,經(jīng)常涉及多元變量的范問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題因?yàn)樗兞繛閮蓚€(gè)及以上，具有很強(qiáng)的靈活性，解法多樣，所以大部分同學(xué)對(duì)此問(wèn)題產(chǎn)生畏懼心理.此類(lèi)問(wèn)題充分考察了轉(zhuǎn)化和化歸的思想，消元(換元)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)數(shù)學(xué)邏輯思維能力提出了比較高的要求.本文針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，提出解決該類(lèi)問(wèn)題的一些策略，以供教學(xué)參考.

策略一、整體換元法

破解多元變量問(wèn)題的一個(gè)有效方法是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃魏髮⒑卸鄠€(gè)變量的表達(dá)式看作一個(gè)整體變量，進(jìn)行整體換元，達(dá)到減少變量的目的.

例1 若存在正實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x方程x-k(x+m-2ex)[ln(x+m)-lnx]=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

分析：方程x-k(x+m-2ex)[ln(x+m)-lnx]=0中含有三個(gè)變量x,k,m，而ln(x+m)-lnx=

圖1

策略二、引入中間變量進(jìn)行換元

除了整體換元外，對(duì)于多變量問(wèn)題，可以通過(guò)引入一個(gè)新的中間變量達(dá)到換元的目的，比如x2+y2=r2，則設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ.再比如均值換元法：若x+y=2m，則設(shè)x=m-d,y=m+d等等.

例3 已知a,b∈R，且ex≥a(x-1)+b對(duì)x∈R恒成立，則ab的最大值是.

點(diǎn)評(píng)：本題常規(guī)的做法是構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-a(x-1)-b，利用求導(dǎo)分類(lèi)討論的方法，比較復(fù)雜，不太容易理解.這里通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想通過(guò)引入中間變量，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0來(lái)解決，比較有新意.

策略三、變換主元

對(duì)于一些多變量的問(wèn)題，有時(shí)可以更換一下主元，換一個(gè)角度看問(wèn)題，則復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解.

分析：函數(shù)f(x)因?yàn)楹衑2x,2t(ex+x),x2，若直接求導(dǎo)運(yùn)算會(huì)比較復(fù)雜，如果我們換一個(gè)角度，將變量t視為主元，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的一個(gè)二次函數(shù).

例6 (2015全國(guó)Ⅰ卷文科21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

分析：本題第二問(wèn)一般的做法是對(duì)f(x)求導(dǎo)后虛設(shè)零點(diǎn)，設(shè)而不求的方法解決.這里采用變換主元的思想來(lái)嘗試一下.

策略四、數(shù)形結(jié)合利用幾何意義

對(duì)于多變量的表達(dá)式，有些具有明顯的幾何意義，可以借助幾何圖形意義加以解決.

例7 接例5

圖2