江蘇省蘇州市田家炳實驗高級中學(xué) (215004) 李雋易

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要課型之一，其目的是幫助學(xué)生系統(tǒng)整理所學(xué)知識，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，并在問題解決過程中融會貫通，實現(xiàn)知識的內(nèi)化．教材是課程的載體，也是高考題的源頭，因此，回歸教材、整合教材是復(fù)習(xí)課教學(xué)的重要前提．立足復(fù)習(xí)課的特點，基于教材整合的復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)整合知識，綱舉目張；整合例習(xí)題，尋根探源；探究變式，融會貫通．

1.整合知識，綱舉目張

整合知識的行為，來源于對運用知識的訴求．理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)是運用知識的最低要求，而理解知識的適用情境，則有利于問題識別與知識激活．因此，可從兩個方面進(jìn)行知識整合．

一是，強(qiáng)調(diào)知識聯(lián)系，明晰知識結(jié)構(gòu)．例如，立體幾何章節(jié)中“空間垂直關(guān)系”主要包括兩直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三個主要內(nèi)容，以及它們之間的相互關(guān)系．如圖1所示，復(fù)習(xí)時可畫出知識結(jié)構(gòu)圖，以幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)良好的知識體系．

圖1

二是，強(qiáng)調(diào)問題統(tǒng)領(lǐng)，明確適用情境．有關(guān)“空間垂直關(guān)系”的證明問題主要包括異面直線垂直、線面垂直以及面面垂直問題．在復(fù)習(xí)時，可直接提出問題，“可證明兩條異面直線垂直的方法有哪些”“可證明直線與平面垂直的方法有哪些”“可證明平面與平面垂直的方法有哪些”，以幫助學(xué)生從問題解決的角度梳理數(shù)學(xué)知識．

實行多樣化的知識整合，有助于學(xué)生從不同角度去審視知識、理解知識，為知識運用做好準(zhǔn)備．

2.整合例習(xí)題，尋根探源

教材例習(xí)題由教材編寫者精心編制，既是運用數(shù)學(xué)知識的典型案例，又是反映數(shù)學(xué)思想的重要載體．橫向來看，同一個知識點通過不同的現(xiàn)實模型來呈現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)表征與數(shù)學(xué)應(yīng)用的多樣性，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)；縱向來看，分布在不同章節(jié)中的一系列知識點通過同一現(xiàn)實模型來呈現(xiàn)，從數(shù)學(xué)問題的層層推進(jìn)中，展現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的不斷深入，既有利于學(xué)生把握知識點之間的聯(lián)系，也有利于學(xué)生領(lǐng)會、掌握分解問題、轉(zhuǎn)化問題進(jìn)而解決問題的方法．其中，教材例習(xí)題的橫向整合更適合于新授課，而縱向整合更適用于復(fù)習(xí)課．

以“空間垂直關(guān)系”為例，教材對正方體模型的研究，貫穿了異面直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的學(xué)習(xí)過程．復(fù)習(xí)課中可通過再現(xiàn)、重組、改編等方式，整合相應(yīng)的例習(xí)題，實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的“有層次推進(jìn)”．

例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中．

(1)求證：BD⊥平面AA1C；

(2)求證：A1C⊥BD；

(3)求證：A1C⊥BC1；

(4)求證：A1C⊥平面BC1D．

圖2 圖3 圖4 圖5

證明：(1)如圖2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA1．因為四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC．又因為AA1∩AC=A，AA1?平面AA1C，AC?平面AA1C，所以BD⊥平面AA1C．

(2)如圖3所示，由(1)知，BD⊥平面AA1C，又因為A1C?平面AA1C，所以A1C⊥BD．

(3)如圖4所示，連結(jié)B1C．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥A1B1．因為四邊形BCC1B1為正方形，所以BC1⊥B1C．又因為A1B1∩B1C=B1，A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．又因為A1C?平面A1B1C，所以A1C⊥BC1．

(4)如圖5所示，由(2)(3)知，A1C⊥BD，A1C⊥BC1，又因為BD∩BC1=B，BD?平面BC1D，BC1?平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D．

說明：例1改編自蘇教版《必修2》第38頁練習(xí)的第3題，第41頁習(xí)題1.2(2)的第7題、第15題．其中，第(3)小問是第(1)(2)問的簡單遷移運用，而第(4)小問則是第(1)(2)(3)問的組合運用．

例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AA1中點．求證：

(1)A1C∥平面BDE；

(2)平面BDE⊥平面BC1D．

圖6

證明：(1)如圖6所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)AC交BD于O，則O為AC中點．因為E為AA1中點，所以O(shè)E為△BDE中位線，即EO∥A1C．又因為EO?平面BDE，A1C?平面BDE，所以A1C∥平面BDE．

(2)由例1知A1C⊥BD，A1C⊥BC1．由例2(1)知EO∥A1C．所以EO⊥BD，EO⊥BC1．又因為BD∩BC1=B，BD?平面BC1D，BC1?平面BC1D，所以EO⊥平面BC1D．因為EO?平面BDE，所以平面BDE⊥平面BC1D．

說明：例2改編自蘇教版《必修2》第69頁復(fù)習(xí)題的第17題．其中，例2(2)則是例1與例2(1)的組合運用．

點評：例2(2)是一道較為復(fù)雜的問題，學(xué)生通過例1、例2的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)問題由簡單到復(fù)雜的演變過程，領(lǐng)會分解問題、轉(zhuǎn)化問題的思想，學(xué)會在研究數(shù)學(xué)問題時識別數(shù)學(xué)問題“小的時候的樣子”，進(jìn)而找到解決問題的切入點和突破口．與此同時，在數(shù)學(xué)運用的過程中，領(lǐng)會、掌握知識間的聯(lián)系．

3.探究變式，融會貫通

解決問題的變式是聯(lián)結(jié)未解決的復(fù)雜問題和已解決的簡單問題之間的一系列中介問題，其主要作用是為化歸提供鋪墊．從這個意義上來說，整合后的教材例習(xí)題，本就是一系列的變式．而在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，可在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步延拓，形成新的變式，繼續(xù)推進(jìn)對現(xiàn)實模型的研究，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合運用相關(guān)知識研究問題的能力．

另一方面，也可將整合后的教材例習(xí)題視為問題解決的樣例．將學(xué)生在師生互動下的問題探究視為對問題解決樣例的學(xué)習(xí)．因此，教學(xué)中應(yīng)提供樣例的變式，以幫助學(xué)生在樣例方法的遷移過程中，深化對相關(guān)問題解決方法、策略的理解與融通．

變式在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AA1中點，記AC∩BD=O，求證：C1O⊥平面BDE．

圖7

證法1:(結(jié)論推進(jìn))如圖7所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因為四邊形ABCD為正方形，AC∩BD=O，所以O(shè)為BD中點．因為C1B=C1D，所以C1O⊥BD．由例2知平面BDE⊥平面BC1D．又因為平面BDE∩平面BC1D=BD，C1O?平面BC1D，所以C1O⊥平面BDE．

圖8

證法2:(方法遷移)如圖8所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)A1C1，分別取A1C1,A1B1中點O1,F，連結(jié)AF,FO1,AO1．

因為AA1∥BB1且AA1=BB1，BB1∥CC1且BB1=CC1，所以AA1∥CC1且AA1=CC1，故四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以AC∥A1C1且AC=A1C1．又因為O,O1分別為AC,A1C1中點，所以AO∥O1C1且AO=O1C1，故四邊形AOC1O1為平行四邊形，所以AO1∥OC1．

圖9

點評:該題為例1、例2的變式，與例1、例2結(jié)構(gòu)相似但更為復(fù)雜，并且不同的遷移視角，反映出的證明方法也不同．證法1是對例2結(jié)論的進(jìn)一步推進(jìn)，學(xué)生可在例2的基礎(chǔ)上聯(lián)結(jié)更多的數(shù)學(xué)知識，深化對知識結(jié)構(gòu)的理解．而例1、例2也為變式的解決提供了較多鋪墊，使得學(xué)生可以順利地解決較為困難的問題．證法2是對例1解題方法的遷移，學(xué)生可在此過程中鞏固所學(xué)，并解決相似解法中的新問題，進(jìn)而深化對解題方法的理解．