福建省閩清縣第一中學(xué) (350800) 徐杰霞

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)指出：邏輯推理是從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納和類比；另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).邏輯推理主要表現(xiàn)為：掌握推理的基本形式和規(guī)則；發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出命題；探索和表述論證過(guò)程；理解命題體系；有邏輯地表達(dá)與交流![1].課堂教學(xué)中，探究性教學(xué)是發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要途徑.下面筆者結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗谔骄啃越虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的幾點(diǎn)體會(huì).

1.在結(jié)論的產(chǎn)生過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生探究，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是在特定的情境中，要求學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題.在課堂中，教師應(yīng)提供素材，從知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的切入點(diǎn)、思維的疑惑點(diǎn)精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)(概念、定理、公式等)的產(chǎn)生過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、證明的過(guò)程，使他們?cè)趯?shí)質(zhì)性的思維活動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

案例1 《普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)5(必修)》“正弦定理”的推理

必修5“解三角形”，是將學(xué)生初中學(xué)習(xí)的解直角三角形內(nèi)容延伸到解任意三角.如何引導(dǎo)學(xué)生自然而然地獲得“正弦定理”呢？下面是一次市級(jí)公開(kāi)課的教學(xué)片斷.

教學(xué)片斷1提出問(wèn)題，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)

問(wèn)題1 在三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否可以得到邊、角之間的定量關(guān)系呢？

圖1

師：我們可以先從特殊的三角形入手研究三角形的邊角關(guān)系，大家想選擇哪一類三角形呢？

生1：直角三角形.

師：同學(xué)們回顧一下初中學(xué)過(guò)的直角三角形的邊角關(guān)系式.

師(追問(wèn)1)：以上兩個(gè)等式有什么聯(lián)系？

師(追問(wèn)2)：以上等式含有角A、B，若等式也含有角C，那就更完美了，大家有什么想法？

教學(xué)片斷2類比猜想，分析證明

師：以上等式對(duì)正三角形能否成立？對(duì)內(nèi)角分別為30°,30°,120°的等腰三角形能否成立？(學(xué)生驗(yàn)證成立)

(學(xué)生思考、討論、猜想.)

教師用幾何畫板演示，學(xué)生觀察：邊角的數(shù)據(jù)雖然在變化，但三組比值總是相等的，驗(yàn)證了猜想的正確性.

圖2

師：怎樣證明對(duì)于任意三角形，以上結(jié)論也成立呢？

(學(xué)生探究)

師：思路清晰！圖2是銳角三角形,若ΔABC為鈍角三角形的情況，請(qǐng)大家完成.

圖3

問(wèn)題3 請(qǐng)?zhí)骄空叶ɡ淼钠渌C明方法.(限于篇幅，略)

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽、合理地猜想，這樣不僅有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，加速新結(jié)論的形成，而且能讓學(xué)生逐步掌握推理的基本形式，形成有論據(jù)、有條理的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).本課例從正弦定理產(chǎn)生的源頭出發(fā)，宏觀地提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從特殊的直角三角形出發(fā)，探究邊角關(guān)系式，使定理的發(fā)現(xiàn)與證明水到渠成，學(xué)生在進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碜C明的過(guò)程中，體會(huì)到了特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思維規(guī)律.這樣在教師的引導(dǎo)下“再發(fā)現(xiàn)“的過(guò)程，省力、省時(shí)且立意高遠(yuǎn)，學(xué)生不僅得到了“正弦定理”，而且獲得了解決一類問(wèn)題的基本思路(從特殊到一般，先猜想再證明的一般思路)，提高和發(fā)展了自身的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2.在數(shù)學(xué)運(yùn)用中引導(dǎo)學(xué)生探究，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)沒(méi)有捷徑，必須立足課堂，貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的全過(guò)程，循序漸進(jìn)、日積月累.教師在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論并進(jìn)行證明之后，為了鞏固新知，深化知識(shí)內(nèi)涵，數(shù)學(xué)運(yùn)用是課堂教學(xué)必備的一個(gè)重要環(huán)節(jié).教師可設(shè)置一些恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，使概念、規(guī)律的運(yùn)用過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)思辯的過(guò)程，通過(guò)學(xué)生積極的、活躍的思維碰撞，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)涵更全面、更深刻的理解，促進(jìn)知識(shí)能力的高效果正遷移，提升思維品質(zhì)和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

案例2 《普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)5(必修)》“正弦定理”的應(yīng)用(第一課時(shí))

問(wèn)題1 在什么條件下可以用“正弦定理”解三角形？

生1：已知三角形的兩角和一邊，能用正弦定理求解其他的邊和角.

生2：已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，也可以用正弦定理求解其他的邊和角.

問(wèn)題2 已知ΔABC中，c=10,A=45°,C=30°,求a.

變式已知ΔABC中，c=10,A=45°,C=30°,解三角形.

師：以上解法正確嗎？

學(xué)生思考、討論.有的學(xué)生覺(jué)得是對(duì)的，有的認(rèn)為不正確.

師：生4考慮問(wèn)題很嚴(yán)謹(jǐn)，大家驗(yàn)證一下以上兩解是否都滿足條件？

圖4

生5：如圖4所示，作CD⊥BA,D為垂足，在RtΔCAD中，CD=bsinA=3

師(追問(wèn))：能把它拓展到一般情形嗎？

問(wèn)題4 已知a，b，∠A，解三角形，如何判定解的情況？

(學(xué)生躍躍欲試，又開(kāi)始了探究.)

生6：如圖4，假設(shè)b≥a，當(dāng)bsinA=a時(shí)，有一個(gè)解；當(dāng)bsinAa時(shí)，無(wú)解.

師：總結(jié)得很到位！解三角形時(shí)，如果已知兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以先判定解的情況.

學(xué)生對(duì)“正弦定理“的認(rèn)識(shí)是在探究學(xué)習(xí)和運(yùn)用過(guò)程中不斷發(fā)展的，因此在定理的運(yùn)用階段，教師精心設(shè)置問(wèn)題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理訓(xùn)練，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，形成有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和嚴(yán)謹(jǐn)、求真的理性精神.

3.2 動(dòng)物行為的獲得途徑 教師導(dǎo)言： 在我們生活的地球中，有數(shù)百萬(wàn)種動(dòng)物，有的翱翔天際，有的馳騁大地，有的潛行水底，每種動(dòng)物都有其獨(dú)特的行為。它們的行為是如何獲得呢？

3.在解題的反思中引導(dǎo)學(xué)生探究，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”在解決問(wèn)題后，引導(dǎo)學(xué)生反思，這不僅僅是簡(jiǎn)單的回顧或檢驗(yàn)，更是對(duì)解題過(guò)程的深化與提高，能促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)從感性層面上升到理性的高度，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提升到由例及類的檔次，有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)與創(chuàng)新能力的形成，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線PE、PF的斜率互為相反數(shù)，求證：直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

完成了本題后，教師有意識(shí)得引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行反思：

同學(xué)們也感到好奇，開(kāi)始了探究.

反思3：橢圓有上述結(jié)論，雙曲線、拋物線會(huì)不會(huì)也有類似的結(jié)論？

學(xué)生經(jīng)過(guò)探究，得到了如下性質(zhì)：

由上述結(jié)論可以得到圓錐曲線統(tǒng)一的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì).

性質(zhì)4 已知點(diǎn)A是圓錐曲線C上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E、F是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P和曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)的連線與曲線C的對(duì)稱軸垂直，且kPE+kPF=0,那么|kEF|=e.

通過(guò)層層遞進(jìn)式的反思，引導(dǎo)學(xué)生在探究中感悟、內(nèi)化解題經(jīng)驗(yàn)，能使學(xué)生掌握的知識(shí)更具廣度和深度，使知識(shí)產(chǎn)生“連鎖反應(yīng)”效應(yīng)，并生成新的問(wèn)題“生長(zhǎng)點(diǎn)”，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題的良好習(xí)慣.

毋容置疑，數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展不可能是一朝一夕之功，而是一個(gè)持久的系統(tǒng)工程，教師應(yīng)為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展創(chuàng)設(shè)時(shí)空，引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)化的思維過(guò)程，感知數(shù)學(xué)魅力，從而積極主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)落地開(kāi)花！