林春丹 李秋真 張 程 張萬(wàn)松 楊振清

(中國(guó)石油大學(xué)(北京) 1理學(xué)院； 2新能源與材料學(xué)院，北京 102249)

2020年以來(lái)，受新型冠狀病毒肺炎影響，教育部明確要求各高校延遲開學(xué)，以“停課不停學(xué)”為目標(biāo)，組織開展線上教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生居家學(xué)習(xí)[1]。線上教學(xué)一般需要手機(jī)的輔助，小巧的智能手機(jī)變成必不可少的工具，尤其對(duì)于處理比較繁瑣的物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也可以用智能手機(jī)輔助完成，因此引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中嘗試?yán)弥悄苁謾C(jī)對(duì)提高線上實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果有較好的作用。本文針對(duì)用模擬法描繪靜電場(chǎng)這一理工科學(xué)生必做的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)[2]展開研究。由于靜電場(chǎng)難以直接準(zhǔn)確測(cè)量，通常利用電流場(chǎng)來(lái)模擬靜電場(chǎng)。實(shí)驗(yàn)中一般采用雙層靜電場(chǎng)測(cè)試儀，通過探針在紙上打出電位相等的點(diǎn)[3-4]。實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)處理的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是測(cè)量各等勢(shì)線的半徑，并對(duì)U與lnr進(jìn)行線性擬合[5]。傳統(tǒng)上一般由學(xué)生手動(dòng)計(jì)算出半徑的平均值，并擬合U與lnr的線性關(guān)系，得出斜率值。此過程涉及的數(shù)據(jù)處理量大，計(jì)算過程復(fù)雜，且耗時(shí)較長(zhǎng)。其他運(yùn)用OpenCV軟件[6]、Origin軟件[7-8]、Matlab軟件[9-10]等計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法對(duì)學(xué)生的編程或軟件運(yùn)用能力要求高，不易上手。同時(shí)，此類軟件安裝困難且計(jì)算機(jī)不便攜帶。這使得靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理過程具有一定的難度。

由此本文提出了基于智能手機(jī)中的相機(jī)及Geogebra軟件完成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方法。利用Geogebra軟件實(shí)現(xiàn)了等勢(shì)點(diǎn)的坐標(biāo)確定、等勢(shì)線的擬合、三維等勢(shì)面的模擬等過程。此方法可大幅減小實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理難度，節(jié)約學(xué)生們的計(jì)算時(shí)間。同時(shí)，智能手機(jī)的普及和Geogebra軟件的開源性使得此方法具有較強(qiáng)的普適性，適合在疫情期間進(jìn)行居家學(xué)習(xí)。

1 靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)的原理及內(nèi)容

1.1 用電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)

靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)。然而，由于靜電場(chǎng)中無(wú)電流，無(wú)法用常見的電流表進(jìn)行測(cè)試。靜電式儀表又存在靜電感應(yīng)的問題，會(huì)改變電場(chǎng)的原始分布，因此靜電場(chǎng)很難直接測(cè)量[8]。

恒定電流所產(chǎn)生的穩(wěn)恒電場(chǎng)的基本特性與靜電場(chǎng)相同，且其中的電場(chǎng)分布容易測(cè)量，故可用恒定電流場(chǎng)來(lái)模擬靜電場(chǎng)[11]，即通過測(cè)量和描繪電流場(chǎng)中的電位分布來(lái)確定相應(yīng)靜電場(chǎng)中的電位及場(chǎng)強(qiáng)分布。

1.2 真空中的圓柱形電容器

圖1 圓柱形電容器示意圖

本文主要針對(duì)兩個(gè)長(zhǎng)直同軸圓柱型導(dǎo)體間的電場(chǎng)[12]進(jìn)行研究。設(shè)長(zhǎng)為l的圓柱形電容器(圖1)的內(nèi)外極板的半徑分別為a和b(且a、b?l)，設(shè)其均勻帶有等量異號(hào)的電荷，線電荷密度的絕對(duì)值為λ。由于其對(duì)稱性，半徑為r(r>a)的圓柱面上電場(chǎng)強(qiáng)度的方向應(yīng)沿著半徑方向，大小E應(yīng)為常數(shù)，則由高斯定理可得：

(1)

令U為內(nèi)圓柱面與半徑為r的圓柱面上一點(diǎn)p之間的電壓，則：

(2)

1.3 等勢(shì)線的測(cè)定與描繪

測(cè)量二維電場(chǎng)電位分布的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖2所示，電路圖如圖3所示。裝置下部的電極間充以導(dǎo)電液P，在內(nèi)外電極之間加上頻率為1000Hz的交流電，電壓有效值為U0。在兩電極間有電流流過，從而形成一組等勢(shì)線，其位置可通過電壓表和探針e測(cè)出[13]。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圖3 電路示意圖

實(shí)驗(yàn)步驟如下：

(1) 按圖3連好線路圖，在電極水槽中充以適量的水作為導(dǎo)電液，水的深度以稍沒過電極為宜。

(2) 接通電源，通過調(diào)節(jié)電源的輸出電壓和滑線電阻的分壓使兩電極間的交流電壓有效值為1.00V。

(3) 打出電壓表讀數(shù)為0.20V、0.30V、……、0.90V的幾組相差為0.10V等勢(shì)點(diǎn)。

(4) 將各等勢(shì)點(diǎn)連接，描繪出等勢(shì)線。

1.4 電力線的描繪

在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量等于電位的負(fù)梯度。當(dāng)畫出電場(chǎng)等勢(shì)線的分布圖后，就可在此基礎(chǔ)上描繪出電力線圖，在描繪時(shí)使電力線與等勢(shì)線處處垂直，且電力線的方向指向電位下降的方向。

2 人工數(shù)據(jù)處理

2.1 人工數(shù)據(jù)處理流程

靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)的傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法需要學(xué)生手動(dòng)描點(diǎn)、測(cè)量并計(jì)算。處理步驟如下：

(1) 將各等勢(shì)點(diǎn)連接繪制出等勢(shì)線，垂直于等勢(shì)線繪制電場(chǎng)線，確定圓心。圖4為學(xué)生手動(dòng)描繪的等勢(shì)線及電場(chǎng)線圖。

圖4 手描的等勢(shì)線圖

(2) 在各等勢(shì)線中取四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行半徑的測(cè)量和記錄，并計(jì)算半徑的平均值及對(duì)數(shù)值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄與計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 各等勢(shì)線的半徑值、半徑平均值及對(duì)數(shù)值

續(xù)表

(3) 在坐標(biāo)紙上建立U-lnr坐標(biāo)系，描點(diǎn)作圖并進(jìn)行擬合, 擬合曲線如圖5所示，該曲線符合線性關(guān)系，計(jì)算得到斜率為0.55。

圖5 人工線性擬合圖

2.2 人工數(shù)據(jù)處理的弊端

人工數(shù)據(jù)處理過程涉及大量的數(shù)據(jù)測(cè)量、記錄和計(jì)算過程，處理過程復(fù)雜且耗時(shí)。且人工繪圖和確定圓心的過程存在較多不確定因素，計(jì)算過程中也存在精度的限制，帶來(lái)了一定的實(shí)驗(yàn)誤差，難以保證實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。

3 基于智能手機(jī)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

3.1 Geogebra軟件的簡(jiǎn)要介紹

Geogebra，簡(jiǎn)稱GGB，是一款免費(fèi)、開源且性能可靠的學(xué)習(xí)和教學(xué)的動(dòng)態(tài)軟件[14]。它包含運(yùn)算區(qū)、繪圖區(qū)、表格區(qū)等多個(gè)模塊以及代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等多項(xiàng)功能。其數(shù)學(xué)表現(xiàn)豐富準(zhǔn)確，且界面簡(jiǎn)潔，操作方便，易學(xué)易用，占用內(nèi)存小，學(xué)生可獨(dú)立完成安裝及操作過程。

3.2 基于智能手機(jī)的數(shù)據(jù)處理

3.2.1 打點(diǎn)圖的導(dǎo)入及定位

利用智能手機(jī)中的相機(jī)，1∶1拍攝打點(diǎn)圖。將拍攝圖片導(dǎo)入手機(jī)中的GGB軟件，根據(jù)實(shí)際打點(diǎn)圖中最外側(cè)等勢(shì)線的直徑值(單位cm)設(shè)定圖片的頂點(diǎn)位置，使圖形的像素坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)吻合。將圖片鎖定于坐標(biāo)軸之上，則其在后續(xù)縮放或移動(dòng)過程中會(huì)與坐標(biāo)軸同步變化。

3.2.2 點(diǎn)的標(biāo)定及圖像模擬

利用“標(biāo)點(diǎn)”工具，可得到各點(diǎn)的坐標(biāo)值。在每圈等勢(shì)線上選取連線接近正三角形的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定，以保證圓心位置誤差及其對(duì)應(yīng)的半徑標(biāo)準(zhǔn)差均為最小，即為“優(yōu)質(zhì)組合”[5]。標(biāo)點(diǎn)過程中可將圖片進(jìn)行放大并調(diào)整有效數(shù)字位數(shù)以保證標(biāo)點(diǎn)的的準(zhǔn)確性及精確度。在最內(nèi)圈標(biāo)出三點(diǎn)A、B、C，可自動(dòng)顯示其坐標(biāo)。利用“圓形擬合”工具，可得到最內(nèi)側(cè)圓形的方程式及r2值。點(diǎn)的坐標(biāo)及擬合結(jié)果如圖6(a)、(b)所示。

圖6 最內(nèi)側(cè)等勢(shì)點(diǎn)的擬合結(jié)果(a) 點(diǎn)的坐標(biāo)及圓的方程式; (b)擬合出的等勢(shì)線

對(duì)外側(cè)等勢(shì)點(diǎn)重復(fù)上述兩個(gè)步驟。最終得到一系列的等勢(shì)圓及其方程。利用“向量”工具可垂直于等勢(shì)線繪制出電場(chǎng)線，如圖7所示。

圖7 等勢(shì)線及電場(chǎng)線模擬圖

圖8 三維等勢(shì)圓柱面模擬圖(a) 正視圖; (b)斜視圖; (c) 剖面圖

利用“3D繪圖區(qū)”模塊中的“圓柱”功能，按照所得圓的方程建立三維立體等勢(shì)圓柱面圖。在此基礎(chǔ)上，用手指觸屏拖動(dòng)三維圖形即可實(shí)現(xiàn)三維等勢(shì)面的平移或旋轉(zhuǎn)，圖8(a)、(b)、(c)分別為模擬出的三維等勢(shì)面的正視圖、斜視圖及剖面圖。通過上述操作學(xué)生可在各自的智能手機(jī)上進(jìn)行立體圓柱等勢(shì)面的多角度觀察。

3.2.3 對(duì)數(shù)擬合

選中B、C兩列，進(jìn)行“雙變量回歸分析”，選擇“對(duì)數(shù)”作為回歸模型進(jìn)行擬合，則省去了計(jì)算半徑對(duì)數(shù)值的步驟，可直接得到U與r的擬合曲線及其方程，即圖9(b)中的y=0.13284+0.54068lnx，則U與lnr線性關(guān)系的斜率k值為0.54068。

圖9 手機(jī)軟件的擬合結(jié)果(a) 數(shù)據(jù)表格; (b)對(duì)數(shù)擬合曲線及方程式

根據(jù)式(3)，可計(jì)算得斜率k的理論值。擬合結(jié)果相比人工計(jì)算擬合的結(jié)果更為準(zhǔn)確，二者與理論值的比較如表2所示，基于智能手機(jī)的擬合結(jié)果準(zhǔn)確率提高了2.0%。

表2 兩種方法結(jié)果與理論值的比較

3.3 基于手機(jī)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的優(yōu)勢(shì)

基于智能手機(jī)中的相機(jī)及GGB軟件進(jìn)行靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理避免了手動(dòng)處理時(shí)繁冗的數(shù)據(jù)測(cè)量、記錄和計(jì)算過程， 也無(wú)需學(xué)生攜帶或使用計(jì)算機(jī)，僅需一部手機(jī)即可完成整個(gè)數(shù)據(jù)處理過程。處理過程方便、快捷，且計(jì)算精度較高，保證了實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。學(xué)生們也可在手機(jī)上觀察到靜電場(chǎng)的二維等勢(shì)線及三維等勢(shì)圓柱面，使得靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)更加生動(dòng)直觀。

此外，此軟件還可實(shí)現(xiàn)保存、導(dǎo)出圖片、分享等功能，學(xué)生們可以隨時(shí)保存數(shù)據(jù)處理結(jié)果，也可以利用智能手機(jī)中的多種社交軟件將文件傳輸給同學(xué)或老師進(jìn)行文件共享或作業(yè)的提交等工作，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了物理實(shí)驗(yàn)的智能化和信息化，實(shí)現(xiàn)了疫情期間對(duì)物理實(shí)驗(yàn)的的線上居家學(xué)習(xí)。同時(shí)，在新工科的建設(shè)背景下，將智能手機(jī)應(yīng)用于傳統(tǒng)的物理實(shí)驗(yàn)過程中可在一定程度實(shí)現(xiàn)“厚基礎(chǔ)”的升級(jí)創(chuàng)新。

4 結(jié)語(yǔ)

本研究將靜電場(chǎng)描繪實(shí)驗(yàn)與智能手機(jī)相結(jié)合，使傳統(tǒng)的靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了智能化計(jì)算模擬。改進(jìn)后的靜電場(chǎng)模擬描跡實(shí)驗(yàn)的處理方法避免了手動(dòng)描線、計(jì)算半徑平均值、線性擬合等大量的數(shù)據(jù)處理過程，大大減少了計(jì)算量，節(jié)省了實(shí)驗(yàn)時(shí)間，且保證了計(jì)算的精確度。本方法普適性強(qiáng)，能夠使學(xué)生們有效利用手中的智能手機(jī)，準(zhǔn)確且高效地完成數(shù)據(jù)處理過程，并直觀觀察到二維等勢(shì)線與三維等勢(shì)面，使傳統(tǒng)的靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)變得簡(jiǎn)易、生動(dòng)且直觀，對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)老師開拓思路也有參考意義。