鄧崇林

(獨(dú)立研究員)

一般在談?wù)撝改宪嚇?gòu)造與原理時(shí)，人們通常會(huì)說(shuō)指南車是一種具有負(fù)回饋?zhàn)饔貌⒛芏ㄏ虻淖詣?dòng)化機(jī)械裝置[1]，也有自動(dòng)控制專著指出指南車應(yīng)用了反饋原理的控制裝置[2,3]，甚至指南車機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)專家在其文獻(xiàn)中特別強(qiáng)調(diào)指南車是擁有負(fù)反饋機(jī)構(gòu)的機(jī)械裝置[4]。早期英國(guó)專研中國(guó)科學(xué)技術(shù)史的李約瑟說(shuō)過(guò)指南車有負(fù)反饋回路自動(dòng)控制[5]，這或許是大家這么說(shuō)的源頭吧。但是，也有控制專家萬(wàn)百五持不同觀點(diǎn)，他認(rèn)為指南車是一個(gè)按擾動(dòng)補(bǔ)償原理工作的開環(huán)自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)[6]，該文從機(jī)械觀點(diǎn)推論，差動(dòng)齒輪系指南車乃依差動(dòng)齒輪機(jī)械原理運(yùn)作，它會(huì)形成閉環(huán)自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。萬(wàn)百五又在他的另一篇文章里補(bǔ)充了指南車應(yīng)用了不變性原理[7]。

指南車的控制理論到底為何，其實(shí)還有其他不同觀點(diǎn)，讓人莫衷一是，這里就不一一贅述?？傊⒄摵我匀绱硕鄻樱科湓騼H有一個(gè)，就是指南車欠缺一個(gè)數(shù)學(xué)模型的控制理論，在沒(méi)有可供推算的理論基礎(chǔ)之下，便造成了現(xiàn)今眾說(shuō)紛紜的局面，因此，這就成了本文的研究動(dòng)機(jī)。

1 研究對(duì)象與方法

談到指南車的機(jī)械裝置，這里先來(lái)界定一下本文討論有關(guān)指南車的組成構(gòu)件。指南車在實(shí)體上是由兩側(cè)車輪、傳遞裝置、轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)、車架、指向器等五大構(gòu)件所組建而成的雙輪無(wú)動(dòng)力車輛。這里所涉及的傳遞裝置與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)需要進(jìn)一步詮釋，其中傳遞裝置乃由于車輪轉(zhuǎn)動(dòng)與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)之間有一段空間隔閡，為了填補(bǔ)此段距離以及進(jìn)行運(yùn)動(dòng)傳遞和轉(zhuǎn)速校正，該裝置將會(huì)由齒輪、復(fù)合齒輪或齒輪對(duì)兩兩嚙合組成；至于轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)基本上是采用差動(dòng)輪系機(jī)構(gòu)，當(dāng)然這是從機(jī)械機(jī)構(gòu)的角度來(lái)看；倘若改用自動(dòng)控制的角度，它將以機(jī)械構(gòu)件做為基礎(chǔ)在角速度方面的兩個(gè)輸入一個(gè)輸出的控制器；如以功能作用的角度來(lái)看，當(dāng)指南車行駛時(shí)，該裝置會(huì)時(shí)時(shí)左右著車上指向器的轉(zhuǎn)向，因此，特稱其為轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，這是本文采用的術(shù)語(yǔ)，因?yàn)樵谕茝V至諸如不用齒輪也能控制指向器的指南車[8,9]時(shí)，名稱的不變性，能保住控制理論的一貫陳述。

現(xiàn)在探討指南車控制情況。首先，輸入端利用適當(dāng)?shù)母兄b置(同時(shí)運(yùn)用左右兩側(cè)的車輪)不斷地測(cè)量車輛行進(jìn)中兩輪滾動(dòng)軋出不同軌道所反映的行程變化信號(hào)(ΔS)，如站在維持特定方向控制目標(biāo)來(lái)看，這些行程變量會(huì)帶來(lái)方向維持上的干擾，因此稱其為擾動(dòng)信息或簡(jiǎn)稱擾動(dòng)，此刻感知裝置一邊進(jìn)行輸入擾動(dòng)信息同時(shí)一邊進(jìn)行信息轉(zhuǎn)換發(fā)出兩車輪角速度差速(Δω)之前饋(feed forward)信息并立刻反應(yīng)給傳遞裝置與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，又在量測(cè)擾動(dòng)當(dāng)下，由于所有裝置混在輪車架里頭，當(dāng)擾動(dòng)被量測(cè)時(shí)，車輪也推駛著車架，從而車架即刻產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)角速度變量(Φ)，它會(huì)連帶使得受控對(duì)象指向器為之改變?cè)较?，從控制原理?lái)看，這就是干擾信息，但在方向剛要被影響的那一瞬間，指向器立馬收到來(lái)自轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)所發(fā)出的控制信息(Ω)，指向器自然受到雙方通道影響，當(dāng)會(huì)調(diào)動(dòng)控制信息以補(bǔ)償干擾信息，也就是調(diào)合(Φ+Ω)成為系統(tǒng)的控制要求，理論上最優(yōu)解當(dāng)然是零，這也就成了最優(yōu)化控制條件，也稱作不變性原理[7]，持續(xù)不斷依此控制，指南車始終能夠克服擾動(dòng)，從而使輸出方向變量保持穩(wěn)定不變。原理上，指南車如設(shè)計(jì)妥當(dāng)，在理想運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，無(wú)論做任何方向行駛，其指向器仍永遠(yuǎn)保守著既定的方向，這就是整體指南車進(jìn)行自動(dòng)控制的過(guò)程。以下就用一張藉指南車組成構(gòu)件之間信息互動(dòng)來(lái)說(shuō)明指南車前饋控制的概要圖。

從圖1中可以辨別出這是雙通道開環(huán)控制，由于輸出方向變量并不發(fā)出反饋信息，因此指南車自動(dòng)控制所起的作用是預(yù)先量測(cè)擾動(dòng)，實(shí)時(shí)進(jìn)行補(bǔ)償防止擾動(dòng)的擾亂，實(shí)屬按擾動(dòng)產(chǎn)生補(bǔ)償作用進(jìn)行調(diào)節(jié)的前饋控制(Feed Forward Control, FFC)系統(tǒng)，這就成了本文要研究的對(duì)象。

圖1 初步建立差動(dòng)式指南車前饋控制機(jī)械模型框圖

有了前述依實(shí)況分析建立差動(dòng)式指南車機(jī)械控制模型這個(gè)基礎(chǔ)，就能運(yùn)用古典控制理論方法建立指南車自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。為了達(dá)成這個(gè)目標(biāo)，首先，從圖1探出指南車控制系統(tǒng)是雙通道結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)系統(tǒng)雙通道結(jié)構(gòu)及工作原理將系統(tǒng)分成若干個(gè)環(huán)節(jié)，接著推演出每個(gè)環(huán)節(jié)各自的數(shù)學(xué)模型，并求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，再?gòu)南嗉狱c(diǎn)切入，分進(jìn)合擊之下，按信息流向依次連接成整體方框圖，既建立了控制系統(tǒng)方框圖，并依最優(yōu)化控制條件或不變性原理求出指南車設(shè)計(jì)規(guī)律。后續(xù)還會(huì)以實(shí)際指南車設(shè)計(jì)案例，進(jìn)行控制和機(jī)械方面的相互驗(yàn)證，并加以推廣，還要對(duì)常見誤區(qū)加以探討，進(jìn)而厘清一些長(zhǎng)久以來(lái)混淆不清的觀念，以上就是本研究的方法概要。

在落實(shí)研究方法之前，有些前提假設(shè)在這里預(yù)先提出來(lái)，本文推論都是基于這些假設(shè)。一般機(jī)械專家在設(shè)計(jì)指南車時(shí)，皆以運(yùn)動(dòng)學(xué)為基礎(chǔ)分析指南車在純滾動(dòng)條件下，運(yùn)用所設(shè)計(jì)的機(jī)械構(gòu)件傳動(dòng)比的線性特性，計(jì)算出構(gòu)件之間角速度的傳遞關(guān)系，從而算得指南車上指向器角速度與兩側(cè)車輪角速度差的數(shù)學(xué)關(guān)系式，最后獲得指南車的設(shè)計(jì)要求。本研究沿用前述慣例，以自動(dòng)控制的觀點(diǎn)創(chuàng)建指南車?yán)硐牖Ｐ驮谄矫嫔线\(yùn)動(dòng)的控制理論，即把指南車視為理想剛體同時(shí)不考慮指南車重量、施力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、力矩等力的作用，運(yùn)用機(jī)械線性構(gòu)件并排除諸如背隙(backlash)、不平滑、齒形誤差、組合誤差等非線性因素，且兩側(cè)等徑車輪在車輛運(yùn)動(dòng)時(shí)皆保持垂直立于平面上純滾動(dòng)，同時(shí)兩輪之間的輪軸與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)上的指向器也在平行于地平面的兩不同平面上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)剛體的任意轉(zhuǎn)動(dòng)，由原來(lái)歐拉角表征的章動(dòng)、進(jìn)動(dòng)和自旋三部分運(yùn)動(dòng)，在這些理想約束條件下，簡(jiǎn)化成為平面上單一自旋角速度運(yùn)動(dòng)，從而讓指南車形同剛體在平面上的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而找出其控制規(guī)律。

2 指南車保守指向的運(yùn)動(dòng)分析

圖2 車架瞬時(shí)行駛軌跡在平面的幾何圖

本節(jié)首先是弄清楚指南車形同剛體在平面上的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，即探討車輪行進(jìn)軌道、車架轉(zhuǎn)角與指向器的變化情形，目標(biāo)就是要建立起有關(guān)的數(shù)學(xué)模式，以利后續(xù)找出其控制規(guī)律?，F(xiàn)有一輛雙輪的輪軸間距長(zhǎng)為L(zhǎng)之指南車，以車頭前進(jìn)方向?yàn)闇?zhǔn)，由于兩輪徑等高又車輪直立于平面且輪軸構(gòu)件兩端垂直銜接車輪，于是輪軸構(gòu)件可垂直投影到兩輪與平面接觸點(diǎn)的連接線段，以俯視平面角度來(lái)看它們是迭合相等的，因此該連接線段的距離也是長(zhǎng)L，所以車架的平面運(yùn)動(dòng)也等于是該連接線段的平面運(yùn)動(dòng)，是等價(jià)的。今考慮當(dāng)車架在某瞬時(shí)Δt，于地面某一處觀測(cè)點(diǎn)O產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)角速度Φ，形成角位移Δθ，因此依角速度定義知Φ=Δθ/Δt，又此瞬時(shí)觀測(cè)點(diǎn)之速度為零，以剛體平面運(yùn)動(dòng)來(lái)論，可將它視為瞬時(shí)零速度中心之基準(zhǔn)點(diǎn)，其輪軸相當(dāng)于一條兩端長(zhǎng)L構(gòu)件的剛體，而構(gòu)件兩端點(diǎn)速度的垂直線就是輪軸的延伸線，速度瞬時(shí)中心出現(xiàn)于速度向量的垂在線，因此剛體上任意點(diǎn)的瞬時(shí)角速度全等于車架角速度Φ，在此瞬時(shí)其左輪2與右輪1行駛于平面上滾軋分別留下兩條軌道圓弧S2與S1，如圖2所示，則兩輪起點(diǎn)延伸線與兩輪終點(diǎn)延伸線必相交于瞬時(shí)中心O且夾角正是Δθ，其行程差為兩圓弧相減(ΔS=S2-S1)，且圓弧S1與O基準(zhǔn)點(diǎn)始終保持著等距r的關(guān)系，又圓弧長(zhǎng)度為瞬心切線速度乘以此瞬時(shí)時(shí)間，且瞬心切線速度的求得是以瞬時(shí)中心之距離半徑乘上角速度，因此，行程差就等于不同距離半徑乘上角位移的差額，其計(jì)算過(guò)程為：ΔS=S2-S1=(r+L)Δθ-rΔθ=LΔθ，再將兩邊同除以瞬時(shí)時(shí)間可得到下列數(shù)學(xué)關(guān)系式：

ΔS/Δt=L(Δθ/Δt)=LΦ(t)

(1)

式(1)是指南車行程差與車架旋轉(zhuǎn)之切線運(yùn)動(dòng)關(guān)系式。今改用幾何觀點(diǎn)來(lái)看，取S1終點(diǎn)處另畫一條輔助平行延伸線與兩輪起點(diǎn)延伸線相互平行的話，那么兩輪起點(diǎn)與此輔助平行延伸線之間，所分割出來(lái)的是平行的兩條圓弧線段，是等長(zhǎng)的，所以，原來(lái)的行程差先對(duì)消該平行分割曲線之后，就只剩下是取S1終點(diǎn)為原點(diǎn)，并于輪2在S2曲線分割后所剩余的軌道上，用車輪軸間距(L)當(dāng)半徑所畫的圓弧線，且夾角仍為Δθ，由于歐氏幾何上平行曲線的特性，證明了ΔS=LΔθ關(guān)系式，也驗(yàn)證了式(1)數(shù)學(xué)關(guān)系式成立，如令指向器于指南車起點(diǎn)啟動(dòng)時(shí)的方向，就是沿兩輪起點(diǎn)延伸線的車架方向，也就是圖2中人偶左手所指之方向，那么它在某瞬時(shí)驅(qū)駛車架拐彎Δθ夾角，就等于是車架輪距當(dāng)半徑于這期間內(nèi)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)角速度變量(Φ)，這兩者乘積就相當(dāng)于是車架以右端點(diǎn)為原點(diǎn)于左端點(diǎn)沿切線方向運(yùn)動(dòng)之切線速度。其車架兩側(cè)雙輪單位時(shí)間之行程差僅僅與車架拐彎角速度成正比，且這比值恰等于車輪軸間距，這是第一個(gè)描述指南車兩輪行駛于平面上的切線運(yùn)動(dòng)方程式。此時(shí)指向器若沒(méi)有進(jìn)行補(bǔ)償動(dòng)作，則其方向會(huì)旋轉(zhuǎn)Δθ角而偏離原方向，倘若要指向器保持原來(lái)啟動(dòng)時(shí)的方向，則必須同時(shí)間內(nèi)反方向補(bǔ)償旋轉(zhuǎn)角速度Ω(相對(duì)于車架)，于是要能滿足下列約束條件才行：

Ω(t)=-Φ(t)

(2)

這是第二個(gè)指南車設(shè)計(jì)指向器運(yùn)作所要求的完全補(bǔ)償公式，由于等量反向關(guān)系，使得指向器相對(duì)于地面的角位移永保為零的狀態(tài)，這樣指向器就能持續(xù)保持著單純平移運(yùn)動(dòng)而不隨車轉(zhuǎn)，使其守住指向維持不變。如把這個(gè)式(2)改成左右項(xiàng)相加為零，同時(shí)將差分符號(hào)改成微分符號(hào)，就成了指南車保守指向運(yùn)動(dòng)方程式，這在另一文獻(xiàn)[10]稱之為“自由平移方程”，由于在前一節(jié)的假設(shè)已給出指南車形同剛體在平面上的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的疊加原理，剛體平面運(yùn)動(dòng)可看成是剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的迭加，又前述文獻(xiàn)[10]已用微分幾何證得指南車在平面上的運(yùn)動(dòng)完全與選取路徑無(wú)關(guān)，這樣分析指南車在平面上的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，就能化簡(jiǎn)成剛體在平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)而已，因此，本節(jié)只需考慮車輛轉(zhuǎn)彎的運(yùn)動(dòng)學(xué)就足夠了。另，一般機(jī)械專家在設(shè)計(jì)指南車時(shí)，都直觀默認(rèn)不考慮剛體在平面上的平動(dòng)(不一定是直線運(yùn)動(dòng))，而在車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)只單方面考慮圓周運(yùn)動(dòng)[11,15]，這在理論建構(gòu)上是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因?yàn)橛嘘P(guān)剛體在平面上的平動(dòng)之所以毋庸考慮，靠直觀或辯證(這也是如今指南車控制立論多言堂的情況)是不準(zhǔn)確的，而是需要運(yùn)用數(shù)理加以證明。為了增進(jìn)對(duì)指南車運(yùn)動(dòng)學(xué)的廣泛認(rèn)識(shí)，這里額外(不在本研究范圍)將指南車在平面上的運(yùn)動(dòng)加以推廣，當(dāng)指南車行駛于曲面時(shí)，它的指向運(yùn)動(dòng)就會(huì)與路徑選取直接關(guān)聯(lián)，這部分也是由前述文獻(xiàn)[10]給出嚴(yán)格證明，這應(yīng)該是一般指南車設(shè)計(jì)專家料想不到的應(yīng)用。

3 建立雙通道的數(shù)學(xué)模型

從第1節(jié)分析知道，本文研究對(duì)象指南車控制系統(tǒng)是雙通道結(jié)構(gòu)，接下來(lái)將接續(xù)第2節(jié)的階段分析成果，分別建立干擾通道與控制通道的數(shù)學(xué)模型。

3.1 建立干擾通道的數(shù)學(xué)模型

以控制觀點(diǎn)來(lái)看，干擾通道中的主要執(zhí)行者乃輪車架構(gòu)件，其運(yùn)作原理有一點(diǎn)兒復(fù)雜，須先厘清，才能求出此環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型。首先針對(duì)指南車運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行觀察車輪軌道變化的各種有用物理量，我們把觀察目標(biāo)放在兩個(gè)車輪滾動(dòng)造成行程差ΔS′，這個(gè)部分是來(lái)自兩輪有著旋轉(zhuǎn)角速度差Δω所貢獻(xiàn)的，由于是來(lái)自于Δt期間內(nèi)兩輪以不同角速度在路面形成車輪切線速度Vt所經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度差，因此如果兩輪同為R半徑時(shí)，由兩輪切線速度差可求得兩輪滾動(dòng)行程差ΔS′的關(guān)系式如下所示：

ΔS′=(Vt2-Vt1)Δt=(ω2-ω1)RΔt=ΔωRΔt

(3)

假設(shè)指南車行進(jìn)間車輪始終是以純滾動(dòng)方式運(yùn)動(dòng)，也就是令車輪自旋與行進(jìn)軌道之間起到了完全耦合作用，簡(jiǎn)稱為車輪的“自旋-軌道耦合作用”，那么就保證了在單位時(shí)間內(nèi)車輪滾動(dòng)行程差式(3)等于平面上式(1)中的兩輪平行軌道曲線長(zhǎng)度差，也就是滿足了下列純滾動(dòng)行程差恒等關(guān)系式：

ΔS′=ΔS

(4)

接著把前面式(1)轉(zhuǎn)換成Φ=ΔS/(LΔt)的關(guān)系式，將此結(jié)果再除以這個(gè)把式(3)借助式(4)所轉(zhuǎn)成Δω=ΔS/(RΔt)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，再將Φ與Δω相除結(jié)果經(jīng)分子項(xiàng)與分母項(xiàng)兩兩對(duì)消除掉重復(fù)變數(shù)，經(jīng)此整理后得到下列車輛幾何特征與車轉(zhuǎn)變量的數(shù)學(xué)關(guān)系式：

(5)

從式(5)數(shù)學(xué)關(guān)系式里已經(jīng)看不見行程差變量，也就是原先量測(cè)物理量是兩輪行駛平行軌道行程差對(duì)時(shí)間的變量ΔS/Δt在純滾動(dòng)條件下，已經(jīng)自然地調(diào)整化為兩輪旋轉(zhuǎn)角速度差Δω，導(dǎo)致前面所建之圖1差動(dòng)指南車前饋控制機(jī)械模型圖中，要把輸入控制系統(tǒng)的擾動(dòng)改成Δω，在干擾通道中有一個(gè)環(huán)節(jié)是依式(5)的數(shù)學(xué)模型在進(jìn)行信息轉(zhuǎn)換。將式(5)兩邊取拉普拉斯轉(zhuǎn)換，可發(fā)現(xiàn)輸入量F(s)與輸出量之間是比例關(guān)系，由此可求得干擾通道上之傳遞函數(shù)為GD(s)=R/L。

3.2 初建控制通道的數(shù)學(xué)模型

以控制觀點(diǎn)來(lái)看，控制通道只有左右側(cè)兩車輪的轉(zhuǎn)速差當(dāng)輸入，除此之外，并無(wú)其他干擾因素或設(shè)定值介入執(zhí)行機(jī)構(gòu)，至于輸出則只有一個(gè)指向器進(jìn)行補(bǔ)償作用的角速度Ω，所以補(bǔ)償角速度可表成是兩輪轉(zhuǎn)速差的函數(shù)，也就是Ω=f(ω2-ω1)=f(Δω)，在分析時(shí)，前式函數(shù)f為執(zhí)行控制設(shè)備專有的特性機(jī)制，它不隨著過(guò)程控制的變化而有所改變，又由于齒輪機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比之線性特征，這可進(jìn)一步推算出整體轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的等效比值，用黑箱慨念當(dāng)它是該系統(tǒng)的特性參數(shù)，并定義成一個(gè)β符號(hào)代表，把β比例因子界定為補(bǔ)償因子(compensating factor)，它是用來(lái)補(bǔ)償車子轉(zhuǎn)彎所生的方向偏差，因此函數(shù)f會(huì)是個(gè)線性函數(shù)，也就是下列兩輪角速度差額與指向器自轉(zhuǎn)變量的數(shù)學(xué)關(guān)系式：

Ω=f(Δω)=βΔω

(6)

同樣將式(6)兩邊取拉普拉斯轉(zhuǎn)換，可發(fā)現(xiàn)輸入量與輸出量之間是比例關(guān)系，進(jìn)而求得控制通道之傳遞函數(shù)為β。又由于該通道中是由傳遞裝置與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)所組成，而β與前述兩種設(shè)備都是具有傳動(dòng)比特性，即同樣都是比例值。同理，可將控制通道拆分為傳遞裝置之傳遞函數(shù)為GT(s)=NT與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)之傳遞函數(shù)為GC(s)=βC，其中NT是傳遞裝置轉(zhuǎn)速比，有著把擾動(dòng)Δω轉(zhuǎn)成適當(dāng)轉(zhuǎn)速的校正作用，以便匹配轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的輸入特征，因此NT稱為此校正環(huán)節(jié)的校正因子，至于控制通道主要執(zhí)行控制者乃轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，控制環(huán)節(jié)就是由它所構(gòu)成，因此轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)正是掌管這個(gè)環(huán)節(jié)的控制器，它的補(bǔ)償因子就是βC，顯然有β=βCNT關(guān)系式，至于這些因子的內(nèi)涵將于第4節(jié)里討論。

4 建立指南車控制理論——前饋控制系統(tǒng)與計(jì)算法則

本節(jié)將回答如何設(shè)計(jì)指南車以求達(dá)到式(2)要求，也就是調(diào)合(Φ+Ω)輸出值始終是零。注意，在后續(xù)式(8)是依圖1里的信息流建立相關(guān)響應(yīng)。由于第3節(jié)已求得干擾通道的傳遞函數(shù)GD(s)，以及控制通道中校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)GT(s)和控制通道中控制器的傳遞函數(shù)GC(s)，現(xiàn)整理如下：

(7)

現(xiàn)把擾動(dòng)量F(s)輸入到圖1系統(tǒng)并經(jīng)雙通道進(jìn)行控制，則總體輸出響應(yīng)輸出量的Y(s)為下列關(guān)系式：

(8)

為實(shí)現(xiàn)前饋補(bǔ)償控制之完全補(bǔ)償條件，也就是令式(8)化為Y(s)/F(s)=0的情況，由于輸入項(xiàng)F(s)不為零，為了讓擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響為零，則需滿足不變性原理[7]，使得式(8)中傳遞函數(shù)項(xiàng)為零，即

GD(s)+GC(s)×GT(s)=0

(9)

將上式重新整理得：GD(s)=-GC(s)×GT(s)，并還原成由式(7)各環(huán)節(jié)所組成的比例因子，可算得：

(10)

在設(shè)計(jì)要求時(shí)不用計(jì)負(fù)號(hào)。

上式“-”號(hào)乃表示補(bǔ)償作用。當(dāng)控制做到式(10)時(shí)，會(huì)把式(5)車轉(zhuǎn)變量，用式(6)反向等值的控制變量加以抵銷，即滿足了式(2)，使指向器方位不變。以下將圖1轉(zhuǎn)成由各比例因子構(gòu)成的控制方框圖

注意圖3里控制通道中控制環(huán)節(jié)乃由差動(dòng)機(jī)構(gòu)行“-”號(hào)補(bǔ)償因子的補(bǔ)償作用，該作用能自動(dòng)調(diào)合來(lái)自干擾通道的車轉(zhuǎn)變量與指向器的角度變量始終為零，指南車也就達(dá)成了使命。此處終于推導(dǎo)出為達(dá)到完全補(bǔ)償作用這個(gè)控制目標(biāo)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)要件，使得擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響為零，也就是讓指向器有著保守指向作用的設(shè)計(jì)要件，正是由毋庸考慮負(fù)值的式(10)所規(guī)范，這里就以最有名的設(shè)計(jì)案例進(jìn)行說(shuō)明。英國(guó)學(xué)者蘭開斯特 (G.Lanchester) 在1947年2月于倫敦中國(guó)學(xué)會(huì)中一篇名為“The Yellow Emperor’s South-Pointing Chariot”的演講中，用直立式差速齒輪裝置設(shè)計(jì)出具有指南功能的指南車，由文獻(xiàn)[10]得知其輸出入角速度特征為Ω=Δω/2且采等齒傳遞裝置，依據(jù)式(6)與式(10)，算得βC=1/2,NT=1,β=1/2，以及其幾何特征為L(zhǎng)=2R，也就是指所設(shè)計(jì)的指南車其輪軸間距一定要等于車輪直徑。又為了能進(jìn)行通盤計(jì)算，接下來(lái)要發(fā)展指南車控制理論的計(jì)算法則。

圖3 指南車開環(huán)前饋控制系統(tǒng)框圖

綜觀指南車的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)乃兩個(gè)輸入、一個(gè)輸出的特定設(shè)備，一般在設(shè)計(jì)指南車時(shí)，由于轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)左右輸入轉(zhuǎn)速通常不對(duì)等，這將反過(guò)來(lái)要求兩側(cè)車輪輸入的傳遞裝置傳動(dòng)比之設(shè)計(jì)也要有所不同，也就是左右側(cè)輸入端會(huì)有不同傳動(dòng)的轉(zhuǎn)速比NTL與NTR，能對(duì)車輪轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)之間的匹配起了不同校正轉(zhuǎn)速作用，這也就是為什么傳遞裝置的控制環(huán)節(jié)稱作校正因子的緣由，但如此一來(lái)，將會(huì)讓前述圖3控制系統(tǒng)方框圖里存在單一項(xiàng)校正因子的轉(zhuǎn)速比NT看起來(lái)好像不大對(duì)勁，這時(shí)前述控制理論是否還能適用，這成為本節(jié)要來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題。

指南車控制理論的計(jì)算法則是這樣子的，在機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，傳動(dòng)比乃輸入端主動(dòng)輪與輸出端從動(dòng)輪的角速度或轉(zhuǎn)速的比值，且傳動(dòng)比反比于齒數(shù)比，即ωi/ωo=Ni/No=Zo/Zi。當(dāng)指南車原地打轉(zhuǎn)一圈，這同時(shí)指向器剛好會(huì)自轉(zhuǎn)一圈或兼有公轉(zhuǎn)一圈，我們有興趣的焦點(diǎn)皆圍繞在“一圈”的問(wèn)題上，如做不到或超過(guò)了“一圈”時(shí)，我們就要在設(shè)計(jì)階段加以校正，讓實(shí)際運(yùn)作時(shí)使輪車架旋轉(zhuǎn)與指向器自轉(zhuǎn)都能同步且彼此反向轉(zhuǎn)一圈，又由于我們有興趣的是想搞清楚當(dāng)輸入一圈，經(jīng)調(diào)控之后會(huì)輸出多少圈的比例控制特性，因此要將原機(jī)械慣用計(jì)算方式的轉(zhuǎn)速比之分子分母倒過(guò)來(lái)看成NT≡No/Ni=Zi/Zo，又分子分母里的單位時(shí)間可約分消去不計(jì)，使得這個(gè)轉(zhuǎn)速比變成了圈數(shù)比，換言之，原本從機(jī)械觀點(diǎn)計(jì)算輸入與輸出角速度比例過(guò)程，轉(zhuǎn)變成計(jì)算輸入一圈會(huì)輸出幾圈的控制響應(yīng)，本文特稱此為“輸入轉(zhuǎn)一圈”的計(jì)算法則，其適用范圍涵蓋控制通道里各種環(huán)節(jié)的比例因子。注意，這個(gè)計(jì)算法則迥異于機(jī)械觀點(diǎn)，各種比值需倒過(guò)來(lái)看，有機(jī)械方面基礎(chǔ)者，特別需要觀念轉(zhuǎn)換。又為了符合左右輸入特性的差異，我們將分別固定單一側(cè)車輪，使得指南車整體由兩個(gè)自由度命題，變成一個(gè)自由度的一左一右兩個(gè)各別命題，這樣，左、右兩側(cè)各別輸入經(jīng)控制各環(huán)節(jié)的比例因子或許會(huì)有差異，然而整體控制通道的響應(yīng)卻是一致的，包括方向一致、大小一致，因?yàn)槎嫉靡獫M足不變性原理，也就是統(tǒng)一針對(duì)干擾通道的進(jìn)行完全補(bǔ)償動(dòng)作，于是有了下列關(guān)系式

(11)

這時(shí)，圖3系統(tǒng)方框圖還是沒(méi)變的，只有圖內(nèi)各比例因子的變量符號(hào)的腳注有些許變動(dòng)而已。除了整體方框圖不變之外，也可以求得左右側(cè)不對(duì)稱傳遞裝置控制下的整體角速度輸出入關(guān)系式，只要將式(11)代入到式(6)中，接著拆分成個(gè)別輪子其自帶角速度的關(guān)系式，進(jìn)而得到整體的角速度特征公式，得

(12)

上述公式乃線性組合的函數(shù)關(guān)系，這也額外驗(yàn)證了線性系統(tǒng)的疊加原理(superposition principle)，即系統(tǒng)整體輸出的響應(yīng)是對(duì)各個(gè)訊號(hào)響應(yīng)的代數(shù)和。對(duì)于這樣有限的文字陳述，或許突然會(huì)看不明白，以下會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述并自洽性證明了式(6)的線性系統(tǒng)假設(shè)，其推導(dǎo)過(guò)程如下：

有些機(jī)械書籍對(duì)輪系的自由度有所講究，例如輪系中至少有一個(gè)齒輪除繞自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)(自轉(zhuǎn))外，其軸線還繞另一個(gè)固定軸線作公轉(zhuǎn)，這種輪系稱為周轉(zhuǎn)輪系。周轉(zhuǎn)輪系中自由度為1(兩輸入端其一固定)的稱為行星輪系；自由度為2的稱為差動(dòng)輪系。這些名稱雖有所不同，然而只要是同一種類的差動(dòng)輪系機(jī)構(gòu)，不管其自由度為何，其傳動(dòng)比都是同一個(gè)公式，如命題是自由度為1時(shí)，就是要找出該機(jī)構(gòu)里哪個(gè)構(gòu)件是固定不動(dòng)的構(gòu)件，然后在公式里將該構(gòu)件對(duì)應(yīng)的角速度設(shè)為零就行了。

圖4 基本行星齒輪機(jī)構(gòu)立體圖與剖面圖[12]

5 用物理及機(jī)械觀點(diǎn)對(duì)行星齒輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析

行星齒輪組(planetary gearset)是齒輪結(jié)構(gòu)的一種，通?？煞譃楹?jiǎn)單行星齒輪系和復(fù)雜行星齒輪系。這里談的是簡(jiǎn)單行星齒輪系中如圖4所示基本的行星齒輪系(basic planetary gear train)，分別有一個(gè)太陽(yáng)齒輪(sun gear)，一個(gè)環(huán)形的齒圈(ring gear)，一個(gè)行星齒輪(planet pinion)和一個(gè)裝有行星齒輪的行星架(carrier) 等4個(gè)基本構(gòu)件組成，其中，太陽(yáng)輪、齒圈和行星架三個(gè)構(gòu)件共同繞公共軸線回轉(zhuǎn)，而安裝于行星架上的行星輪其外沿與齒圈相齒合，至于其內(nèi)沿則與太陽(yáng)輪相齒合，由于其繞行軌跡既可繞其本身軸線自轉(zhuǎn)，又可在齒圈內(nèi)繞公共軸線公轉(zhuǎn)，就像行星繞著太陽(yáng)公轉(zhuǎn)一樣，因而得名。

圖5 在行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系上觀察到各構(gòu)件相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)

在討論運(yùn)用行星齒輪系設(shè)計(jì)各種指南車之前，先就此一基本行星齒輪系進(jìn)行基本的運(yùn)動(dòng)分析。這里將太陽(yáng)輪、行星輪、齒圈和行星架等4個(gè)構(gòu)件依序分別標(biāo)記為1、2、3和H如圖5所示，而各構(gòu)件所相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度則為ω1、ω2、ω3、ωH，以及半徑各為R1、R2、R3，以下將進(jìn)行物理運(yùn)動(dòng)學(xué)上的剖析。首先，吾人考慮觀察者是落在行星架H的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系上，此時(shí)，可觀察到行星架是靜止不動(dòng)的，這相當(dāng)于在整個(gè)機(jī)構(gòu)中的各個(gè)構(gòu)件上同時(shí)加一個(gè)相同的(-ωH)相對(duì)運(yùn)動(dòng)角速度，則不影響各構(gòu)件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，此刻各構(gòu)件相對(duì)于行星架H的相對(duì)角速度(或轉(zhuǎn)速)分別為

(13)

(14)

這里所謂的齒輪半徑是指節(jié)徑(節(jié)圓直徑)的一半，而節(jié)圓(pitch circle)則是指兩相嚙合的齒輪在節(jié)點(diǎn)形成滾動(dòng)接觸的圓，其中，兩相嚙合的齒輪，其節(jié)圓相切之點(diǎn)即為節(jié)點(diǎn)(pitch point)，又由機(jī)械設(shè)計(jì)齒輪的規(guī)范得知，模數(shù)(module)用于表示公制齒輪之大小，為節(jié)徑(以公厘為單位)與齒數(shù)之比值，因此，模數(shù)越大，齒形越大，如果兩齒輪之間要相互齒合的話，則兩齒合之齒輪必須有相同的模數(shù)，換言之，齒輪之齒數(shù)與其半徑成正比關(guān)系，從而由式(14)可推得

(15)

(16)

6 按機(jī)械原理探討指南車的特征公式與控制特性

由于指南車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)需要二輸入一輸出的2自由度機(jī)構(gòu)，在運(yùn)用行星齒輪組設(shè)計(jì)時(shí)，行星齒輪組將被視為負(fù)號(hào)差動(dòng)輪系機(jī)構(gòu)，在其齒圈3、太陽(yáng)輪1和行星架H等3個(gè)基本構(gòu)件中，設(shè)計(jì)所選定的構(gòu)件i和j都是活動(dòng)構(gòu)件且當(dāng)作兩個(gè)輸入件，則第三個(gè)構(gòu)件k將作為輸出件，(i,j,k)∈{1,3,H} 并且i≠j≠k，則此差動(dòng)機(jī)構(gòu)將受到轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比式(16)所管控，又所有齒輪的齒數(shù)都是已知，使得該傳動(dòng)比為一常數(shù)比例項(xiàng)，再把式(16)經(jīng)過(guò)角速度分子項(xiàng)、分母項(xiàng)與常數(shù)比例項(xiàng)交叉相乘并移項(xiàng)整理之后，能將該式(16)轉(zhuǎn)換成ωi、ωj和ωk所構(gòu)成的三元一次方程式，并令輸出件其角速度變量ωk的系數(shù)為1，于是簡(jiǎn)化可得到

(17)

上述公式中的αi和αj皆是線性組合的正值常數(shù)系數(shù)，它們與“±”號(hào)都是由實(shí)際計(jì)算而定。接著考慮符合指南車指向要求而配套的傳遞裝置，這可用定軸輪系方式求出其傳動(dòng)比大小為何，當(dāng)然這也是個(gè)比例常數(shù)，進(jìn)而可求出從左右兩輪輸入角速度ωL與ωR，分別經(jīng)過(guò)左右兩側(cè)傳遞裝置，一直傳動(dòng)到差動(dòng)齒輪機(jī)構(gòu)的輸入件i和j的關(guān)系，如果這個(gè)設(shè)計(jì)是直接把指向器固連到輸出件k的話，那么就可求得該指向器輸出Ω角速度，以及相關(guān)輸出入角速度之間的關(guān)系式，此推算結(jié)果其實(shí)是與第4節(jié)之計(jì)算法則里進(jìn)行左右輪單獨(dú)計(jì)算校正因子是一樣的，畢竟這些因子都是傳遞裝置的機(jī)械特性，最終可得出下列聯(lián)立方程組

①ωi=±NTLωL,②ωj=±NTRωR,③Ω=ωk

(18)

上述公式中的“±”號(hào)是由實(shí)際計(jì)算而定，至于比例因子NTL和NTR也會(huì)是個(gè)正值常數(shù)，接著再將式(18)代入式(17)，便能消掉ωi、ωj和ωk變量，轉(zhuǎn)而成為指向器輸出Ω角速度與左右兩輪角速度輸入ωL、ωR的關(guān)系式

Ω=αiNTLωL-αjNTRωR

(19)

以上是采左視指南車左車輪的順時(shí)旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎虍?dāng)基礎(chǔ)的結(jié)論，后續(xù)討論指南車相關(guān)角速度計(jì)算時(shí)都是以此為正負(fù)方向的依據(jù)，因此Δω≡ωL-ωR。現(xiàn)考慮指南車在平面上進(jìn)行直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的指向器將是紋風(fēng)不動(dòng)的，表示指向器并不會(huì)跟隨指南車直行而發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，也就是指向器Ω角速度輸出值必為零，而此刻處在直線運(yùn)動(dòng)的左右兩輪角速度兩者大小相等且轉(zhuǎn)向一致，再將這些直線運(yùn)動(dòng)條件代回到式(19)，導(dǎo)致該式中ωL、ωR的相關(guān)系數(shù)必須相等，并令此系數(shù)為γ，也就是

NTLαi=NTRαj≡γ?Ω=γ×Δω

(20)

由于是同一臺(tái)指南車，所觀察到的指向器輸出角速度與左右兩輪角速度差的關(guān)系式(6)必然是等同于式(20)，故γ=β，也就是此系數(shù)乃前述第4節(jié)控制理論的補(bǔ)償因子，進(jìn)而能夠推得式(11)與式(20)是一樣的，故αi=βCL,αj=βCR，于是

(21)

式(21)有著二進(jìn)一出系統(tǒng)特征，由于只涉及角速度變量，因而特稱為指南車的角速度特征公式，這項(xiàng)由機(jī)械原理所推得結(jié)果，居然與控制理論推得的式(12)一模一樣，這說(shuō)明了，此角速度特征公式乃讓指向器起到抵消車架偏轉(zhuǎn)量的補(bǔ)償作用；而此前不計(jì)負(fù)號(hào)的公式(10)，則掌管著車輪半徑與輪軸間距相關(guān)尺寸的幾何關(guān)系，因而特稱為指南車的幾何特征公式，而該比值會(huì)受到補(bǔ)償因子的約束。

接下來(lái)，我們回歸本文關(guān)切的控制議題。首先來(lái)談反饋控制，所謂反饋就是將輸出的結(jié)果回輸?shù)皆到y(tǒng)，但是在本節(jié)采機(jī)械原理推導(dǎo)過(guò)程中并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)把輸出角速度重新導(dǎo)入的計(jì)算，而且這個(gè)反饋控制的重要特征也沒(méi)有出現(xiàn)于式(21)里頭，更何況該角速度特征公式本身會(huì)說(shuō)話，它說(shuō)明指南車的指向器角速度與兩輪角速度差只跟控制理論中的補(bǔ)償因子和校正因子相關(guān)，而這些比例因子皆屬于指南車開環(huán)前饋控制自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中控制通道的各種環(huán)節(jié)?；仡櫛疚脑诳刂评碚摻⒅酰窍燃僭O(shè)了式(6)中有個(gè)補(bǔ)償因子β，爾后才陸續(xù)推導(dǎo)出各環(huán)節(jié)的比例因子；反觀本節(jié)則是先從探討差動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比入手，再逐步探討之后才發(fā)掘指向器角速度與兩輪角速度差額的比例常數(shù)乃是補(bǔ)償因子β，換言之，前饋控制起到了按擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償作用，這也證實(shí)了先前式(6)的假設(shè)是成立的。無(wú)論是采機(jī)械原理觀點(diǎn)還是控制理論觀點(diǎn)，終究都一樣，其表征皆需符合物理運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律，其補(bǔ)償作用則源自于前饋控制，因此，藉由行星齒輪系建構(gòu)的指南車并不存在著反饋控制的機(jī)制。

綜觀本節(jié)所做理論推導(dǎo)，是建立在行星齒輪系組成構(gòu)件任意組合情況下進(jìn)行的，而行星輪系中做為輸出入件就是齒圈、行星架與太陽(yáng)輪等三種構(gòu)件，其不同組合情況有三，分別為：(1)以行星架為左側(cè)輸入、太陽(yáng)輪為右側(cè)輸入而齒圈為輸出；(2)以齒圈為左側(cè)輸入、太陽(yáng)輪為右側(cè)輸入而行星架為輸出；(3)以齒圈為左側(cè)輸入、行星架為右側(cè)輸入而太陽(yáng)輪為輸出。由于本節(jié)推論必需透過(guò)實(shí)際設(shè)計(jì)案例進(jìn)行檢驗(yàn)，才能得到客觀認(rèn)證，因此，后續(xù)將會(huì)就這三種不同組合構(gòu)件進(jìn)行案例驗(yàn)算。

7 以實(shí)際案例進(jìn)行控制和機(jī)械方面交叉驗(yàn)證

本節(jié)將以謝龍昌等[14]學(xué)者以差動(dòng)機(jī)構(gòu)周轉(zhuǎn)輪系所設(shè)計(jì)之例3指南車做為設(shè)計(jì)案例討論對(duì)象，其輸出入件為第6節(jié)的①以行星架為左側(cè)輸入、太陽(yáng)輪為右側(cè)輸入而齒圈為輸出的組合情況，此處分別進(jìn)行控制以及機(jī)械方面的計(jì)算，以便交叉相互驗(yàn)證。

7.1 以控制理論角度計(jì)算

圖6 謝龍昌等設(shè)計(jì)例3指南車機(jī)械結(jié)構(gòu)剖面圖

圖6是以“謝龍昌例3指南車”為例，進(jìn)行理論方面驗(yàn)證?，F(xiàn)令左輪不動(dòng)僅右輪順時(shí)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)先把焦點(diǎn)放在指南車?yán)镱^的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，由于左輪不動(dòng)，使得該轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的4(80)行星支架齒輪被咬死，導(dǎo)致該行星支架也不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，當(dāng)該轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)最底部的2(24)固連(32)太陽(yáng)輪一起轉(zhuǎn)一圈時(shí)，會(huì)經(jīng)5(24)行星輪的惰輪作用將一圈24齒數(shù)傳遞給內(nèi)有72齒的3(72)齒圈，也就是固連在該齒圈中心軸上端的指向器會(huì)旋轉(zhuǎn)24/72=1/3圈，因此求得右輸入的βCR補(bǔ)償因子為1/3。接著來(lái)分析傳遞裝置在右輪會(huì)發(fā)生什么情況，當(dāng)右輪順時(shí)旋轉(zhuǎn)輸入一圈時(shí)，由于會(huì)經(jīng)過(guò)相同齒數(shù)的齒輪傳動(dòng)，也就是右輪傳遞給該轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的圈數(shù)比為NTR=1，這樣從左輪不動(dòng)僅右輪單側(cè)旋轉(zhuǎn)輸入一圈就可以求得控制通道之傳遞函數(shù)為

(22)

現(xiàn)依指南車控制理論可進(jìn)行兩項(xiàng)推論，分別為：

(1) 當(dāng)右輪順時(shí)旋轉(zhuǎn)輸入一圈，同時(shí)會(huì)使指向器順時(shí)旋轉(zhuǎn)1/3圈。

(2) 而且式(22)須符合式(10)指南車的尺寸要求，即得R/L=1/3，也就是該指南車兩輪之輪軸間距L必須設(shè)計(jì)成車輪半徑R的3倍，這與圖6設(shè)計(jì)紙上底部繪制長(zhǎng)度水平線上頭為兩直立車輪之輪軸間距所標(biāo)的注記：L=3r完全一致，而車輪半徑標(biāo)注則是繪制在圖6右半邊右車輪外側(cè)的長(zhǎng)度垂直線旁，其半徑標(biāo)注正是r。

現(xiàn)在俯瞰指南車以車架左側(cè)輪不動(dòng)當(dāng)支點(diǎn)為圓心，做原地逆時(shí)針打轉(zhuǎn)動(dòng)作，此時(shí)右輪是順針旋轉(zhuǎn)，又車輪轉(zhuǎn)一圈所走的長(zhǎng)度就是車輪自轉(zhuǎn)一圈的圓周長(zhǎng)為2πR，且由前面算得兩輪輪軸間距L=3R，當(dāng)下若令左輪不動(dòng)僅右車輪順轉(zhuǎn)3圈，這時(shí)右輪所走的軌跡長(zhǎng)度，剛好是輪軸當(dāng)公轉(zhuǎn)半徑繞滿左輪支點(diǎn)圓心一圈的圓周長(zhǎng)(3×2πR=2×πL)，所以當(dāng)右車輪以軸心順時(shí)自轉(zhuǎn)3圈，輪軸也繞左輪支點(diǎn)逆時(shí)公轉(zhuǎn)一圈，這同時(shí)指向器在車架上順時(shí)自轉(zhuǎn)一圈，車架逆時(shí)公轉(zhuǎn)與指向器順時(shí)自轉(zhuǎn)兩相抵銷，換言之，在地面可觀察到，車架轉(zhuǎn)彎當(dāng)時(shí)，指向器的指向維持不變。

圖7 基本行星輪系機(jī)構(gòu)剖面圖

接著考慮右輪不動(dòng)僅左輪轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)各部件相應(yīng)轉(zhuǎn)速計(jì)算，由于此時(shí)多種構(gòu)件相互嚙合傳動(dòng)會(huì)比較復(fù)雜，為了化簡(jiǎn)復(fù)雜性并突顯出做為控制指向器當(dāng)主體的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，還是把焦點(diǎn)放在圖6指南車?yán)镱^的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，并將該轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)里重復(fù)出現(xiàn)且不影響計(jì)算的齒輪元部件拿掉，僅留下與問(wèn)題計(jì)算相關(guān)的組件，如此去枝蔓留主干，就精簡(jiǎn)成了如圖7所示的基本行星輪系機(jī)構(gòu)，或稱之為等效控制器，注意，不要被該圖標(biāo)準(zhǔn)的基本行星輪系所誤導(dǎo)，該圖里的2(24)太陽(yáng)輪固連一根中心軸朝上，這是基本行星輪系的一般標(biāo)準(zhǔn)制圖法，雖與圖6謝龍昌等設(shè)計(jì)的例3指南車機(jī)械結(jié)構(gòu)看起來(lái)會(huì)有所不同，但兩者輸出入的傳動(dòng)比是一樣的，并不影響接下來(lái)的計(jì)算。此時(shí)，由于右輪不動(dòng)，會(huì)將圖6該轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中心底部的(32)齒輪咬死，也就是圖7等效控制器中央2(24)太陽(yáng)齒輪也不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，其輸入從左側(cè)4(80)行星支架為主動(dòng)輪，當(dāng)它轉(zhuǎn)一圈時(shí)會(huì)帶動(dòng)5(24)行星齒輪繞著中央固定的2(24)太陽(yáng)輪公轉(zhuǎn)，這同時(shí)也誘發(fā)了行星齒輪自身的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，又因行星輪與太陽(yáng)輪兩者齒數(shù)相等，使得行星輪會(huì)同向發(fā)生公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)各一圈，其中自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)會(huì)將其24齒數(shù)傳遞給外圍的3(72)齒圈，并導(dǎo)致其同向旋轉(zhuǎn)24/72圈，該行星齒輪同時(shí)也會(huì)公轉(zhuǎn)一圈，這將額外帶動(dòng)外圍的齒圈同向轉(zhuǎn)一圈，因此求得左輸入的補(bǔ)償因子為βCL=24/72+1=4/3。又從圖6可看出左輪順時(shí)旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，由于會(huì)讓20齒的(20)正齒輪反向轉(zhuǎn)一圈傳動(dòng)給80齒的4(80) 行星架順時(shí)旋轉(zhuǎn)，也就是左輪傳遞給該轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的圈數(shù)為NTL=20/80=1/4，這樣從右輪不動(dòng)僅左輪單側(cè)旋轉(zhuǎn)一圈就可求得控制通道之傳遞函數(shù)為

(23)

有了前述右輪不動(dòng)僅左輪順時(shí)旋轉(zhuǎn)下算得控制通道其傳遞函數(shù)為式(23)之后，發(fā)現(xiàn)其值與左輪不動(dòng)僅右輪轉(zhuǎn)動(dòng)所得式(22)完全相同，這正如指南車控制理論所預(yù)測(cè)的式(11)一樣，現(xiàn)依該控制理論可進(jìn)行以下兩項(xiàng)推論。

(1) 將它放入圖3指南車控制方框圖中，且必須符合不變性原理，即它要等于干擾通道的傳遞函數(shù)GD(s)=R/L，如不考慮負(fù)號(hào)的話，可算得同理論所預(yù)測(cè)的式(10)那樣

(24)

以上依指南車控制理論推導(dǎo)出如何設(shè)計(jì)該款指南車其輪車架的幾何條件，也就是該指南車左右兩輪之輪軸間距L必須設(shè)計(jì)成該車輪半徑R的3倍，這與圖6該款指南車機(jī)械結(jié)構(gòu)剖面圖中為輪軸間距所做的尺寸注記：L=3r完全一致。

(2) 由于右輪不動(dòng)當(dāng)支點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，此時(shí)若左輪順時(shí)旋轉(zhuǎn)一圈的話，會(huì)使得指南車輪車架逆時(shí)公轉(zhuǎn)，同時(shí)指向器順時(shí)自1/3圈，又車輪轉(zhuǎn)一圈所走的長(zhǎng)度為2πR，且兩輪輪軸間距L=3R，使得左車輪自轉(zhuǎn)3圈所走的長(zhǎng)度剛好是輪軸繞滿左輪支點(diǎn)圓心一圈的圓周長(zhǎng)(3×2πR=2×πL)，所以當(dāng)左車輪以軸心順時(shí)自轉(zhuǎn)3圈，輪軸也繞右輪支點(diǎn)圓心逆時(shí)公轉(zhuǎn)一圈回到原出發(fā)點(diǎn)，這同時(shí)指向器也在車架上順時(shí)自轉(zhuǎn)一圈，指向器與車架這兩者是同步完成一周圈的，但兩者旋轉(zhuǎn)方向剛好相反，也就是這兩者控制效果疊加起來(lái)始終相互抵消，充分體現(xiàn)出不變性原理的真諦，使得平面上指南車其指向器保守著方向上的守恒律，完全符合指南車平面上運(yùn)動(dòng)方程的描述[10]。

以上是以“謝龍昌例3指南車”[14]為樣本，進(jìn)行本文控制理論方面的驗(yàn)證。觀察前述左輪不動(dòng)僅右輪轉(zhuǎn)動(dòng)所得到的式(22)比例因子，以及右輪不動(dòng)僅左輪旋轉(zhuǎn)所算得的式(23)比例因子，這兩者雖然βCR≠βCL,NTR≠NTL，即個(gè)別的控制節(jié)點(diǎn)有著不同的比值，可由式(11)，將式(22)或式(23)補(bǔ)償因子代入式(6)后，可推算出其指向器角速度Ω與左右兩輪旋轉(zhuǎn)角速度差Δω的關(guān)系式

(25)

上述結(jié)論若是按照機(jī)械原理針對(duì)圖6該款指南車機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，其分析計(jì)算過(guò)程繁瑣且復(fù)雜又容易出錯(cuò)，這需要機(jī)械專業(yè)功底才能算得式(25)關(guān)系式。由于式(24)的幾何特征與式(25)的角速度特征完全與該款指南車原設(shè)計(jì)文獻(xiàn)[14]要求完全一致。此處示范如何運(yùn)用控制理論的推理路徑，以不同于機(jī)械觀點(diǎn)的邏輯檢驗(yàn)了圖6該款指南車的機(jī)械機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)是正確無(wú)誤的，同時(shí)也體現(xiàn)了指南車控制理論做為檢驗(yàn)工具的簡(jiǎn)易性，方便在指南車于早期機(jī)械機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)間檢視是否發(fā)生錯(cuò)誤，避免在實(shí)際制作過(guò)程可能發(fā)生的設(shè)計(jì)錯(cuò)誤或標(biāo)注錯(cuò)誤。

7.2 以機(jī)械原理角度重新計(jì)算

在前面我們將圖6謝龍昌例3指南車?yán)锏霓D(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為圖7所示的基本行星輪系，這是有另一層用意的，因?yàn)檫@些機(jī)構(gòu)都被研究透徹，其傳動(dòng)特性是有資料可查的，但前提是要以通用標(biāo)準(zhǔn)機(jī)構(gòu)形式來(lái)查閱，為避免誤判，此處就是以圖7標(biāo)準(zhǔn)的基本行星輪系查閱了機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)[13]，得其傳動(dòng)比計(jì)算公式正如前面的式(16)所示，如采機(jī)械機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)角度則要同時(shí)以兩個(gè)輸入一個(gè)輸出來(lái)計(jì)算傳遞相應(yīng)的角速度或傳動(dòng)比，如此就成了2自由度的機(jī)構(gòu)命題，這樣則會(huì)比前述以自動(dòng)控制角度實(shí)行的1自由度命題來(lái)得復(fù)雜且容易犯錯(cuò)。首先在圖7基本行星輪系里額外把指向器固連在3(72)齒圈上并套在中央軸外，現(xiàn)假設(shè)左右兩輪分別輸入角速度ωL與ωR，這兩個(gè)角速度輸入經(jīng)左右定軸輪系再到行星輪系機(jī)構(gòu)，之后會(huì)令該指向器輸出Ω角速度，這樣就有著Ω=ω3的關(guān)系式，接下來(lái)，我們就能運(yùn)用傳動(dòng)原理分析其數(shù)學(xué)關(guān)系，以下是其推導(dǎo)過(guò)程。

(1) 負(fù)號(hào)差動(dòng)機(jī)構(gòu)：從轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比公式(16)，及Z2=24,Z3=72，得如式(17)重整后的公式

(26)

(2) 針對(duì)左定軸輪系傳動(dòng)關(guān)系：從圖6中已知ZL=20,Z4=80，可算得同于式(18)形式的公式

(27)

(3) 針對(duì)右輪傳動(dòng)：從圖6中已知數(shù)齒為20T齒輪對(duì)與32T齒輪對(duì)，可算得同于式(18)形式的公式

(28)

將前面式(27)與式(28)二項(xiàng)代入到式(26)關(guān)系式，重新整理可以得到如同式(21)的數(shù)學(xué)關(guān)系式：

(29)

以機(jī)械機(jī)構(gòu)角度進(jìn)行計(jì)算該款指南車角速度特征求出的β補(bǔ)償因子如式(29)所示，其結(jié)果完全與以控制理論計(jì)算所得式(25)結(jié)論一致，這支持著式(6)所做的假設(shè)，真是殊途同歸。從機(jī)械設(shè)計(jì)方法的計(jì)算所得式(29)中，只要與式(21)逐項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)，很容易地就能反推得出控制通道中各項(xiàng)控制環(huán)節(jié)的比例因子：βCL=4/3,NTL=1/4,βCR=1/3,NTR=1,β=1/3，以及L=3R，這項(xiàng)由機(jī)械原理所推算的結(jié)果與本節(jié)前半段7.1以控制理論角度計(jì)算所得到的式(23)、式(22)與式(24)是一模一樣。

8 控制理論的推廣

回顧指南車的控制理論，由于各種環(huán)節(jié)都是比例因子，因而可推廣至所有線性構(gòu)件組成的指南車，從這個(gè)推論知道，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)做為指南車的核心部件并不限于本文分析所用的差動(dòng)輪系機(jī)構(gòu)，例如《宋史·輿服志》文獻(xiàn)記載的吳德仁離合器式指南車、顏志仁繩索傳動(dòng)之差動(dòng)式指南車[1]、楊衍宗等導(dǎo)螺桿式指南車[15]等，還有宋力斌斜面頂推式指南車[8,9]，該項(xiàng)發(fā)明的指南車特別精簡(jiǎn)，完全不使用齒輪，而是使用了斜面、杠桿與曲軸等很原始的簡(jiǎn)單機(jī)械，本節(jié)將以圖8所示的斜面頂推式指南車進(jìn)行控制理論的計(jì)算，當(dāng)然是沿前面第4節(jié)提出的“輸入轉(zhuǎn)一圈”的計(jì)算法則，并就所得結(jié)果加以推導(dǎo)出該指南車其幾何特征該如何設(shè)計(jì)，才能符合不變性原理。

圖8 宋力斌發(fā)明的斜面頂推式指南車原部件圖

首先來(lái)看圖8中左輪不動(dòng)僅右輪轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)作情況，假設(shè)圖8中22扁平狀滾輪是處于右輪進(jìn)行順時(shí)旋轉(zhuǎn)的初始位置，它正緊貼著左側(cè)的2302斜面，該斜面是在23套筒(把中央水平軸線穿孔的圓柱經(jīng)平面斜切并套入2左半輪軸)右側(cè)的斜切平面，所以當(dāng)右輪順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)輸入一圈時(shí)，扁平狀滾輪會(huì)在斜面上滾動(dòng)并繞輪軸轉(zhuǎn)一圈，因此求得右輪傳遞給該等效控制器的傳遞因子為NTR=1，接著也讓套筒在水平軸方向先向右后向左地往復(fù)移動(dòng)，并通過(guò)3小滾輪搖動(dòng)著5杠桿和6連桿進(jìn)而帶動(dòng)13曲軸旋轉(zhuǎn)一圈，正好驅(qū)動(dòng)指向器轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，也就是右側(cè)輸入等效控制器其補(bǔ)償因子為βCR=1，這樣從左輪不動(dòng)右輪單側(cè)旋轉(zhuǎn)輸入一圈就可以求得控制通道之傳遞函數(shù)的補(bǔ)償因子為β=βCR×NTR=1×1=1，再將此代入到式(6)得

Ω=βΔω=Δω

(30)

再依指南車控制理論可進(jìn)行推論，即考慮該補(bǔ)償因子必須符合不變性原理，則它要等于干擾通道的傳遞函數(shù)GD(s)=R/L，如不考慮負(fù)號(hào)的話，可算得

(31)

以上依指南車控制理論推導(dǎo)出如何設(shè)計(jì)該款指南車其輪車架的幾何條件，也就是該指南車左右兩輪之輪軸間距L必須設(shè)計(jì)成等于車輪半徑R的尺寸；同理，另從右輪不動(dòng)僅左輪轉(zhuǎn)動(dòng)也能算出同樣結(jié)論，這個(gè)式(31)由指南車控制理論計(jì)算的結(jié)果，與該發(fā)明專利文件[8]里所陳述的輪軸間距與車輪半徑的設(shè)計(jì)規(guī)范是完全一致的。

另有一種構(gòu)造更簡(jiǎn)單由李琛發(fā)明的指南車[16]，它并不是依靠指向器辨別方向，而是經(jīng)判讀兩輪相對(duì)運(yùn)動(dòng)位置從而了解到車頭的指向方位。如將指南車分為無(wú)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)與含轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)等兩類指南車的話，那么李琛的指南車就屬于無(wú)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)指南車或簡(jiǎn)稱無(wú)機(jī)構(gòu)指南車，如果按嚴(yán)格指南車五構(gòu)件要求的話，該指南車缺了指向器與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)等重要構(gòu)件。由于這類指南車沒(méi)有提供輸出指向器轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，等于是沒(méi)有了控制器，那么，本文創(chuàng)建的控制理論也就無(wú)從計(jì)算了。

9 理想與現(xiàn)實(shí)之間的誤差

雖然前饋調(diào)節(jié)控制在理論上可以實(shí)現(xiàn)無(wú)誤差調(diào)節(jié)，能充分體現(xiàn)不變性原理，可是指南車的實(shí)際行駛情況會(huì)碰到不可測(cè)的干擾，使得車輪自旋與行進(jìn)軌道并不是完全耦合作用，旋即破壞了式(4)純滾動(dòng)行程差恒等關(guān)系式，例如，當(dāng)輪子發(fā)生打滑空轉(zhuǎn)現(xiàn)象，導(dǎo)致車輪自旋過(guò)快而多增加Δε角速度，使得ΔS′>ΔS，這項(xiàng)多出來(lái)的信號(hào)會(huì)經(jīng)由控制通道傳送出去，進(jìn)而影響著指向器的轉(zhuǎn)向；又如，當(dāng)輪子發(fā)生騰空跳動(dòng)現(xiàn)象，導(dǎo)致車輪自旋過(guò)慢，使得ΔS′<ΔS，也就相當(dāng)于車架多彎了Δσ角速度，這項(xiàng)干擾信號(hào)會(huì)經(jīng)由干擾通道傳送出去，進(jìn)而影響著指向器的轉(zhuǎn)向，今將前述兩種指南車在實(shí)際路面行駛時(shí)通常會(huì)發(fā)生的因素納入指南車控制理論，簡(jiǎn)單推理，就能夠列出車輪自旋與行進(jìn)軌道不完全耦合作用下的控制系統(tǒng)輸出入之?dāng)?shù)學(xué)關(guān)系式如下：

(32)

上式中間的前一個(gè)互減項(xiàng)因前饋控制系統(tǒng)完全補(bǔ)償作用得以歸零，因此會(huì)殘留剩下后一個(gè)互減項(xiàng)，這就是車輪發(fā)生跳空或打滑現(xiàn)象對(duì)指向器的轉(zhuǎn)向輸出造成影響，又由于這兩種現(xiàn)象為獨(dú)立互斥事件，這些不可測(cè)干擾相互之間不生抵消，都會(huì)輸入到控制系統(tǒng)，進(jìn)而讓指向器衍生累積偏差，而且由控制理論證實(shí)了指南車缺乏可以偵測(cè)鑒別車輪跳空或打滑擾動(dòng)的機(jī)制，導(dǎo)致這些干擾不可能被量測(cè)出來(lái)。雖說(shuō)人是可以判別這種累積偏差，然而機(jī)器卻是無(wú)從知曉，使得有偏差產(chǎn)生但無(wú)法被消除。

雖然有偏差產(chǎn)生就無(wú)法被消除，然而指南車控制有一種自動(dòng)重設(shè)定特性，例如以指南車啟始指向器所指角度為極坐標(biāo)零度角，且此處對(duì)指南車平移運(yùn)動(dòng)不做討論，所以只要一路追蹤其旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)就行了。思想實(shí)驗(yàn)追蹤情況如下：指南車剛開始行駛平順，然后于T1時(shí)碰到不可測(cè)干擾，此時(shí)指向器產(chǎn)生偏差E1角，然后繼續(xù)純滾動(dòng)行駛，這時(shí)指向器依然是呈E1角樣貌行平移運(yùn)動(dòng)，又于T2時(shí)碰到不可測(cè)干擾，使得指向器產(chǎn)生偏差E2角，因而累積偏差變?yōu)?E1+E2)角，后來(lái)又恢復(fù)純滾動(dòng)行駛。仔細(xì)檢視從T1與T2這一段期間的純滾動(dòng)行駛過(guò)程，指南車控制系統(tǒng)就好像自動(dòng)重設(shè)定一樣，它會(huì)遺忘先前的偏差，而是拿先發(fā)生的偏差E1角當(dāng)成最優(yōu)控制條件的期望值，也就是重新設(shè)定了這個(gè)偏差角為零度角，因此控制系統(tǒng)在這一段純滾動(dòng)期間里仍然實(shí)現(xiàn)完全補(bǔ)償控制，也就是任意行駛并沒(méi)有對(duì)指向器產(chǎn)生偏差，換句話說(shuō)，指向器自動(dòng)以新重設(shè)后的零度角保持平移運(yùn)動(dòng)，因此該控制除了會(huì)自動(dòng)重設(shè)定并沒(méi)有記憶機(jī)制，由于這個(gè)作用稱指南車控制系統(tǒng)具無(wú)記憶性自動(dòng)重設(shè)定特質(zhì)，因此，指南車是不存在有所謂的給定環(huán)節(jié)[7]，所以也就沒(méi)有設(shè)定值以及設(shè)定值偏差的問(wèn)題。

雖然控制系統(tǒng)不具記憶性，但以啟始方位角來(lái)看，每次所生偏差都會(huì)殘留而累計(jì)下來(lái)，又由于指向器圓周旋轉(zhuǎn)之周而復(fù)始特性，庇護(hù)了長(zhǎng)時(shí)間行駛之下所累積的超大偏差不發(fā)生破表現(xiàn)象，絕對(duì)安全沒(méi)有危險(xiǎn)可言，且控制系統(tǒng)仍然依照著轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)專有特性不斷持續(xù)控制著，又由于指南車控制系統(tǒng)有著無(wú)記憶性自動(dòng)重設(shè)定特質(zhì)，前饋信息永遠(yuǎn)是針對(duì)當(dāng)下擾動(dòng)量進(jìn)行控制，而不受之前任何擾動(dòng)包括累積誤差的影響，完全不針對(duì)被控對(duì)象的偏差量進(jìn)行控制。

這里總結(jié)一下，由于指南車除了有制造上的系統(tǒng)誤差[17,18]之外，它還無(wú)法克服車輛行進(jìn)間地面顛簸或光滑所產(chǎn)生的誤差，總之(1)輪打滑則輪多轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致指向精度更差；(2)車跳動(dòng)則車多轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)彎精度更差；(3)現(xiàn)實(shí)工藝非線性，從而導(dǎo)致構(gòu)件精度變差等無(wú)法消除的三差環(huán)節(jié)，導(dǎo)致不可能將近似理想化指南車化為現(xiàn)實(shí)，換言之，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境下為指南車進(jìn)行定量實(shí)驗(yàn)是沒(méi)有實(shí)質(zhì)意義的，這也就是為什么一般指南車設(shè)計(jì)文獻(xiàn)只討論制造精度而不討論其定向能力精度的重要因素。

10 常見誤區(qū)厘清

在進(jìn)行討論之前，先來(lái)厘清所謂的自動(dòng)控制。這里舉個(gè)棒球賽例子，球要投得精準(zhǔn)，是投手控球能力的控制問(wèn)題，這顯然是人工控制；至于自動(dòng)控制，則是相對(duì)人工控制概念而言的，指的是在無(wú)人直接參與情況下，利用控制裝置使被控對(duì)象或過(guò)程，能夠自動(dòng)地按原先設(shè)計(jì)或預(yù)定規(guī)律運(yùn)行。照這個(gè)講法，指南車的保守指向作用，并不是人工控制，它是靠人們?cè)O(shè)計(jì)在車?yán)镱^的機(jī)關(guān)或機(jī)構(gòu)來(lái)控制方向的，因此，指南車的確是擁有自動(dòng)控制系統(tǒng)的機(jī)械裝置，至于有很多學(xué)者認(rèn)為指南車有定向作用，甚至認(rèn)定由于差動(dòng)結(jié)構(gòu)具有負(fù)回饋?zhàn)饔?，它是反饋控制，真的是這樣嗎？以下深入探討。

10.1 指南車其指向器有定向作用，真的是這樣嗎

指南車能夠執(zhí)行指向功能，并不能做到定向。要賦予定向功能，以控制的觀點(diǎn)，不外乎就是要知道自身與外界方位情況，然后設(shè)立預(yù)定方向，接著做好控制以穩(wěn)定方向。就此定向要求來(lái)探討，指南車的確是有三大盲點(diǎn)：其一如要達(dá)到設(shè)定方向目的，得為它先行設(shè)定方向以利后續(xù)執(zhí)行調(diào)節(jié)方向控制，但指南車沒(méi)有設(shè)計(jì)輸入系統(tǒng)設(shè)定值的操作構(gòu)件或界面機(jī)構(gòu)，它是以啟始方向?yàn)榉较颍虼艘＼嚭?，如指向器是固連著機(jī)構(gòu)輸出件，則要抬高車架轉(zhuǎn)動(dòng)輪子才能重新給定指向器方向，至于車子行進(jìn)間是辦不到的；其二如要達(dá)到穩(wěn)定方向要求，需要提升追蹤精度和抗干擾性，然而在缺乏反饋通路情況下，無(wú)法對(duì)系統(tǒng)內(nèi)外干擾因素的總和做出實(shí)時(shí)估算和相應(yīng)補(bǔ)償，指南車設(shè)計(jì)沒(méi)有負(fù)反饋控制回路，這些要求全做不到；其三如要達(dá)到固定方向作用，得知道方向預(yù)計(jì)設(shè)定在哪個(gè)方位，換句話說(shuō)，得量測(cè)輸出端信息與外界坐標(biāo)之間的聯(lián)系才行，可是在指南車?yán)锊](méi)有作這樣設(shè)計(jì)考慮。

就以上原因分析，明白看出指南車本身就是做不到定向要求，因?yàn)椴还芊较蛞趺炊?，這所有的基準(zhǔn)(固定)、判斷(設(shè)定)與調(diào)整(穩(wěn)定)都是在人的腦海里進(jìn)行的。那指南車指向功能到底是什么呢？方向何來(lái)呢？由來(lái)又是什么？這得先來(lái)談?wù)勚改宪囁J(rèn)定的方向。由于指南車始終是以車剛開始行駛的啟始方向?yàn)橹赶蛞罋w，顯然方向成了時(shí)間為零的邊界條件，而且一直延續(xù)到任何時(shí)刻都絲毫不受車輛任何轉(zhuǎn)彎的干擾，指向器都得要在靜止坐標(biāo)中始終保持平移運(yùn)動(dòng)而無(wú)任何旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如此才能守住啟始方向，所示空間方位看起來(lái)像保持不變，這就是指南車指向功能的真諦。由此看來(lái)，指向作用并不是指南車所能提供的功能，而保守方向才是。當(dāng)車剛開始行駛時(shí)，如果指向器所示啟始方向就是我們要指定控制的方向，那么就可以說(shuō)，指南車擁有保守指向作用。

保守指向作用是我們探討指南車的主題，其最重要作用關(guān)鍵所在，就是指南車在平面上任意行駛，本身自有能力把指向器旋轉(zhuǎn)與車輛拐彎這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)綜合起來(lái)的偏差始終調(diào)節(jié)為零，這正是經(jīng)驗(yàn)公式(2)的物理圖像，而一般只知道該經(jīng)驗(yàn)公式，進(jìn)而猜想并推斷指南車擁有反饋控制機(jī)制，然而事實(shí)真相又是如何呢？這個(gè)空間運(yùn)動(dòng)答案將隨著選取系統(tǒng)范圍不同而有所差異，以下就個(gè)別觀點(diǎn)與整體觀點(diǎn)來(lái)探討相關(guān)命題。至于反饋控制機(jī)制方面的疑云，后續(xù)還會(huì)深入探索撥云見日。

首先以指向器做為受控對(duì)象來(lái)談，指南車的指向器與車架并不發(fā)生耦合作用，事實(shí)上指向器并不受車架節(jié)制其運(yùn)動(dòng)。證明很簡(jiǎn)單，只要將指南車騰空架高讓輪不著地，然后單單旋轉(zhuǎn)車輪時(shí)，就只有指向器會(huì)隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，而車架則紋風(fēng)不動(dòng)。這個(gè)明顯事實(shí)指出指向器旋轉(zhuǎn)與車輛拐彎這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，只是單純以相對(duì)反方向運(yùn)動(dòng)而已，它們是獨(dú)立發(fā)生的事件，彼此一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有，只是它們之間的等量反向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就那么巧，正是由于同時(shí)巧合發(fā)生，在靜止坐標(biāo)空間上同時(shí)合將起來(lái)的效果，被認(rèn)為是保持不變守住方向。因此，能控制指向器保守指向的，也只是個(gè)巧合。

如果將指向器與車架統(tǒng)合起來(lái)看，意義就不同了，這整體觀點(diǎn)會(huì)讓指向器本身與車架融合成一系統(tǒng)而分不開的，本研究也是居于這個(gè)整體觀點(diǎn)，雖然實(shí)際上，指南車并沒(méi)有加法構(gòu)件或機(jī)構(gòu)，能把車架拐彎角速度與指向器旋轉(zhuǎn)角速度這兩個(gè)加起來(lái)之和為零，然而相對(duì)于慣性坐標(biāo)的觀察者而言，指南車相當(dāng)于一個(gè)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，而指向器則是在這運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系上進(jìn)行自旋運(yùn)動(dòng)，由于指南車如剛體平面運(yùn)動(dòng)般可看成是剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，慣性坐標(biāo)觀察者看到的指向變化是指南車剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)與指向器在此剛體上自旋的疊加狀態(tài)，整體觀點(diǎn)還是能將這兩股相對(duì)運(yùn)動(dòng)視同加法作用，就是一個(gè)偏差加上一個(gè)補(bǔ)償，整體系統(tǒng)邏輯上是可以這樣看待，宛如雙人跳舞般，你來(lái)我往、舞步同調(diào)、節(jié)奏一致、淋漓曼妙。保守指向就這樣發(fā)生作用，無(wú)時(shí)無(wú)刻無(wú)所不在。

10.2 差動(dòng)結(jié)構(gòu)有負(fù)回饋?zhàn)饔茫娴氖沁@樣嗎

圖9 楊衍宗等第二款指南車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)圖

“反饋或負(fù)回饋”一詞在自動(dòng)控制領(lǐng)域是個(gè)極其重要的概念，乃指將控制系統(tǒng)把信息輸送出去，又把其作用結(jié)果返送回到輸入端并以某種方式改變輸入，它們之間存在因果關(guān)系的回路，進(jìn)而影響系統(tǒng)功能的過(guò)程。依本文為指南車創(chuàng)建的圖3控制方框圖來(lái)看，顯然反饋回路是不存在的；至于機(jī)械方面的觀點(diǎn)，有文獻(xiàn)指出當(dāng)指南車轉(zhuǎn)彎時(shí)，兩輪差動(dòng)將使得負(fù)差動(dòng)的機(jī)械機(jī)構(gòu)輸出的轉(zhuǎn)向與車子轉(zhuǎn)彎角的方向等量反向，這樣就可以實(shí)現(xiàn)負(fù)反饋[1]。這里將以一個(gè)負(fù)號(hào)差動(dòng)機(jī)構(gòu)來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)說(shuō)法是否成立，此處選用楊衍宗等設(shè)計(jì)的第二款指南車[15]，它的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)與圖6謝龍昌等設(shè)計(jì)例3指南車基本是一樣，其實(shí)際機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖9所示，都是如圖7所示屬負(fù)號(hào)差動(dòng)機(jī)構(gòu)的基本行星輪系，有著與前述說(shuō)法所指的負(fù)差動(dòng)特性，另從該文獻(xiàn)得知Z1=Z2=Z5=Z6=20，以及Z3=60等個(gè)別編號(hào)齒輪之齒數(shù)信息，那么，從圖9中可觀察到齒輪2為行星輪、齒輪1為太陽(yáng)輪、齒輪3為齒圈，這樣的輸出入件正是第6節(jié)的②以齒圈為左側(cè)輸入、太陽(yáng)輪為右側(cè)輸入而行星架為輸出的組合情況，其中，行星齒輪2是套在行星架4的系桿上?，F(xiàn)假設(shè)左右兩輪分別輸入角速度ωL與ωR，且這兩個(gè)角速度直接傳動(dòng)到行星輪系機(jī)構(gòu)，接下來(lái)就能運(yùn)用傳動(dòng)原理分析其數(shù)學(xué)關(guān)系，以下是其推導(dǎo)過(guò)程。

(1) 負(fù)號(hào)差動(dòng)機(jī)構(gòu)：從其轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比公式(16)與Z1=20,Z3=60，得如式(17)重整后的公式

(33)

(2) 左輪傳動(dòng)關(guān)系：當(dāng)左視圖9中左輪6順轉(zhuǎn)時(shí)，俯瞰齒輪3會(huì)反向逆轉(zhuǎn)，兩者反向則傳動(dòng)比取負(fù)值，又齒數(shù)Z6=20,Z3=60，且ωL=ω6，由此可算得同于式(18)形式的公式

(34)

(3) 右輪傳動(dòng)關(guān)系：從圖9中左視右輪5順轉(zhuǎn)時(shí)，俯瞰齒輪1會(huì)跟著順轉(zhuǎn)，兩者都是正向，因此

ω5=ω1=ωR

(35)

將前面式(34)與式(35)二項(xiàng)代入到式(33)式，重新整理可得到此二進(jìn)一出差動(dòng)機(jī)構(gòu)角速度關(guān)系式：

(36)

(4) 針對(duì)輸出系桿：因轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)輸出件上齒輪嚙合著同齒數(shù)連住指向器的平齒輪，兩者等齒反向，得

Ω=-ω4

(37)

將前面式(37)代入到式(36)，并經(jīng)重新整理可以得到如同式(21)的數(shù)學(xué)關(guān)系式：

(38)

這個(gè)從機(jī)械原理計(jì)算所得的式(38)，其乃該款形同式(21)的指南車角速度特征公式，只要與式(21)逐項(xiàng)一對(duì)一進(jìn)行各別比對(duì)，很容易地就能反推得出控制通道中各項(xiàng)控制環(huán)節(jié)的比例因子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有這些：βCL=3/4,NTL=1/3,βCR=1/4,NTR=1,β=1/4，以及L=4R，這些結(jié)果完全與本文控制理論所得推理是一致的，真是條條道路通羅馬。整體分析之后，接下來(lái)將探討指向器運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)。

這里沿用第4節(jié)控制理論計(jì)算法則里采單輪不動(dòng)僅轉(zhuǎn)動(dòng)另一輪的作法，例如當(dāng)右輪不動(dòng)左輪順時(shí)旋轉(zhuǎn)輸入到圖9所示的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)則車身會(huì)逆時(shí)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)左輪6順轉(zhuǎn)為正向且ωR=0，這些代入到式(36)得到ω4為負(fù)值，即該轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的輸出件會(huì)受式(36)調(diào)控而產(chǎn)生逆轉(zhuǎn)現(xiàn)象，其輸出會(huì)與車身轉(zhuǎn)彎方向相同，讓逆轉(zhuǎn)角度加大，這并不同于前述文獻(xiàn)[1]負(fù)反饋的說(shuō)法，該款設(shè)計(jì)又為了要讓指向器能夠維持在原方位，只好在轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的輸出件先不裝指向器改安裝一個(gè)平齒輪，再嚙合相同齒數(shù)的平齒輪并固連一個(gè)轉(zhuǎn)軸使其能安裝指向器，這樣就同式(37)那樣能使指向器與原輸出件發(fā)生等量反向的角速度，從而力保式(38)的轉(zhuǎn)向功能，顯然，負(fù)差動(dòng)輸出負(fù)反饋[1]的說(shuō)法完全站不住腳。

或許有人會(huì)認(rèn)為前述例子只是個(gè)特例，并不能以偏蓋全證明什么！小心求證是對(duì)的，那么，這里還可以再舉另一種常見的設(shè)計(jì)，如由盧志明設(shè)計(jì)的第b款指南車[19]，并拿其角速度特征的數(shù)學(xué)模式來(lái)論事，由于版面受限，這里不詳列其設(shè)計(jì)圖，欲知詳情者敬請(qǐng)參閱該文獻(xiàn)。由于該b款的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)是采汽車常用的差速器，它也是負(fù)差動(dòng)機(jī)構(gòu)，其輸出入角速度數(shù)學(xué)模式原為Ω=(ωL+ωR)/2，如把差速器當(dāng)成指南車的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)時(shí)，最簡(jiǎn)單做法就是在差速器右側(cè)輸入之傳遞裝置中插入安裝一個(gè)反相器以便進(jìn)行方向校正，使得輸出入角速度關(guān)系一下逆轉(zhuǎn)為Ω=(ωL-ωR)/2，這就與前面第4節(jié)提過(guò)蘭開斯特指南車有著相同的數(shù)學(xué)模式[10]，因而使得指向器有著正常作用。這個(gè)例子是在轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)輸入件之前進(jìn)行了方向校正，不同于前一個(gè)楊衍宗第二款指南車是在轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)輸出件之后進(jìn)行方向校正。綜觀以上這兩個(gè)例子，充分顯示出轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)并非是促成指向器有指向作用的絕對(duì)要素，如還要硬說(shuō)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的負(fù)反饋?zhàn)饔闷鸬搅酥赶蚬δ艿脑?，那就不靠譜了，況且轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)到底有沒(méi)有負(fù)反饋?zhàn)饔茫@還是個(gè)大疑問(wèn)呢，也需要進(jìn)一步深入探討才能確認(rèn)，以下就來(lái)討論這件事。

或許有人會(huì)認(rèn)為前面文獻(xiàn)推論負(fù)差動(dòng)機(jī)構(gòu)輸出具負(fù)反饋?zhàn)饔肹1]的說(shuō)法過(guò)于籠統(tǒng)，那么我們接著就來(lái)探討較明確的說(shuō)法，譬如，也有指南車機(jī)械專家認(rèn)為所謂的“負(fù)回饋機(jī)構(gòu)是指南車的主體，指南車因?yàn)閮奢喌乃俣炔疃斐绍嚿硇D(zhuǎn)，負(fù)回饋系統(tǒng)則使輸出件能夠反向消除車身的旋轉(zhuǎn)量，使其回到固定指向的目的”[20]，按照機(jī)械觀點(diǎn)來(lái)看，差動(dòng)輪系是具有負(fù)回饋?zhàn)饔?，這樣描述的確明確多了。如果差動(dòng)輪系真的存在有負(fù)回饋?zhàn)饔?，那么這個(gè)作用只能是差動(dòng)輪系的專有特性，又差動(dòng)輪系內(nèi)部各個(gè)構(gòu)件的傳動(dòng)比正是該裝置的專有特性，而該裝置的負(fù)回饋?zhàn)饔糜质巧婕暗浇撬俣鹊淖h題，那么負(fù)回饋?zhàn)饔玫臄?shù)學(xué)模式必然會(huì)反映在此裝置傳動(dòng)比公式的數(shù)學(xué)模式里，現(xiàn)在就拿差動(dòng)輪系實(shí)際設(shè)計(jì)案例進(jìn)行深入探討有無(wú)此事，當(dāng)然也是基于前面討論所共通的負(fù)號(hào)差動(dòng)機(jī)構(gòu)。

圖10 盧志明設(shè)計(jì)第c款指南車結(jié)構(gòu)示意圖

接著就以新案例進(jìn)行探討，這里就拿圖10盧志明設(shè)計(jì)的第c款指南車[19]為例，當(dāng)然也是基于共通的負(fù)號(hào)差動(dòng)機(jī)構(gòu)，其輸出入件安排正好是第6節(jié)的③以齒圈為左側(cè)輸入、行星架為右側(cè)輸入而太陽(yáng)輪為輸出的組合情況。現(xiàn)為了便于討論，從圖10中左下角左輪開始依嚙合次序給定齒輪編號(hào)為1至6號(hào)，各齒輪齒數(shù)詳情如圖10內(nèi)容所示，例如齒輪1(左輪)Z1=14T，齒輪2(內(nèi)齒圈內(nèi)外均齒)Z2=42T，齒輪4(中心輪)Z4=28T，齒輪5(行星架)Z5=40T，齒輪6(右輪)Z6=8T，每個(gè)齒輪組件皆采用ωi代表該i編號(hào)齒輪之角速度，其中由編號(hào)4之中心太陽(yáng)輪固連轉(zhuǎn)軸直接輸出指向器，驅(qū)之產(chǎn)生指向器角速度Ω，因此有著Ω=ω4的關(guān)系式。剛剛跳過(guò)了最特別的齒輪3(行星輪齒)Z3=7T，其乃差動(dòng)機(jī)構(gòu)中的行星輪，它是空套在齒輪5行星架上系桿的惰輪，所以該輪既可以自轉(zhuǎn)也可以公轉(zhuǎn)，但不做計(jì)算考慮；至于左車輪角速度，顯然有著ωL=ω1關(guān)系式，同理，右車輪角速度也有著ωR=ω6關(guān)系式。接下來(lái)，我們就能運(yùn)用傳動(dòng)原理分析其數(shù)學(xué)關(guān)系，其相關(guān)推導(dǎo)過(guò)程如下：

(1) 針對(duì)負(fù)號(hào)機(jī)構(gòu)之差動(dòng)輪系：從行星齒輪轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比式(16)，以及已知Z2=42,Z4=28，Ω=ω4，算得如同式(17)并經(jīng)重整后的公式

(39)

(2) 針對(duì)左輪傳動(dòng)定軸輪系：從圖中已知齒數(shù)Z1=14,Z2=42，且左視左輪1順轉(zhuǎn)時(shí)俯瞰齒輪2為逆轉(zhuǎn)，兩者反向則傳動(dòng)比取負(fù)值，又ωL=ω1，可算得同于式(18)形式的公式

(40)

(3) 針對(duì)右輪傳動(dòng)定軸輪系：從圖中已知齒數(shù)Z5=40,Z6=8，且左視右輪5順轉(zhuǎn)時(shí)俯瞰齒輪6為逆轉(zhuǎn)，兩者反向則傳動(dòng)比取負(fù)值，又ωR=ω6，可算得同于式(18)形式的公式

(41)

將前面式(40)與式(41)二項(xiàng)代入到式(39)關(guān)系式，重新整理可以得到如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

(42)

以機(jī)械機(jī)構(gòu)角度進(jìn)行該款指南車角速度特征的計(jì)算求出β補(bǔ)償因子如式(42)所示，其結(jié)果完全與以自動(dòng)控制角度計(jì)算所得式(12)結(jié)論一致，這驗(yàn)證了式(6)假設(shè)的正確性，這絲毫不意外。只要式(42)與從機(jī)械原理一般推導(dǎo)所得式(21)進(jìn)行逐項(xiàng)一一對(duì)映，很容易地就能反推得出控制通道中各項(xiàng)控制環(huán)節(jié)的比例因子：βCL=3/2,NTL=1/3,βCR=5/2,NTR=1/5,β=1/2，以及L=2R。正是角速度特征公式(21)讓指向器具有補(bǔ)償作用，其源自于前饋控制，而不是差動(dòng)輪系具有負(fù)回饋?zhàn)饔谩?/p>

11 本研究為何不考慮指南車的動(dòng)力學(xué)

指南車是只有機(jī)械機(jī)構(gòu)而沒(méi)有動(dòng)力的車輛，需要借助外力牽引才能運(yùn)動(dòng)，例如古時(shí)候是用牛馬等獸力以尋常步行速度加以牽引，并藉由車輪與地面的摩擦力使車輛與指向器相應(yīng)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)指南車受力運(yùn)動(dòng)時(shí)，就成了一個(gè)動(dòng)力學(xué)的物理系統(tǒng)，理應(yīng)研究此動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，那為何本研究不考慮指南車的動(dòng)力學(xué)，而僅考慮其運(yùn)動(dòng)學(xué)呢？理由有下列幾點(diǎn)。

(1) 延續(xù)機(jī)械原理的分析基礎(chǔ)。隨便查閱任何一本機(jī)械手冊(cè)里有關(guān)差動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比，都會(huì)與文獻(xiàn)[13]里的記載完全一致，任何一本機(jī)械原理專書所定義的傳動(dòng)比，其分析基礎(chǔ)無(wú)一例外都是以運(yùn)動(dòng)學(xué)為切入點(diǎn)，而本研究也是居于這個(gè)基礎(chǔ)。

(2) 如考慮指南車的動(dòng)力學(xué)，則難以找到統(tǒng)一的內(nèi)在運(yùn)行規(guī)律。有文獻(xiàn)[21]指出早在中國(guó)古代的指南車中，就已經(jīng)出現(xiàn)了面齒輪副的雛形，此文獻(xiàn)指的正是第4節(jié)里的蘭開斯特型指南車，而面齒輪副是此款指南車?yán)镛D(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的一部分構(gòu)件。該文獻(xiàn)運(yùn)用動(dòng)力學(xué)分析了面齒輪副設(shè)計(jì)狀態(tài)時(shí)的動(dòng)態(tài)特性，研究了嚙合剛度、嚙合間隙、靜態(tài)傳動(dòng)誤差、扭矩波動(dòng)等因素對(duì)面齒輪副動(dòng)態(tài)特性的影響，以及面齒輪副蘊(yùn)含的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。舉這個(gè)面齒輪副動(dòng)力學(xué)研究例子，就知道要為蘭開斯特型指南車建立其動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是多么的龐雜，更何況尚有千百種運(yùn)用不同機(jī)構(gòu)所設(shè)計(jì)的指南車，若就動(dòng)力模型而言，由于不同機(jī)構(gòu)的差異性，只能針對(duì)個(gè)別款式設(shè)計(jì)的指南車進(jìn)行個(gè)案研究，如此將難以找到指南車共通的內(nèi)在運(yùn)行規(guī)律。

(3) 掌握研究對(duì)象的重點(diǎn)特征。對(duì)一個(gè)物理系統(tǒng)進(jìn)行基礎(chǔ)研究時(shí)，需去枝蔓留主干地掌握相關(guān)物理量，有時(shí)還需加上線性化假設(shè)，才得以化繁為簡(jiǎn)點(diǎn)出基本規(guī)律，進(jìn)而以簡(jiǎn)馭繁描述相同或近似的物理現(xiàn)象。指南車的方向保守作用是建立在純滾動(dòng)的基礎(chǔ)上，也因此指南車必須慢速運(yùn)動(dòng)，否則一切免談。由于指南車處在慢速運(yùn)動(dòng)，里頭機(jī)械構(gòu)件的材料是可以保持近似剛體，同時(shí)也使得構(gòu)件傳動(dòng)近似線性化，有了這些條件，使得考慮齒輪及機(jī)構(gòu)傳動(dòng)時(shí)，單以運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)就足以描述其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在研究重點(diǎn)上，例如在汽車?yán)锏牟钏倨?，它是一進(jìn)二出系統(tǒng)，是作為引擎動(dòng)力輸出的扭力分配裝置，則扭力是其研究重點(diǎn)，顯然必須考慮動(dòng)力學(xué)，否則失去研究意義；然而如果將差速器拿來(lái)當(dāng)指南車的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，它變成是二進(jìn)一出系統(tǒng)，而且指南車主要重點(diǎn)是要達(dá)到公式(2)車輛轉(zhuǎn)彎角速度與指向器補(bǔ)償角速度的約束條件?，F(xiàn)考慮指南車是保持慢速的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則可以想成外界提供的動(dòng)力，剛好能讓指南車?yán)镱^所有機(jī)械構(gòu)件都處于線性化條件下運(yùn)作，進(jìn)而完成式(2)的角速度關(guān)系式，也就是單單運(yùn)用基本的機(jī)械原理進(jìn)行指南車內(nèi)部運(yùn)作的基礎(chǔ)分析是可接受的，換言之，就像第2、3節(jié)中針對(duì)指南車保守指向作用進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)分析與建模那樣，無(wú)須考慮力的作用，單以運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)就足以找到滿足經(jīng)驗(yàn)公式(2)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而本研究也證實(shí)了這一觀點(diǎn)。

12 指南車為何而發(fā)明，又有何用

本文所論及的理論公式，以及結(jié)構(gòu)圖都僅是古代指南車的實(shí)現(xiàn)，這些思維遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了古人的能力范圍，那它們是怎么辦到的呢？古人憑借著勤奮的雙手與不知亦能行的樸實(shí)智慧，創(chuàng)造出不可思議的指南車發(fā)明物，其背景是黃帝與蚩尤進(jìn)行生死存亡之戰(zhàn)為破大霧迷陣的一項(xiàng)發(fā)明，是戰(zhàn)爭(zhēng)“需求”創(chuàng)造了“指南車”發(fā)明。人類的發(fā)明史其實(shí)有不少殘酷性，所幸，經(jīng)軍轉(zhuǎn)民用之后，這些發(fā)明都有利于社會(huì)民生，但現(xiàn)在有了衛(wèi)星導(dǎo)航，那么指南車還有用嗎？

其實(shí)需求是有了，例如文獻(xiàn)[22]用上指南車并進(jìn)行機(jī)電整合創(chuàng)造出新的服務(wù)型機(jī)器人或三輪車，可用于沒(méi)有衛(wèi)星導(dǎo)航又沒(méi)能用上循線機(jī)器人的方向指引應(yīng)用場(chǎng)景。其實(shí)，指南車最大用途是在教育領(lǐng)域，例如文獻(xiàn)[10]用來(lái)學(xué)習(xí)曲面與向量平行移動(dòng)的概念，或如本研究由于牽涉到控制理論，此一研究成果可用來(lái)學(xué)習(xí)控制學(xué)上的一些基本概念，例如第4節(jié)所講的“輸入轉(zhuǎn)一圈”的計(jì)算法則，其實(shí)這應(yīng)是在特定時(shí)間例如每一分鐘內(nèi)轉(zhuǎn)一圈，本質(zhì)上就是one r.p.m.之意，如站在控制學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，這就相當(dāng)于“輸入一個(gè)step信號(hào)”，這在初學(xué)者來(lái)說(shuō)就是個(gè)不小的挑戰(zhàn)。如果用指南車進(jìn)行這方面的演練，經(jīng)由“做中學(xué)”就能大大減低其學(xué)習(xí)障礙。又比如，在機(jī)械理想化線性組件假設(shè)條件下，經(jīng)過(guò)齒輪傳動(dòng)是立即響應(yīng)的，因此指南車所有控制環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)移函數(shù)并沒(méi)有延遲時(shí)間，而且是也只能是比例因子，這其實(shí)是控制理論中最簡(jiǎn)單計(jì)算的實(shí)務(wù)應(yīng)用例子，真是易教好懂。此外，由于本研究牽涉到跨領(lǐng)域的難點(diǎn)，為了方便提供偏向機(jī)械觀的論述，筆者在第4節(jié)里拿掉了時(shí)間因素，給定“輸入轉(zhuǎn)一圈”的計(jì)算法則，從計(jì)算輸入與輸出角速度或轉(zhuǎn)速的過(guò)程，轉(zhuǎn)換成計(jì)算輸入一圈與輸出幾圈的控制響應(yīng)。

13 結(jié)論

這里總結(jié)本文三款行星輪系建構(gòu)的指南車設(shè)計(jì)案例，皆用圖4、圖7基本行星輪系做為共通的負(fù)差動(dòng)機(jī)構(gòu)，其傳動(dòng)比公式同為式(16)，其主要差異在于輸出入件的設(shè)計(jì)選擇，分別說(shuō)明如下：

(1) 謝龍昌設(shè)計(jì)例3指南車時(shí)，以左側(cè)輸入為行星架、右側(cè)輸入為太陽(yáng)輪而輸出為齒圈。

(2) 楊衍宗設(shè)計(jì)第二款指南車時(shí)，以左側(cè)輸入為齒圈、右側(cè)輸入為太陽(yáng)輪而輸出為行星架。

(3) 盧志明設(shè)計(jì)c款指南車時(shí)，是以左側(cè)輸入為齒圈、右側(cè)輸入為行星架而輸出為太陽(yáng)輪。

由于基本行星輪系中做為輸出入件就是齒圈、行星支架與太陽(yáng)輪等三種構(gòu)件，除開因左右鏡射因素重復(fù)設(shè)計(jì)之外，就剩上述三種不同組合情況，而且本文實(shí)際設(shè)計(jì)案例①輸出入組合算得式(29)、②輸出入組合求得式(38)與③輸出入組合導(dǎo)出式(42)，皆與第4節(jié)控制理論之式(10)、式(12)和第6節(jié)機(jī)械原理之式(21)吻合，充分檢驗(yàn)了機(jī)械原理與控制觀點(diǎn)所做的共同推論，據(jù)此，已經(jīng)系統(tǒng)性盤查所有關(guān)于該負(fù)號(hào)差動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的機(jī)械傳動(dòng)特征與控制特性，全面交叉核實(shí)了本文控制理論的正確性。

筆者遍查機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)[13]里所有差動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比，無(wú)一例外都是比例系數(shù)，即線性特性，將同本文第6節(jié)如此這般，皆能按機(jī)械原理探討指南車的特征公式與控制特性那樣，推得行補(bǔ)償作用的指南車角速度特征式(21)，以及行尺寸規(guī)范的指南車幾何特征式(10)，因此，本文所創(chuàng)建的控制理論其數(shù)學(xué)模型都通用。有著比例特性的傳動(dòng)比數(shù)學(xué)模式，這項(xiàng)機(jī)械特性注定了將差動(dòng)機(jī)構(gòu)當(dāng)二輸入一輸出應(yīng)用時(shí)，若以機(jī)械設(shè)計(jì)方法計(jì)算出其輸出角速度為兩輸入角速度的函數(shù)關(guān)系式，再加上符合指南車指向要求而配套的傳遞裝置，那么可以確定，該項(xiàng)一輸出二輸入函數(shù)關(guān)系式，必然是形如式(21)那樣由本文所創(chuàng)建的指南車控制理論中控制通道相關(guān)左右側(cè)校正因子與補(bǔ)償因子所組成，因此，任何差動(dòng)機(jī)構(gòu)乃充當(dāng)了如圖3指南車開環(huán)前饋控制系統(tǒng)中控制通道的比例控制器。

本文為研究指南車控制理論建立的系統(tǒng)方框圖表明，其乃屬按擾動(dòng)補(bǔ)償原理工作的開環(huán)前饋控制自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，又由于指南車角速度特征公式(21)是線性組合的函數(shù)，而且指南車幾何特征公式(10)只涉及比值，這些線性特征顯然可以推廣至所有線性構(gòu)件建成的指南車設(shè)計(jì)方案，因其轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)傳動(dòng)特性之?dāng)?shù)學(xué)模式的角速度比例值會(huì)是個(gè)常數(shù)，而從車輪與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)之間配套的傳遞裝置的角速度比例值也會(huì)是個(gè)常數(shù)，進(jìn)而可藉由機(jī)械觀點(diǎn)推算出如同式(21)與式(10)的數(shù)學(xué)模式，當(dāng)然數(shù)學(xué)模式本身會(huì)說(shuō)話，說(shuō)明了角速度特征公式正是能讓指向器具有補(bǔ)償作用的機(jī)制描述，而幾何特征公式則保證了該作用能起到完全補(bǔ)償，且這些公式里的比例因子皆屬于指南車控制理論中控制通道的各種環(huán)節(jié)，顯然控制通道也是同屬于指南車的專有特性，只是與機(jī)械觀點(diǎn)有著不同觀察側(cè)面罷了，這兩者雖有著一體兩面的面向之別，本身特性卻是不變的。又為了進(jìn)一步檢驗(yàn)此項(xiàng)推廣立論的正確性，本文已于第8節(jié)中針對(duì)一輛完全不使用齒輪設(shè)計(jì)的宋力斌斜面頂推式指南車進(jìn)行推算，并依指南車控制理論推算出該款指南車的角速度特征式(30)與幾何特征式(31)。由于完全不使用齒輪，若改用機(jī)械原理計(jì)算會(huì)不容易看出全貌。

本文研究指南車內(nèi)在運(yùn)作機(jī)理的規(guī)律，至于其外在的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是在文獻(xiàn)[10]中進(jìn)行探討，并于該文獻(xiàn)關(guān)于指南車運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的研究中，已用數(shù)學(xué)嚴(yán)格證明了角速度特征公式直接掌控著指向器與兩側(cè)輪之間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，無(wú)論指南車行駛在曲面或平面都成立，反觀在設(shè)計(jì)上要求補(bǔ)償作用的經(jīng)驗(yàn)式(2)，該文獻(xiàn)也證明了該公式只在平面上行得通，它是曲面廣義運(yùn)動(dòng)方程[10]跟隨作用面退化成平面之后自然衍生而導(dǎo)出的結(jié)果，顯然經(jīng)驗(yàn)式(2)與指南車內(nèi)部運(yùn)作機(jī)理完全無(wú)關(guān)，因?yàn)槿绻耸绞侵改宪嚨膬?nèi)部機(jī)制，應(yīng)不受外在行駛于曲面的差別影響，然而該式一旦推廣行駛在曲面上就行不通了，這充分揭露了式(2)并不是指南車內(nèi)部運(yùn)作機(jī)理所行的補(bǔ)償作用，也證實(shí)了正如10.1節(jié)里所分析的那樣，它只是車架轉(zhuǎn)彎角速度與指向器旋轉(zhuǎn)角速度兩股相對(duì)運(yùn)動(dòng)相疊加為零的平面空間巧合現(xiàn)象(曲面就不成立)，顯然在理論上并不能用該經(jīng)驗(yàn)公式推論說(shuō)指南車擁有反饋機(jī)制。

愛因斯坦曾說(shuō)過(guò)：不論有多少實(shí)驗(yàn)都無(wú)法證明我的理論，但只要有一項(xiàng)反例實(shí)驗(yàn)就可以推翻它！。此前方方面面推導(dǎo)皆指明指南車并無(wú)反饋回路，但如果有人還不接受此立論的話，那么，這里先假設(shè)指南車擁有反饋控制作用，現(xiàn)在來(lái)檢驗(yàn)這項(xiàng)立論是否成立。這里舉個(gè)反例實(shí)驗(yàn)就行了，首先以左視指南車車頭之左側(cè)車輪的順時(shí)旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎蚧鶞?zhǔn)，只需要在實(shí)際運(yùn)作上，令輪子一側(cè)停住不轉(zhuǎn)動(dòng)并且讓另一側(cè)車輪原地持續(xù)正轉(zhuǎn)打滑，由定性分析可發(fā)現(xiàn)，有一側(cè)輪會(huì)與指向器之間的傳動(dòng)，猶如齒輪對(duì)般是反向旋轉(zhuǎn)的；在車子不動(dòng)情況下，如兩側(cè)輪彼此交換操作情境，則另一側(cè)輪與指向器的傳動(dòng)，就如同在齒輪對(duì)中間插入惰輪般成了同向旋轉(zhuǎn)。前者操作輪乃本文控制理論所描述的右輪，而后者操作輪則會(huì)是本文描述的左輪，其中，由于右輪與指向器雙方呈反向旋轉(zhuǎn)，所以右輪轉(zhuǎn)速在角速度特征式(21)中必須以“-”號(hào)呈現(xiàn)，這就是該公式中會(huì)有負(fù)號(hào)的由來(lái)，與反饋回路完全無(wú)關(guān)。上述兩種操作情境如采定量分析，那么，指向器會(huì)如第4節(jié)控制理論里面進(jìn)行單輪獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)的計(jì)算法則所描述的那樣。這里總結(jié)一下前述思想實(shí)驗(yàn)，一方面，只能看到指向器會(huì)隨著車輪持續(xù)打滑而轉(zhuǎn)動(dòng)，且車架絲毫不受影響，假如指南車擁有反饋控制回路的話，就應(yīng)該會(huì)對(duì)該項(xiàng)系統(tǒng)外在干擾啟動(dòng)反饋機(jī)制，顯然實(shí)驗(yàn)沒(méi)能觀察到這項(xiàng)相應(yīng)的反饋動(dòng)作；另一方面，如以整體運(yùn)作來(lái)看，指南車乃屬二進(jìn)一出系統(tǒng)，由于第4節(jié)已證實(shí)其內(nèi)部運(yùn)作具有疊加原理特性，這說(shuō)明二個(gè)輸入干擾源在控制過(guò)程中并不會(huì)互相傳遞信息，而且系統(tǒng)響應(yīng)也沒(méi)有反饋回路。這項(xiàng)實(shí)際操作的反例實(shí)驗(yàn)，已充分證實(shí)指南車根本沒(méi)有反饋控制回路。至此，可以毫無(wú)懸念地說(shuō)，指南車并不存在所謂的負(fù)回饋機(jī)構(gòu)[19,20]、反饋回路閉循環(huán)控制[3,23]、homoeostatic machine[5]等諸多令人混淆的觀點(diǎn)。