應發(fā)寶

(北京市中關村中學，北京 100086)

1 問題的提出

2019年北京高考中一道有關“空氣阻力”題在老師們之間引起了一場不小的爭論。討論的焦點聚焦在模型的建構及應用條件上。

真題：雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關。雨滴間無相互作用且雨滴質量不變，重力加速度為g。

(1) 質量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時速度為u，求這一過程中克服空氣阻力所做的功W。

(2) 將雨滴看作半徑為r的球體，設其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數(shù)。

a． 設雨滴的密度為ρ，推導雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關系式；

b． 示意圖(圖1)中畫出了半徑為r1、r2(r1>r2)的雨滴在空氣中無初速下落的v-t圖線，其中________對應半徑為r1的雨滴(選填①②)；若不計空氣阻力，請在圖中畫出雨滴無初速下落的v-t圖線。

圖1 不同半徑雨滴無初速下落的v-t圖

(3)由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡化為垂直于運動方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時受到的空氣阻力f∝v2(提示：設單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為n，空氣分子質量為m0)。

2 理想氣體模型

一般的落體運動速率遠低于空氣分子的平均速率。如圖2所示，設圓盤下落方向為x正方向，這時圓盤下表面與沿-x方向運動的氣體分子發(fā)生碰撞，物體上表面與沿+x方向運動的氣體分子發(fā)生碰撞。當物體以速率v，沿+x方向運動時，可以認為，氣體分子與物體兩端面的碰撞是完全彈性的。

圖2 圓盤下落與空氣分子碰撞

設單個氣體分子的質量為m，氣體分子數(shù)密度為n，并考慮沿+x方向和沿-x方向運動的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的1/6。

因此物體所受阻力為

(1) 不考慮氣體分子間的相互碰撞(稀薄理想氣體)及其自身重力；

(2) 不考慮空氣分子的速度分布，分子沿空間各方向運動的分子數(shù)目相等；

(3) 分子與運動物體的碰撞是完全彈性碰撞，其運動遵守牛頓運動定律；

(4) 不考慮運動物體表面的摩擦及其尾部的渦流。

因此其計算結果與實際情況還是有差距的，如當物體運動接近于聲速時，是不能用簡單的函數(shù)確定f與v的關系的，只能用圖解法或近似法求得。盡管如此，以上計算結果還是具有一定的指導意義。

3 密集粒子流模型

對于一個真實的物理情景，我們可以從不同的角度建立模型。但是所建立的模型是否能解釋這一現(xiàn)象，需要從實驗的角度來加以驗證，但相對繁雜。若要判斷所運用的阻力模型是否簡單適用，只要比較生活中已有的客觀事實和模型預言結果的一致性即可。因此，我們首先要了解真實的空氣分子是如何分布的客觀事實，然后再建立可行性模型去解決問題，而不是亂套模型。

圖3 同種氣體分子碰撞

3.1 動能定理

3.2 動量定理

設空氣分子與圓盤碰撞前后相對速度大小不變。在Δt時間內(nèi)，與圓盤碰撞的空氣分子質量為Δm=SvΔtnm0，以F表示圓盤對氣體分子的作用力，以Δm為研究對象，運用動量定理FΔt∝Δm·v，得F∝nm0Sv2，即圓盤所受空氣阻力f∝nm0Sv2。

結論2：基于實際分子自由程視角的宏觀靜止密集粒子流模型可以在不計分子熱運動條件下推導出下落雨滴所受空氣阻力大小f∝v2。因此，題干“由于大量分子在各方向運動的幾率相等”確為多余條件。

4 結語

模型構建是抽象思維和形象思維相結合、統(tǒng)一的結果，是在以科學知識和實驗事實為依據(jù)，經(jīng)過一系列科學方法(如分析與綜合、抽象與概括、演繹與推理等)邏輯推理認證的基礎上建立的，是知識與思維的產(chǎn)物。只有熟悉模型建構過程，才會知道模型的蘊涵；只有重視模型的深度理解才會深化概念規(guī)律的內(nèi)涵。