吳明錄, 丁明才

(中國石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院,山東青島 266580)

頁巖氣儲層多有裂縫發(fā)育,早期的研究通?；谶B續(xù)性介質(zhì)假設(shè)[1],Laubach等[2]認為儲層中的裂縫應(yīng)該是離散的、不規(guī)則的、經(jīng)常成簇出現(xiàn)的,并提出了離散裂縫網(wǎng)絡(luò)(DFN)[3-5]的概念,但他們所提出的采用隨機建模生成裂縫的方法具有極大的不確定性。Darcel等[6]、Davy等[7]、Kim等[8]提出了一種應(yīng)用分形理論隨機生成離散裂縫網(wǎng)絡(luò)的方法,采用這種方法生成的裂縫稱為分形離散裂縫模型(FDFN),研究表明分形離散裂縫模型更加接近裂縫性油藏的實際情況,而且分形參數(shù)對裂縫的整體分布具有很好的控制作用,但并未對分形裂離散裂縫模型的動態(tài)特征進行研究。吳明錄等[9]將分形離散裂縫模型與試井解釋相結(jié)合,提出了分形離散裂縫數(shù)值試井模型,研究了其不穩(wěn)定壓力響應(yīng)特征,研究發(fā)現(xiàn)分形參數(shù)能夠很好地控制試井曲線的形態(tài),研究結(jié)果為分形離散裂縫模型應(yīng)用于裂縫性油藏建模和生產(chǎn)動態(tài)分析具有重要意義,但該項研究只針對普通砂巖油藏垂直井情形。頁巖氣藏滲流機制復(fù)雜,而且通常采用水平井多級壓裂的方式進行開采。目前的頁巖氣藏壓裂水平井試井理論,以采用點源解、線源解和格林函數(shù)等方法進行解析求解的方法為主[10-13],該方法在建立模型過程常常忽略頁巖氣藏儲層的各向異性、非均質(zhì)性以及復(fù)雜流動機制。以離散裂縫模型為基礎(chǔ)的數(shù)值試井方法[14-18]由于求解壓裂水平井壓力動態(tài)時需要根據(jù)裂縫分布劃分大量非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格,計算量大,大大影響了現(xiàn)場實際應(yīng)用。筆者考慮頁巖氣吸附解吸、黏性流、基質(zhì)與裂縫間的竄流等流動機制,將分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于頁巖氣藏多級壓裂水平井,建立數(shù)值試井模型,并采用嵌入式離散裂縫方法進行求解,研究水平井的擬壓力響應(yīng)特征及分形參數(shù)對其影響規(guī)律。

1 分形離散裂縫隨機建模方法

目前,分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)建模的方法主要有兩種:第一種采用隨機建模方法以裂縫中心分布為基礎(chǔ);第二種采用隨機建模方法以裂縫長度分布為基礎(chǔ)[6]。前者具有諸多優(yōu)點:首先裂縫中心分布易于隨機模擬生成;其次在得到裂縫中心分布的情況下,依據(jù)裂縫長度分布、裂縫方向特征便于得到裂縫的總體分布。因此本文中采用基于裂縫中心分布的建模方法。基于裂縫中心分布的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型的建模過程可以參照參考文獻[6]和[9]。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 基本假設(shè)

假設(shè):①儲層均質(zhì)、水平、等厚,且基質(zhì)滲透率各向同性;②儲層中的氣體流動符合達西定律;③儲層中的裂縫是分形離散的,且所有裂縫垂直貫穿整個儲層;④自由氣儲存在裂縫和基質(zhì)孔隙中,吸附氣吸附滿足Langmuir等溫吸附定律;⑤忽略重力和毛管力,開井生產(chǎn)前儲層各處壓力相等,均為原始地層壓力;⑥水平井為射孔完井,天然氣只由人工裂縫進入井筒,定產(chǎn)量生產(chǎn)。

2.2 基質(zhì)系統(tǒng)滲流數(shù)學(xué)模型

考慮頁巖基質(zhì)顆粒表面吸附解吸,基質(zhì)系統(tǒng)滲流控制方程為

(1)

其中

式中,ρs為巖石密度,g/cm3;VL為Langmuir吸附體積,cm3/g;p為壓力,10-1MPa;pL為Langmuir吸附壓力,10-1MPa;Vstd為標準狀況(0 ℃,0.1 MPa)下天然氣的摩爾體積,cm3/mol;Zg為氣體壓縮因子;μg為氣體黏度,mPa·s;φm為基質(zhì)孔隙度;Cg為氣體壓縮系數(shù),cm3/(10-1MPa);ρmg為基質(zhì)中頁巖氣的密度,g/cm3;Mg為天然氣摩爾質(zhì)量,g/mol;R為熱力學(xué)常數(shù),R=8.314 J/(mol·K);T為儲層溫度,K。

定義擬壓力為

(2)

將擬壓力帶入式(1),可得到基質(zhì)系統(tǒng)滲流控制方程的擬壓力形式為

(3)

其中

初始條件為

ψfi=ψhi=ψmi.

(4)

封閉外邊界為

(5)

式中,Γ為外邊界;n為邊界Γ1的外法向方向的單位向量。

2.3 人工裂縫滲流數(shù)學(xué)模型

裂縫中滲流控制方程為

(6)

其中

將擬壓力代入式(6),得到裂縫系統(tǒng)滲流控制方程的擬壓力形式為

(7)

其中

γh=βφmCgμg.

將裂縫嵌入到基質(zhì)系統(tǒng)中,裂縫與基質(zhì)網(wǎng)格單元間竄流量的表達式為

qm-h=Tm-hβ(ψm-ψh).

(8)

式中,Tm-h為基質(zhì)與人工裂縫間的竄流系數(shù)[9]。

根據(jù)假設(shè),天然氣只通過人工裂縫進入井筒,每條人工裂縫流入井筒的天然氣量為

qh-w=IWβμg(ψh-ψw).

(9)

式中,IW為人工裂縫到井筒的井指數(shù)[20]。

當水平井定產(chǎn)量生產(chǎn)時,總產(chǎn)量為井筒中壓縮流體膨脹量和由人工裂縫流向井筒的流量的總和,有

(10)

式中,C為井筒儲存系數(shù),cm3/(10-1MPa)。

3 數(shù)學(xué)模型的求解與驗證

3.1 模型的求解

應(yīng)用嵌入式離散裂縫方法對以上模型進行求解。根據(jù)Shakiba[19]的研究,在將離散裂縫嵌入到基質(zhì)中時,網(wǎng)格m與網(wǎng)格n之間的流動系數(shù)計算式為

(11)

式中,Tm-f和Tn-f為基質(zhì)網(wǎng)格m、n與所嵌入的裂縫之間的流動系數(shù),可由基質(zhì)與裂縫的滲透率計算得到。

3.2 一致性驗證

為驗證裂縫參數(shù)對解的一致性,取相同的分形參數(shù):裂縫中心維數(shù)Dc=1.8,裂縫主發(fā)育方向θ0=π/4,Fisher常數(shù)K=25,裂縫密度α=2.5,裂縫長度維數(shù)Dl=1.3。通過隨機模擬生成4個分形離散裂縫模型,如圖1所示。模擬區(qū)域為1 600 m×1 600 m,水平井長度為1 000 m,等間隔分6段壓裂,每段裂縫半長為200 m。求解該模型,得到水平井擬壓力響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖1 分形離散裂縫模型Fig.1 Fractal discrete fracture models

圖2 不同裂縫網(wǎng)絡(luò)模型的擬壓力響應(yīng)曲線Fig.2 Pseudo-pressure response curves for different fractal discrete fracture models

由圖2可見,在相同的分形參數(shù)條件下,水平井的擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線基本重合,但由于這4個模型由隨機建模生成,具有一定的差異性(圖1),水平井在生產(chǎn)過程中形成的壓降漏斗不盡相同,因此其試井曲線也存在細微差別。正如彈性儲容比、竄流系數(shù)等參數(shù)能夠控制連續(xù)雙重孔隙介質(zhì)模型中試井曲線的形態(tài)一樣,通過對以上4個模型的計算表明,雖然局部裂縫分布各不相同,但只要總體分形參數(shù)相同,則由不同的離散裂縫模型得到的壓力響應(yīng)曲線基本相同,也就是說分形參數(shù)對壓力響應(yīng)曲線的形態(tài)具有較好的控制作用。

4 試井曲線特征及參數(shù)敏感性

基本參數(shù)為θ0=π/4、K=25、α=2.5、Dl=1.3、Dc=1.8。

4.1 試井曲線特征

假設(shè)6條人工裂縫,且沿水平井筒呈對稱分布(圖1),得到該模型的擬壓力響應(yīng)曲線如圖3所示。

由圖3可見,水平井的壓力響應(yīng)包括6個階段:①為井筒儲存階段,壓力及其導(dǎo)數(shù)為斜率為1的直線;②為早期(第一)過渡流動階段;③為線性流階段,天然裂縫間的頁巖氣通過基質(zhì)線性流流向人工裂縫,壓力和壓力導(dǎo)數(shù)均為斜率為0.5的直線;④為中期(第二)過渡流階段;在流動階段⑤,人工裂縫周圍基質(zhì)中的流體開始沿著天然裂縫向人工裂縫流動,并通過人工裂縫流向水平井。由于非均勻分布的天然裂縫對滲流場造成的影響,流線和等勢線受裂縫分布影響較大,該階段不是嚴格的徑向流(流線指向半徑方向,等勢線為近似同心圓),因此壓力導(dǎo)數(shù)曲線也不是水平線;⑥為邊界反映階段,反映外邊界對壓力響應(yīng)的影響,當外邊界封閉時,壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線為斜率為1的直線。

圖3 分形離散裂縫頁巖氣藏多段壓裂水平井的壓力響應(yīng)曲線Fig.3 Pseudo-pressure response curves for multiple fractured horizontal well in fractal discrete fracture shale gas reservoir

4.2 參數(shù)敏感性

4.2.1 裂縫密度α

依次取α=0.5、2.5、4.5,分別建立離散裂縫網(wǎng)絡(luò)多段壓裂水平井模型,如圖4所示。采用本文中方法對數(shù)學(xué)模型進行求解,得到水平井的試井曲線如圖5所示。

由圖4可見,裂縫密度α主要影響裂縫的數(shù)目,α越大,裂縫數(shù)目越多。由圖5可見,裂縫密度α主要影響流動階段⑤,α越大,壓力導(dǎo)數(shù)曲線的“下凹”越深。在本文中,基質(zhì)除了作為儲容空間外,還具有一定的導(dǎo)流能力(在經(jīng)典的Warren-Root雙重孔隙介質(zhì)模型中,基質(zhì)主要視為流體的儲容空間,通常不考慮其內(nèi)部的滲流)。而且在裂縫較少時,基質(zhì)仍然是主要的滲流介質(zhì),而裂縫作為連通基質(zhì)的高導(dǎo)流通道;當裂縫較多時,裂縫才成為主要的滲流介質(zhì)。因此α越大,裂縫數(shù)目越多時,裂縫所占的總系統(tǒng)的彈性孔隙體積越大,雙重介質(zhì)的特征也就越明顯,表現(xiàn)在試井曲線上,即是壓力導(dǎo)數(shù)曲線中期段“下凹”越深。

圖4 不同裂縫密度的分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型Fig.4 Fractal discrete fracture network models with different fracture dimension density

圖5 裂縫密度對擬壓力響應(yīng)曲線的影響Fig.5 Effect of fracture distribution density on pseudo-pressure response curves

4.2.2 裂縫分形維數(shù)Dc和Dl

由式(1)可見,一定長度范圍內(nèi)的裂縫數(shù)目與α、Dc、Dl有關(guān):α和Dc越大,Dl越小,裂縫數(shù)目越多。因此Dc與α對試井曲線的影響規(guī)律大致相同;Dl與α對試井曲線的影響規(guī)律大致相反(圖5、6)。

4.2.3 裂縫主發(fā)育方向θ0

依次取θ0=0、π/4、π/2,分別建立離散裂縫網(wǎng)絡(luò)多段壓裂水平井模型,如圖7所示。采用本文中方法對數(shù)學(xué)模型進行求解,得到水平井的試井曲線如圖8所示。

由圖8可見,裂縫主發(fā)育方向θ0對流動階段⑤ 和⑥ 均有一定程度的影響。在階段⑤ 之前,流體以垂直于人工裂縫方向(沿X方向)的流動為主,當θ0=0時,由于裂縫的溝通作用儲層在水平方向上的滲透性最強,其對應(yīng)的壓力導(dǎo)數(shù)曲線最低;而在邊界流階段(⑥),流體以垂直于水平井的流動(沿Y方向)為主,當θ0=π/2時,儲層在垂直方向上的滲透性最強,其對應(yīng)的壓力導(dǎo)數(shù)曲線最低。

圖7 不同地應(yīng)力主方向的分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)Fig.7 Fractal discrete fracture network with different formation principal stress direction

圖8 裂縫主發(fā)育方向?qū)M壓力響應(yīng)曲線的影響Fig.8 Effect of formation principal stress direction on pseudo-pressure response curves

4.2.4Fisher常數(shù)K

Fisher常數(shù)主要用于描述裂縫方向與裂縫發(fā)育主方向的偏離程度,K越大,裂縫總體發(fā)育方向的一致性越強。依次取K=5、15、45,分別建立離散裂縫網(wǎng)絡(luò)多段壓裂水平井模型,如圖9所示。采用本文中方法對數(shù)學(xué)模型進行求解,得到水平井的試井曲線如圖10所示。

由圖10可見,Fisher常數(shù)K主要影響邊界流階段(⑥),且K越大,壓力導(dǎo)數(shù)曲線的晚期段越高。這是因為K越大,裂縫總體發(fā)育方向一致性越強(圖9(c)),這是裂縫的溝通作用使有效滲流面積變小的緣故。

圖9 不同F(xiàn)isher常數(shù)的分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型Fig.9 Fractal discrete fracture network models with different Fisher constant

圖10 Fisher常數(shù)對擬壓力響應(yīng)曲線的影響Fig.10 Effect of Fisher constant on pseudo-pressure response curves

4.2.5 Langmuir吸附體積VL和吸附壓力pL

依次取VL為0.006 4、0.022 4、0.038 4 m3/kg(pL=1 MPa)及pL為1、3、10 MPa(VL=0.006 4 m3/kg)對數(shù)學(xué)模型進行求解,得到水平井的試井曲線,結(jié)果如圖11所示。

VL和pL反映基質(zhì)顆粒表面對頁巖氣的吸附解吸能力。VL越大,給定溫度條件下單位質(zhì)量基質(zhì)飽和時,吸附的頁巖氣體積越大;pL越大,水平井生產(chǎn)過程中地層壓力降低時,頁巖氣從基質(zhì)顆粒表面解吸擴散到基質(zhì)孔隙中的時間越早。由圖11可見,VL和pL主要影響階段⑤之后的擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線。VL和pL越大,單位質(zhì)量基質(zhì)顆粒表面吸附的頁巖氣體積越多,當壓力降低到吸附壓力以下時,就會有越多的吸附氣從基質(zhì)顆粒表面解吸擴散到基質(zhì)孔隙中,緩解水平井的壓力降落,因此擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線越低。

圖11 Langmuir吸附體積和吸附壓力對擬壓力響應(yīng)曲線的影響Fig.11 Effect of Langmuir adsorption volume and adsorption pressure on pseudo-pressure response curves

5 應(yīng)用實例

為了驗證本文中模型的可行性,用Ecrin軟件模擬了雙重孔隙介質(zhì)氣藏中一口多級壓裂水平井的擬壓力數(shù)據(jù),主要參數(shù):裂縫系統(tǒng)的平均滲透率為15×10-3μm2,氣藏的彈性儲容比為8×10-4,竄流系數(shù)為2×10-6;水平井長度為1 200 m;人工裂縫5條等間距壓裂,裂縫半長為75 m。應(yīng)用本文中方法計算得到水平井的擬壓力動態(tài),將其與以上模擬曲線進行擬合解釋(圖12),得到氣藏的分形參數(shù)為:α=2.65,Dc=1.64,Dl=1.12,θ0=36.5 °,K=14.25。由圖12可見,由本文中方法得到的理論曲線除早期受網(wǎng)格效應(yīng)影響導(dǎo)致擬壓力導(dǎo)數(shù)擬合較差外,總體與模擬曲線變化規(guī)律一致,整體擬合效果較好,證明本文模型應(yīng)用于現(xiàn)場具有可行性。

圖12 本文中方法與Ecrin模擬曲線擬合對比Fig.12 Comparison of proposed method with Ecrin software

6 結(jié) 論

(1)分形參數(shù)可較好地控制水平井的試井曲線形態(tài),證明本文中模型對離散裂縫性頁巖氣藏試井解釋具有一定的適用性。

(2)裂縫密度和裂縫分形維數(shù)主要通過影響裂縫總數(shù)目對試井曲線產(chǎn)生影響,裂縫密度越大、中心維數(shù)越大(或長度分布維數(shù)越小),裂縫總數(shù)目越大,裂縫的溝通作用越明顯,壓力導(dǎo)數(shù)曲線中期段“下凹”越深,雙重介質(zhì)的特征也就越明顯。

(3)Fisher常數(shù)K主要影響邊界流階段,其值越大,壓力導(dǎo)數(shù)曲線的晚期段越高。裂縫主發(fā)育方向θ0對邊界流和之前的流動階段均有一定程度的影響:在邊界流之前,流體以垂直于人工裂縫方向的流動為主,當離散裂縫方向與人工裂縫垂直(θ0=0)時,壓力導(dǎo)數(shù)曲線最低;在邊界流階段,流體以垂直于水平井的流動為主,當離散裂縫方向與水平井垂直(θ0=π/2)時,壓力導(dǎo)數(shù)曲線最低。

(4)Langmuir吸附體積和吸附壓力越大,基質(zhì)顆粒表面對頁巖氣的吸附能力越強,當壓力降低到吸附壓力以下時,就會有越多的吸附氣解吸擴散到基質(zhì)孔隙中,壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線越低。