趙 敏，王敬敬，楊志耀，郭宇燕，卓澤朋①

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

1961年Golay［1]首次提出互補(bǔ)序列的概念，并將互補(bǔ)序列應(yīng)用在工程中. 之后，諸多學(xué)者對(duì)互補(bǔ)序列進(jìn)行深入研究，使得互補(bǔ)序列對(duì)的概念得到進(jìn)一步推廣. 互補(bǔ)序列可分為周期互補(bǔ)序列和非周期互補(bǔ)序列. 互補(bǔ)序列具有理想的相關(guān)特性，在雷達(dá)、同步、通信等工程中有較為廣泛的應(yīng)用. 同時(shí)，非周期互補(bǔ)序列在通信系統(tǒng)中也有著重要應(yīng)用. 最先提出的二元互補(bǔ)序列是由2個(gè)等長的二元序列組成，并且所有異相點(diǎn)的非周期自相關(guān)函數(shù)均為零. 此類序列最先用于解決多隙紅外分光鏡的設(shè)計(jì)問題，之后在導(dǎo)航系統(tǒng)中也得到應(yīng)用，如羅蘭-C導(dǎo)航系統(tǒng)采用的信號(hào)形式就是一種二元互補(bǔ)序列.

文獻(xiàn)［1-2]表明，互補(bǔ)序列長度N必須滿足：（1）N=2a10b26c，其中a，b，c是非負(fù)整數(shù)，N必須是2個(gè)整數(shù)的平方和；N一定不包含素因子P=3(mod 4).（2）由N長互補(bǔ)序列構(gòu)造2N長互補(bǔ)序列的構(gòu)造方法.（3）由N長互補(bǔ)序列和M長互補(bǔ)序列構(gòu)造2NM長互補(bǔ)序列的構(gòu)造方法.（4）由N長互補(bǔ)序列和M長互補(bǔ)序列構(gòu)造NM長互補(bǔ)序列的構(gòu)造方法. 近些年，研究表明，交織技術(shù)在信道編碼上有一定的作用［3]，在信道存在突發(fā)差錯(cuò)干擾時(shí)，交織技術(shù)可顯著提高信道編碼的性能，使誤碼率降低1～2個(gè)數(shù)量級(jí). 文獻(xiàn)［4-6]對(duì)交織技術(shù)在ZCZ序列（Zero Correlation Zone，零相關(guān)區(qū)序列）集合的構(gòu)造發(fā)揮著極其重要的作用，運(yùn)用交織技術(shù)提出一類新型的接近最優(yōu)零相關(guān)區(qū)序列集的構(gòu)造方法. Tang等［7-11]在序列編碼領(lǐng)域做出基礎(chǔ)系統(tǒng)性工作，尤其是唐小虎開創(chuàng)零相關(guān)區(qū)序列新領(lǐng)域，給出周期為N≡2(mod 4)并且具有最佳自相關(guān)值的平衡四元序列的構(gòu)造，以及周期為N≡0(mod 4)并且具有最佳自相關(guān)值的幾乎平衡二元序列的構(gòu)造，從而產(chǎn)生更多具有最佳自相關(guān)值的序列. Ke［12]構(gòu)造一類新的具有最優(yōu)自相關(guān)值周期為4N的二元序列，并且導(dǎo)出一個(gè)新的幾乎差集. 文獻(xiàn)［13]給出幾個(gè)新的具有最優(yōu)三級(jí)自相關(guān)的周期為N的二元序列族. 文獻(xiàn)［14]通過交織4個(gè)合適的Ding-Helleseth-Lam 序列，構(gòu)造周期為4p的二元序列，這種構(gòu)造產(chǎn)生新的具有最優(yōu)自相關(guān)值的二進(jìn)制序列，在以往的研究中是不能產(chǎn)生這種序列的. 文獻(xiàn)［15]利用四元正交序列集來構(gòu)造四元非周期互補(bǔ)序列集. 另外給出2類基于二元正交矩陣的四元正交序列集的構(gòu)造方法，得到的四元正交序列集可以用于構(gòu)造四元零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集.

本文基于已有的互補(bǔ)序列，對(duì)二元互補(bǔ)序列進(jìn)行研究. 利用周期為N的二元序列，通過交織運(yùn)算構(gòu)造出周期為2N和4N的二元序列. 互補(bǔ)序列對(duì)的自相關(guān)系數(shù)之和能夠得到由N長互補(bǔ)序列構(gòu)造出長為2r×N的互補(bǔ)序列.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1]設(shè)a和b為2 個(gè)周期為N的序列，有則稱序列u為序列a和b的交織序列，其中I(a,b)表示向量a和b的交織運(yùn)算.

定義2［1]設(shè)a=(a0,a1,…,aN-1)是周期為N的序列，A={a0,a1,…,aM-1}是M個(gè)周期為N的序列的集合，對(duì)任意L(i)(a)=(ai,ai+1,…,a0,…,ai-1)，表示序列a的左循環(huán)移位運(yùn)算算子，其中ai=(ai,0,ai,1,…,ai,N-1)，0＜i ＜N，規(guī)定L(0)(a)=a.

定義3［2]設(shè)a和b是2個(gè)周期為N的序列，那么函數(shù)為序列a和b的非周期互相關(guān)函數(shù)，這里0 ≤τ ＜N. 特別地，當(dāng)a=b時(shí)，Ra,a(τ)稱為序列a的非周期自相關(guān)函數(shù)，記作Ra(τ).

引理1［5-6]設(shè)u和v是兩個(gè)交織序列，那么u和v矩陣形式表示如下：

令τ=2τ1+τ2（0 ≤τ2＜2），則序列u和v的周期互相關(guān)函數(shù)表達(dá)式如下：

（1）當(dāng)τ2=0 時(shí)，

（2）當(dāng)τ2=1時(shí)，

定義3［2]設(shè)a和b為周期為N的2個(gè)二元序列，非周期自相關(guān)函數(shù)分別為Ra(τ)和Rb(τ)，那么有

則a和b為一互補(bǔ)序列對(duì).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)是周期為N的二元序列，當(dāng)a，b是周期互補(bǔ)序列時(shí)，則序列是周期為N的非周期互補(bǔ)序列，這里元素取1和-1.

證明對(duì)序列u，v進(jìn)行交織運(yùn)算得：

由引理1，令τ=2τ1+τ2,0 ≤τ2＜2，計(jì)算u和v自相關(guān)值，有

（1）當(dāng)τ2=0 時(shí)，

故Ru(τ)+Rv(τ)=0.

（2）當(dāng)τ2=1時(shí)，有

所以

所以u(píng)，v為非周期互補(bǔ)序列.

定理2設(shè)是周期為N的二元序列，當(dāng)a，b是周期互補(bǔ)序列時(shí)，則序列是非周期互補(bǔ)序列，這里元素取1和-1.

證明由定理1可知是周期互補(bǔ)序列，令

由交織運(yùn)算有

令τ=4τ1+τ2(0 ≤τ2＜3)，

（1）當(dāng)τ2=0 時(shí)，有

得Rs(τ)+Rt(τ)=0.

（2）當(dāng)τ2=1時(shí)，有

得Rs(τ)+Rt(τ)=0.

（3）當(dāng)τ2=2 時(shí)，有

得Rs(τ)+Rt(τ)=0.

（4）當(dāng)τ2=3 時(shí)

得Rs(τ)+Rt(τ)=0. 因此s和t是非周期互補(bǔ)序列.

通過定理1 和定理2，可以由長為N的互補(bǔ)序列構(gòu)造出長為2r×N的互補(bǔ)序列，其中r為任意正整數(shù).

3 結(jié)論

本文基于已有的互補(bǔ)序列，對(duì)二元互補(bǔ)序列進(jìn)行研究. 通過矩陣的形式，利用交織技術(shù)以及已有的非周期互補(bǔ)序列對(duì)，得到新的非周期互補(bǔ)序列對(duì). 互補(bǔ)序列對(duì)的自相關(guān)系數(shù)之和能夠得到由N長互補(bǔ)序列構(gòu)造出長為2r×N的互補(bǔ)序列. 本文提出的構(gòu)造方法，與已有的方法相比，對(duì)互補(bǔ)序列對(duì)的選取比較特殊，參數(shù)要求相對(duì)寬松，構(gòu)造過程較為簡潔，具有可實(shí)現(xiàn)性.