張志勇 羅建宇

(1.江蘇省常州市第五中學213001；江蘇省張家港市沙洲中學215600)

我們知道，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，思路清晰有章可循，但代數(shù)方法在計算過程中很難看出幾何意義，于是為尋求能夠更直接處理幾何問題的代數(shù)方法，數(shù)學家們開辟了“幾何代數(shù)”領域．張景中先生等建構的“點幾何”理論，用簡明的概念、平常的符號和代數(shù)運算的形式描述幾何對象之間的關系，不僅符合數(shù)學直觀，也能更方便地表達基本幾何事實，而且有助于幾何推理的簡捷化[1][2]．GeoGebra作為一款“專為教與學的動態(tài)數(shù)學軟件”，內嵌有計算代數(shù)系統(tǒng)和指令輸入方式，可對幾何對象進行直接代數(shù)化處理，從而實現(xiàn)“形”(幾何Geometry)與“數(shù)”(代數(shù)Algebra)的完美融合．巧合的是，GeoGebra的很多指令規(guī)則與點幾何理論完全一致，可以說GeoGebra就是點幾何理論的一個實踐場．應用點幾何理論于GeoGebra實踐中，既是對理論的支持驗證，也有助于軟件的理解把握．

1 點的線性運算

點幾何中定義了“點加點”和“數(shù)乘點”，即A+B=(xA+xB,yA+yB)、λA=(λxA,λyA)；以此為基礎，推導出兩點線性組合uA+vB=tP的意義和uA+vB=rC+sD的表示，特別地，直線上任意一點都可以表示成P=tA+(1-t)B，△ABC平面上任意點P=xA+yB+(1-x-y)C．

GeoGebra支持點的線性運算．如圖1，在指令輸入框中輸入“A+B”、“-2A”，得到D、E兩點；輸入“(A+B)/2”、“(A+B+C)/3”，得到線段AB的中點F和三角形ABC的重心G；輸入“B-A+C”，可構造平行四邊形ABHC的第四個頂點H．值得說明的是，GeoGebra有很好的幫助功能，如查看代數(shù)區(qū)中的坐標，可以發(fā)現(xiàn)D=(xA+xB,yA+yB)、E=(-2xA,-2yA)；而圖1右側的作圖過程，可查看每一個點的屬性；另外A、B、C為給定的初始點．

圖1

擴展開去，可通過語句“P=x*A+y*B+(1-x-y)*C”的輸入，來構造△ABC平面上任意一點P；而有了任意點P后，又可在運算區(qū)中通過指令“Solve(P=x*A+y*B+(1-x-y)*C)”來獲取參數(shù)x、y的值．

◆1、在繪圖區(qū)中構造三點A、B、C和三角形t1；在運算區(qū)儲存格1～4的指令域中分別輸入“λ:=0.5”、“μ:=0.4”、“D:=λ*C+(1-λ)*A”、“E:=μ*B+(1-μ)*A”，得到AB、AC上兩點D、E．

◆2、在繪圖區(qū)中構造線段BD、CE和交點F；在運算區(qū)儲存格5～7的指令域中，分別輸入“Solve(F=x*B+(1-x)*D)”、“Solve(F=x*C+(1-x)*E)”、“Solve(F=m*A+n*B+(1-m-n)*C)”．

圖2

說明：借助指令“AffineRatio()”，得到的只是系數(shù)的近似數(shù)；而在運算區(qū)應用“Solve()”求解方程時，可得到精確解．

以上實驗結果可用點幾何法證明如下(取A為原點)：

得(1-μ)D+(1-λ)μB=(1-λ)E+(1-μ)λC,

又(1-μ)+(1-λ)μ=(1-λ)+(1-μ)λ，

故而(1-μ)D+(1-λ)μB=(1-λ)E+(1-μ)λC

=(1-λμ)F,

2 點的數(shù)量積運算

圖3

例2如圖4，△ABC中，AB=AC，D是AB的中點，O是△ABC的外心，E是△ACD的重心．求證：OE⊥CD．

◆3、構造任意兩點A、B和角度滑動條α，輸入“C=e^(l*α)*(B-A)+A”得到C點；輸入“Polygon(C,A,B)”，構造等腰三角形t1；輸入(A+B)/2，得到AB邊上的中點D．

◆4、輸入“TriangleCenter(A,B,C,3)”，得到△ABC的外心O；輸入“(A+C+D)/3”，得到△ACD的重心E；輸入“(E-O)*(D-C)”，得到數(shù)量積d(如圖4，結果為0，說明OE⊥CD)．

圖4

下面給出點幾何法證明(取O為原點)：

O是△ABC的外心?A2=B2=C2，

AB=AC?(B-A)2=(C-A)2

?B·A=C·A，

E是△ACD的重心

=0.

3 點的外積運算

點幾何中將兩點A、B的外積定義為AB=B-A，并且給出了三點A、B、C外積的概念，即ABC=xAyB+xByC+xCyA-xAyC-xByA-xCyB，表示△ABC的帶號面積(A、B、C順序為逆時針時ABC>0，順時針時ABC<0)．

GeoGebra中并沒有兩點外積、三點外積的定義，但指令“Cross(,)”可用于計算兩個向量的向量積(也就是外積，可用?替代)，表示帶號面積．

◆5、構造三點A、B、C，輸入“Polygon(A,B,C)”，得到三角形t1；輸入“(A-B)?(B-C)”(或者“Cross(A-B,B-C)”，得到外積計算結果d．

說明：由圖5的計算結果發(fā)現(xiàn)，外積的計算結果為三角形面積的2倍．事實上，由外積公式(a1,a2)?(b1,b2)=a1b2-a2b1，得(A-B)?(B-C)=(xA-xB,yA-yB)?(xB-xC,yB-yC)，化簡得到(A-B)?(B-C)=xAyB+xByC+xCyA-xAyC-xByA-xCyB，這一結果與點幾何中的三點外積ABC的定義一致．也就是說，點幾何中的ABC實際上表示的是△ABC帶號面積的2倍(對應著平行四邊形的面積)．

◆6、構造滑動條t，分別輸入“t*C+(1-t)*B”、“t*A+(1-t)*C”、“t*B+(1-t)*A”，得到點D、E、F；構造線段AD、BE、CF及相應的交點P、Q、R．

圖5

以上結論用點幾何法解答如下：

取C為原點，則

D=(1-t)B,E=tA?

(1-t)D+t2A=tE+(1-t)2B=(t2-t+1)P，

又BD=tBC?D=(1-t)B+tC，

所以有(t2-t+1)P=t2A+(1-t)2B+t(1-t)C；

同理(t2-t+1)Q=t2B+(1-t)2C+t(1-t)A，

(t2-t+1)R=t2C+(1-t)2A+t(1-t)B，

將三式作外積并略去零值項，得

(t2-t+1)3PQR=t6ABC+(1-t)6BCA+

t3(1-t)3CAB+t3(1-t)3ACB+

t3(1-t)3BAC+t3(1-t)3CBA,

因為ABC=BCA=CAB=-ACB

=-BAC=-CBA，

4 點的復數(shù)乘法

點幾何中定義復數(shù)乘點為iA=i(x,y)=(-y,x)，表示將點A(x,y)逆時針旋轉90°得到點(-y,x)；進一步的，取復數(shù)α=u+vi，有αA=uA+v(iA)=(ux-vy,uy+vx)，如果用三角形式α=r(cosθ+icosθ)來表示的話，則αA的幾何意義為將點rA逆時針旋轉θ角得到點αA；進一步地，引進指數(shù)式eiθ=cosθ+isinθ，則有eiθA=(xcosθ-ysinθ,ycosθ-xsinθ)．

在取定坐標系的情況下，GeoGebra中默認代數(shù)區(qū)為一復平面，因此點與復數(shù)是一一對應的，如在指令欄鍵入復數(shù)“P=3+4i”，在繪圖區(qū)中構造點P(3,4)，同時在代數(shù)區(qū)中顯示復數(shù)“P=3+4i”．我們可以通過“屬性對話框→代數(shù)區(qū)→坐標”的設置來實現(xiàn)點與復數(shù)的轉換：將復數(shù)的坐標屬性改為“直角坐標”，則復數(shù)切換為點；反之，將點的坐標屬性改為“復數(shù)”，則點又可切換為復數(shù)(當然更改只是GeoGebra在代數(shù)區(qū)中的顯示形式，繪圖區(qū)中繪制的點實際上是不變的)．于是，點幾何中所講的復數(shù)乘點在GeoGebra中其實就是復數(shù)乘復數(shù)，但要特別注意的是，點乘點是點的數(shù)量積，不能理解為復數(shù)乘復數(shù)．

例4(拿破侖定理)如圖6，△ABC中分別以三邊為邊長同時向外作正三角形△BCD、△CAE及△ABF，其中O1、O2、O3分別是△BCD、△CAE、△ABF的重心，則△O1O2O3為正三角形．

◆8、構造三點A、B、C和三角形t1，輸入“t=e^(i*π/3)”得到復數(shù)t．

◆9、分別輸入“D=C+t*(B-C)”、“E=A+t*(C-A)”、“F=B+t*(A-B)”得到復數(shù)D、E、F，將D、E、F的坐標屬性修改為“直角坐標”得到三個點；分別輸入“Polygon(C,D,B)”、“Polygon(C,E,A)”、“Polygon(A,B,F)”得到三個正三角形t2、t3、t4．

說明：GeoGebra中復數(shù)乘點得到的是復數(shù)，需要修改坐標屬性才能得到點，當然如果將輸入指令修改為“D=ToPoint(C+t(B-C))”則可直接得到復數(shù)點D；

◆10、分別輸入“TriangleCenter(B,C,D,2)”、“TriangleCenter(C,A,E,2)”、“TriangleCenter(A,B,F,2)”，得到三個三角形的重心O1、O2、O3；輸入“Polygon(O_2,O_1,O_3)”，得到三角形t5．輸入指令“O_1+t*(O_2-O_1)”，得到的復數(shù)點與O_3重合，從而得到結論“△O1O2O3為正三角形”．

圖6

點幾何法證明如下：

要證△O1O2O3為正三角形”，

只要證O3=tO2+(1-t)O1，

又O1、O2、O3為重心，只要證

而D=tB+(1-t)C，E=tC+(1-t)A，

F=tA+(1-t)B，

故而只要證

(1+t)A+(2-t)B=t(1+t)C+t(2-t)A+(1-t2)B+(1-t)(2-t)C，

整理得

(1+t)A+(2-t)B=t(2-t)A+(1-t2)B+[(1-t)(2-t)+t(1+t)]C，

(*)

從而(*)式得證，所以△O1O2O3為正三角形．

應用復數(shù)乘點可以簡化涉及角度的幾何問題，本例當然也可采用復數(shù)恒等式方法證明．與例2相類似，有了復數(shù)恒等式，我們不但可以壓縮證明過程，還可以得到更一般的數(shù)學結論[3]．

以上，我們以GeoGebra為軟件平臺，從點的線性運算、數(shù)量積、外積和復數(shù)乘點四個層面驗證了點幾何理論的實用價值和獨特魅力．一方面，點幾何能直觀方便地表達基本幾何事實，GeoGebra可以更好的闡釋點幾何的理論構架；另一方面，以點為對象進行操作運算，點幾何理論指導下的GeoGebra構造更加快捷高效．事實上，GeoGebra的指令輸入，不僅可以對點進行運算，還可以對圓錐曲線、多邊形等幾何對象進行旋轉、放縮等操作．總而言之，點幾何理論與GeoGebra實踐的融合應用，在彰顯點幾何的教育價值的同時，為我們在基礎教育階段推行點幾何理論開辟了一條路徑．