楊紅干

[摘 要]? 運(yùn)算教學(xué)既要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也要讓學(xué)生明白抽象的法則，更需要讓學(xué)生充分體驗(yàn)由算理直觀化到算法抽象化間的過渡和演變，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)算教學(xué);思維品質(zhì)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題?！睆闹形覀儾浑y看出，運(yùn)算能力不但要會(huì)算、算正確，還包括對(duì)算理的理解從而解決問題。從運(yùn)算內(nèi)容來看，運(yùn)算能力包含數(shù)的運(yùn)算能力和符號(hào)運(yùn)算能力，在小學(xué)階段主要是針對(duì)前者的培養(yǎng)，具體而言主要體現(xiàn)在：計(jì)數(shù)能力的形成、運(yùn)算法則和公式的掌握、應(yīng)用問題的解答三個(gè)方面。從運(yùn)算過程來看，運(yùn)算能力包括運(yùn)算過程中學(xué)生呈現(xiàn)的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到問題而調(diào)整運(yùn)算的能力。所以運(yùn)算能力是每個(gè)公民必須具備的基本素養(yǎng)之一。

一、“小題大做”——梳理運(yùn)算錯(cuò)因，拓展學(xué)生思維

教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn)，許多高年級(jí)的學(xué)生，在計(jì)算上仍會(huì)犯“6×9=45”“24×5=100”“8×9÷8×9=1”這樣的低級(jí)錯(cuò)誤，而且這樣的錯(cuò)誤不斷重犯難以更改。究其原因，是學(xué)生做錯(cuò)時(shí)或許僅僅只是把答案改正確，或自認(rèn)為“粗心”所致。而沒有從根本上找出病因，鉆進(jìn)下次遇到還會(huì)做錯(cuò)的怪圈。因此我們需要發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的共性問題，而不能簡單地讓學(xué)生“一改了之”，需將一道錯(cuò)題“放大”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、反思問題。

案例1：蘇教版義務(wù)教育教科書三年級(jí)上冊“兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算”

師：剛剛那位同學(xué)說24×5=100，你們同意嗎？

生：我們算出的結(jié)果是120，所以24×5=100是錯(cuò)的。

師：誰能猜一猜結(jié)果是100的同學(xué)是怎么想的？

生：他可能把24×5看成是25×4了，25的好朋友是4，因?yàn)?5×4=100，所以我猜測他看到24×5或25×4都會(huì)寫成100，我也曾經(jīng)發(fā)生過這種錯(cuò)誤。

師：你既會(huì)總結(jié)也會(huì)反思！像這樣容易看錯(cuò)的算式在平時(shí)的學(xué)習(xí)中還有很多，你們能試著舉幾個(gè)例子嗎？（學(xué)生找出14×5和15×4、17×4與14×7……）

師：通過舉例你能發(fā)現(xiàn)他們錯(cuò)誤的原因嗎？或在以后的計(jì)算中有哪些需要提醒同伴的？

華應(yīng)龍老師說：錯(cuò)若化開，成長自來。特別是在計(jì)算教學(xué)中，常常出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。課堂教學(xué)中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己去尋找錯(cuò)誤的根源，使學(xué)生在探究中真正掌握和理解所學(xué)知識(shí)，獲取不同的發(fā)展。本案例的本質(zhì)以“24×5得多少？”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并改正計(jì)算中的錯(cuò)誤，同時(shí)借助問題鏈將學(xué)生計(jì)算習(xí)慣、思維潛意識(shí)中的問題暴露出來，從而從個(gè)例現(xiàn)象上升到共性問題，并引導(dǎo)學(xué)生從思維源頭上找到錯(cuò)誤的原因，避免此類錯(cuò)誤的再發(fā)生。本來一個(gè)很簡單的錯(cuò)題更正，在教師的引領(lǐng)和不斷追問中，實(shí)現(xiàn)了由點(diǎn)到面、由小見大、由外在形式到思維本質(zhì)上的提升?？梢?，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，適度“放大錯(cuò)誤”，錯(cuò)若化開，精彩自來！同時(shí)有利于拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生多元化的思考。

二、“融理入法”——建構(gòu)運(yùn)算體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

讓枯燥的運(yùn)算教學(xué)變得有意思，這就需要我們在運(yùn)算教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生的“數(shù)學(xué)理解”來激發(fā)他們的運(yùn)算興趣。此時(shí)可以借助直觀——溝通直觀和抽象的聯(lián)系，形成直觀模型;也可以借助生活經(jīng)驗(yàn)——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境啟發(fā)學(xué)生思考;還可以借助講故事——有趣的表達(dá)可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的獨(dú)特理解。當(dāng)然為了處理好算法直觀和算理抽象的關(guān)系，我們要引導(dǎo)學(xué)生理解算理時(shí)運(yùn)用學(xué)具操作、圖片對(duì)照等直觀的手段，比較清晰地揭示算理;同時(shí)要充分運(yùn)用學(xué)生生成的資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步抽象，觀察外在形式不一樣的背后其本質(zhì)是一樣的，還需引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較，尋找它們共同點(diǎn)，實(shí)則是算理抽象的過程，是學(xué)生抽象思維發(fā)展的過程，也是發(fā)展學(xué)生思維力不可缺失的一部分。

案例2：蘇教版義務(wù)教育教科書三年級(jí)下冊《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》

當(dāng)教師呈現(xiàn)12×13時(shí)，學(xué)生試做后展示學(xué)生算法的多樣化，選擇列乘法豎式的學(xué)生接受大家的提問。

生：為什么第一個(gè)6的下面是空著的？

生：因?yàn)檫@個(gè)地方有個(gè)隱形的0省略啦，它表示120。120表示12×10。

生：36表示什么意思？156呢？

生：36表示12×3;156表示12×3+12×10的和。

生：為什么乘法算式，最后是加法運(yùn)算呢？

生：我們可以把12×13看成一個(gè)大口袋，里面裝著13個(gè)12，后來我們把它分成了兩個(gè)小口袋，一個(gè)袋里裝著3個(gè)12，另一個(gè)口袋里裝著10個(gè)12，最后把它們合起來就用加法啊。

師：12×13這樣的算式在生活中見過嗎？

生：購物時(shí)用到，比如：一個(gè)玩具12元，我買了13個(gè)玩具，請問我應(yīng)該付多少錢？

生：學(xué)校的同學(xué)排隊(duì)做操，如果每排站12人，共有13排，求一共有多少人？

師：如果結(jié)合黑板上大家剛剛在生活中找的那些事，算式就會(huì)說話啦，我們就以：一個(gè)玩具12元，買13個(gè)玩具多少元為例，誰來說一說？

生：12×3就表示買3個(gè)玩具的價(jià)錢。12×10自然就表示買10個(gè)玩具的價(jià)錢。把3個(gè)玩具的錢和10個(gè)玩具的錢合起來就是13個(gè)玩具的錢。

生：我畫圖了（如圖3），結(jié)合圖看剛剛大家的想法就一目了然了。

心理學(xué)研究表明小學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律是直觀動(dòng)作思維——具體形象思維——抽象邏輯思維，因此學(xué)生在自主探索算法時(shí)，我們需深入到學(xué)生中去，掌握不同學(xué)生的算法，在交流匯報(bào)時(shí)可以有意識(shí)的有層次的匯報(bào)，處理好算法多樣和算法優(yōu)化的關(guān)系。學(xué)生借助圖式把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理用直觀的形式外顯出來，當(dāng)然這種圖式一定要勾——勾聯(lián)系、勾關(guān)聯(lián)。如此方可以有效地幫助學(xué)生理清算理、感知算理、內(nèi)化算理，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

三、“單位累加”——滲透運(yùn)算單位，掌握核心概念

學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，應(yīng)該讓學(xué)生在有效的活動(dòng)中，明晰核心問題，分析運(yùn)算過程，在運(yùn)算程序中感悟到算理，滲透數(shù)學(xué)思想方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成。我們說數(shù)是“數(shù)”出來的，那么“數(shù)”的是什么呢？“數(shù)”的是計(jì)數(shù)單位。認(rèn)識(shí)數(shù)位、計(jì)數(shù)單位是數(shù)的意義和運(yùn)算教學(xué)的核心目標(biāo)，而運(yùn)算教學(xué)的一個(gè)核心概念就是計(jì)數(shù)單位。數(shù)的加減法運(yùn)算是相同計(jì)數(shù)單位的累加;數(shù)的乘法是相同數(shù)的和的運(yùn)算;數(shù)的除法在某一位上，除什么呢？就是分單位的個(gè)數(shù);當(dāng)單位的個(gè)數(shù)不夠分時(shí)怎么辦？再把單位細(xì)分繼續(xù)分。

學(xué)生的素養(yǎng)不是“教”出來的，是學(xué)生“悟”出來的，傳統(tǒng)教學(xué)只重視計(jì)數(shù)單位的知識(shí)講授，使得學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)只停留在數(shù)的組成和分解之中，沒有經(jīng)歷計(jì)數(shù)單位從量變到質(zhì)變的逐步累加。無論整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)它們都是通過單位累加得到不同的數(shù)，當(dāng)然整數(shù)的十進(jìn)制是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間最長，生活體驗(yàn)最為豐富的內(nèi)容，抓住計(jì)數(shù)單位的改變這一主線，先拓展計(jì)數(shù)單位再帶領(lǐng)學(xué)生數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，最大限度地借助整數(shù)學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)，依靠計(jì)數(shù)單位——學(xué)生心中的那把“尺子”，讓學(xué)生對(duì)小學(xué)階段各個(gè)數(shù)系的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算實(shí)現(xiàn)無縫對(duì)接。

四、魔術(shù)故事——掌握運(yùn)算規(guī)律，激發(fā)學(xué)生興趣

有趣的故事，毋庸置疑可以很好地幫助兒童理解運(yùn)算的道理。神奇的魔術(shù)同樣也可以為我們的運(yùn)算課堂教學(xué)增添不一樣的色彩，傳說中的那副混亂的撲克牌可以產(chǎn)生許多有趣的運(yùn)算，而這種運(yùn)算不是枯燥單一的，它一定是你通過觀察、發(fā)現(xiàn)、推理得出算式，從而通過運(yùn)算的途徑來解決問題。

如臺(tái)灣何鳳珠老師用4個(gè)不同的小方塊（每個(gè)面上寫有不同的數(shù)字）摞起來，它可以做什么呢？可以說大小、說關(guān)系、算24點(diǎn)、說數(shù)的性質(zhì)。它還可以做什么呢？可以讀數(shù)、算數(shù)，如通過口算神奇知道2378+9667+5492+7953=25490，6881+3458+6128+6989=23456等的結(jié)果，激發(fā)學(xué)生的興趣和探究的好奇心，學(xué)生通過計(jì)算驗(yàn)證結(jié)果，師追問從中你們發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生通過探究合作發(fā)現(xiàn)要尋求個(gè)位檔相加等于18，如第一道算式個(gè)位檔8，7，3，剩下最為關(guān)鍵的第三個(gè)數(shù)5492，549成為和的中間的三個(gè)數(shù)，和的個(gè)位是8+2的個(gè)位即為0，最高位是2，第二道算式是變換關(guān)鍵數(shù)。

再如吳如浩老師的超級(jí)大魔“數(shù)”也會(huì)很好地激發(fā)學(xué)生的好奇心，成為運(yùn)算教學(xué)的一大亮點(diǎn)。一次次的數(shù)學(xué)魔術(shù)研修告訴我：心中有學(xué)生的數(shù)學(xué)魔術(shù)設(shè)計(jì)，會(huì)讓學(xué)生感覺自己來上一堂思考課，而不只是來看一場魔術(shù)表演。對(duì)于很難讓學(xué)生理解的乘法分配律的教學(xué)，我先用撲克牌來變個(gè)“聽牌術(shù)”，即通過任意洗牌然后指出其中一張牌的花色、數(shù)字，來激發(fā)學(xué)生的好奇心，以游戲之心做數(shù)學(xué)之事！然后通過講故事演情景劇的形式，展開乘法分配率在簡便計(jì)算中的教學(xué)。

案例4：蘇教版義務(wù)教育教科書四年級(jí)上冊《乘法分配律》

例如乘法分配律在簡便計(jì)算中的運(yùn)用，以103×16為例，學(xué)生經(jīng)常有以下幾種錯(cuò)誤的算法：（1）100+3×16，（2）100×3×16，（3）（100+3）×16=100×16+3，我們不難發(fā)現(xiàn)（1）、（3）兩種情況是對(duì)乘法分配律形的表征有一點(diǎn)的記憶，但對(duì)乘法分配律的運(yùn)算本質(zhì)不理解。因此在講解乘法分配律的過程中，可以采用講故事的方法來幫助學(xué)生理解和掌握。當(dāng)然故事是外衣，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)才是靈魂。以103×16為例，首先我們選一個(gè)數(shù)來“動(dòng)手術(shù)”，選誰呢？生都知道選103，它靠近整百數(shù)100。把103變?yōu)?00+3，動(dòng)完手術(shù)后要對(duì)它進(jìn)行“包扎”，否則“病人”會(huì)受到感染，所以我們要為100+3添上小括號(hào)，前提是結(jié)果相等的式子才能變換（如第2個(gè)算式是不相等的），于是得到103×16=（100+3）×16，現(xiàn)在“病人”103動(dòng)了手術(shù)要住院療養(yǎng)一段時(shí)間，吃點(diǎn)水果——香蕉補(bǔ)補(bǔ)營養(yǎng)吧，此時(shí)你腦子得有“香蕉”的畫面感，于是把100和16、3和16用弧線連起來，就得到100×16+3×16=1600+48=1648，回頭看一下還可以用幾個(gè)幾來驗(yàn)證，100個(gè)16和3個(gè)16合起來就是103個(gè)16。舉一反三后孩子們對(duì)于25×16如何簡便計(jì)算，竟然想出了“切西瓜”游戲，原來是把16變?yōu)?×4，乘號(hào)像一把刀一樣，我想這種學(xué)習(xí)的過程會(huì)讓學(xué)生記憶深刻，直擊思維更深處，感受不一樣的運(yùn)算學(xué)習(xí)。

總之，運(yùn)算教學(xué)既要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也要讓學(xué)生明白抽象的法則，更需要讓學(xué)生充分體驗(yàn)由算理直觀化到算法抽象化間的過渡和演變，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握。特級(jí)教師曹培英老師認(rèn)為：“運(yùn)算能力”是運(yùn)算技能與邏輯思維能力的一種獨(dú)特的結(jié)合;“運(yùn)算能力”不是簡單的加減乘除計(jì)算，而是觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力以及想象能力等有關(guān)的由低級(jí)到高級(jí)的綜合能力。計(jì)算能力直接反映學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。因此，我們在進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時(shí)，除了要教學(xué)相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則和意義外，還需要培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和思維品質(zhì)，進(jìn)而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]提秀雷.“神算”有秘訣[J].教育研究與評(píng)論，2016（4）.

[2]張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]范冉.神奇的骰子“透視術(shù)”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（2）.

[4]張景中.運(yùn)算的規(guī)律[J].教育視界，2019（2）.

（責(zé)任編輯：李雪虹）