金 瑩

(廣東省佛山市南海中學(xué)，528211)

一、試題剖析

在2020年1月的佛山市高二年級(jí)統(tǒng)考中,一道填空壓軸題難倒了很多考生.該題具有一定的空間解析幾何的背景,體現(xiàn)了命題者的創(chuàng)新性,深刻考查了學(xué)生的思維能力.

試題在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是正方體棱上一點(diǎn),|PB|+|PC1|=λ.

(1)若λ=4,則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為______;

(2)若滿足|PB|+|PC1|=λ的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6,則λ的取值范圍是______.

反思回顧對(duì)該題的思考,很多學(xué)生和老師都聯(lián)想到了橄欖球模型,但空間想象力不夠?qū)е潞茈y跨越障礙;也有軟件高手動(dòng)態(tài)演示了本題,但考場(chǎng)上無(wú)法借助這些先進(jìn)的信息技術(shù)輔助解題.那么,這道題能用學(xué)生更容易理解的方法去解釋嗎?

筆者研究發(fā)現(xiàn),點(diǎn)P在正方體棱上的位置確定了,則相應(yīng)的實(shí)數(shù)具有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).換句話說(shuō),可以從函數(shù)值域的角度來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解釋.現(xiàn)整理成文,與大家分享.

解先計(jì)算正方體的8個(gè)頂點(diǎn)到B、C1兩點(diǎn)的距離之和 (如圖1).

由幾何直觀,可以發(fā)現(xiàn)在每條棱上|PB|+|PC1|=λ是單調(diào)遞增的.于是

評(píng)注根據(jù)圖2,還可以得出如下結(jié)論:若滿足|PB|+|PC1|=λ的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4,

如果我們把橢圓的焦距改為體對(duì)角線BD1,可得上述試題的如下一個(gè)變式題.

變式在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是正方體棱上一點(diǎn)(不包括棱的端點(diǎn)),|PB|+|PD1|=λ.

(2)若滿足|PB|+|PD1|=λ的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6,則λ的取值范圍是______.

提示仿原式題解法,可得參考答案如下:

二、教學(xué)思考

文[1]中提到“對(duì)于理性思維的考查,突出體現(xiàn)在綜合分析問(wèn)題的過(guò)程之中,通過(guò)復(fù)雜情境的設(shè)計(jì)增強(qiáng)題目綜合性,考查學(xué)生是否能夠根據(jù)已知信息,從合理的角度思考問(wèn)題,用合理的方法解決問(wèn)題.”本題把學(xué)生熟悉的橢圓定義鑲嵌在正方體模型中,使得問(wèn)題情境復(fù)雜化，體現(xiàn)了問(wèn)題的綜合性，加強(qiáng)了理性思維的考查.第(1)問(wèn)可以靠著空間感猜出來(lái),但第(2)問(wèn)沒(méi)有正確的方法是很難碰撞出來(lái)的.這就提醒我們平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力,先從特殊位置(端點(diǎn))入手,將問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為熟悉的情境(函數(shù)值域),構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題.這實(shí)際上是對(duì)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵核心素養(yǎng)的綜合培養(yǎng)和運(yùn)用.