敬加義 黃超英 余勝藍(lán)

(四川省綿陽市開元中學(xué)，621000)

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,則稱數(shù)列{anbn}為差比數(shù)列.此類數(shù)列的前n項和,是高考和高考模擬考試中的高頻題,老師們千篇一律地教給學(xué)生的解法是“錯位相減法”.本文另辟蹊徑,給出差比數(shù)列求和的導(dǎo)數(shù)方法,不妨看作導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的另一種應(yīng)用.

一、理論探究

當(dāng)x≠1時，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式,有

①

①式兩邊分別對x求導(dǎo),可得

1+2x+…+nxn-1

②

在差比數(shù)列{an}中,設(shè)an=(λn+μ)xn+m(λ、μ、m∈R,λ≠0,n∈N*)，則有an=λnxn+m+μxn+m=λxm+1·nxn-1+μxn+m,故

兩式相加，整理可得

-(λn+λ+μ)xn+m+1

+(λn+μ)xn+m+2].

③

二、應(yīng)用舉例

利用(3)式，可迅速解決差比數(shù)列前n項求和問題.下面舉例說明.

例1(2016年山東高考題)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1.

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;

解(1)an=6n+5;bn=3n+1.(過程略)

例2(2015年湖北高考題)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.

(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)設(shè)bn=(an+1)2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

解(1)an=2n-1.(過程略)

(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n4n.

例4(2014年全國高考題)已知{an}是遞增的等差數(shù)列,a2、a4是x2-5x+6=0的根.

(1)求{an}的通項公式;

由上可見，公式③為差比數(shù)列求和提供了一種求解通法，實際解題時只需按③式推導(dǎo)過程進(jìn)行整理，可使問題獲解.下面提供一組高考題作為變式，供大家參考.

(1)證明:{rn}為等比數(shù)列;

提示(1)略

(1)求Sn;

提示(1)

變式3(2005年湖北高考題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n2,{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

(2)由(1)可知cn=(2n-1)4n-1.

(1)求c的值;

(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Sn.