郝安軍

(陜西省安康市漢濱區(qū)江北高級中學(xué)，725000)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象,就是借助幾何直觀,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題，通過建立數(shù)與形的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型.這也是培養(yǎng)一種數(shù)形結(jié)合思想,很多高考壓軸題都可以運用數(shù)形結(jié)合的思想,使解答過程更加簡潔、形象.例如，直觀深刻理解定積分的定義,利用其幾何意義,根據(jù)曲邊梯形的面積和其相關(guān)梯形或矩形的面積大小,可以巧證不等式.本文通過幾個實例,展示定積分的幾何意義在高考壓軸題中的巧妙應(yīng)用.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

解(1)略.

(2)由(1)知,f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

例2(2013年陜西高考題)已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.

(1) 若直線y=kx+1與f(x)反函數(shù)的圖象相切, 求實數(shù)k的值;

(2) 設(shè)x>0, 討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m>0) 公共點的個數(shù);

解(1)、(2) 略.

(3) 如圖2,過圖象上兩點A(a,ea)、B(b,eb)分別作x軸的垂線AD、BC,D、C為垂足,因為y=ex是下凹函數(shù),由圖可知S曲邊梯形ABCD

例3 (2014年陜西高考題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)設(shè)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表達式;

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(3)設(shè)n∈N+,比較g(1)+g(2)+…+g(n) 與n-f(n)的大小,并加以證明.

解(1)、(2)略.

評注本例更能體現(xiàn)直觀想象建立直觀模型進行證明的優(yōu)勢,這也是累和型不等式的一種證明方法.試題中代數(shù)式的和式結(jié)構(gòu)被面積化,利用定積分定義可進行相關(guān)證明.

(1)用a表示出b、c;

(2)若f(x)>lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

解(1)、(2)略.