陳六一

摘要：基于《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出的命題原則，小學數(shù)學書面測驗試題的命制需要注意以下幾點：考查核心素養(yǎng)，聚焦本質理解，融入文化元素，賦予分值多義。

關鍵詞：數(shù)學試題課程標準核心素養(yǎng)本質理解文化元素

教學評價是教學活動的重要組成部分，可以考查學生學習的成效，進而考查教師教學的成效。通過考查，可以診斷學生學習過程中的優(yōu)勢與不足，進而診斷教師教學過程中的優(yōu)勢與不足;通過診斷，可以改進學生的學習行為，進而改進教師的教學行為。

書面測驗是教學評價的重要形式，測驗試題是教學評價的重要工具。對于測驗試題的命制，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：“命題應依據(jù)學業(yè)質量標準和課程內容，注重對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能的關系……”“考查內容應圍繞數(shù)學內容主線，聚焦學生對重要數(shù)學概念、定理、方法、思想的理解和應用……融入數(shù)學文化?！薄懊}時，應有一定數(shù)量的應用問題，還應包括開放性問題和探究性問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識……評分應遵循滿意原則和加分原則，達到測試的基本要求視為滿意，有所拓展或創(chuàng)新可以根據(jù)實際情況加分?！弊鳛榛A教育領域當下最新的課程標準，其基本理念對小學數(shù)學教學無疑也有著重要的指導價值。基于上述命題原則，小學數(shù)學書面測驗試題的命制需要注意以下幾點：

一、考查核心素養(yǎng)

命題時，要依托相關的問題情境，既關注學生知識技能的掌握，更關注數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，要把對知識技能掌握的考查和對數(shù)學學科核心素養(yǎng)達成的考查結合起來。下面分別就數(shù)學建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查舉例進行說明。

例1某大學生計劃暑期勤工儉學，以掙取下學期的生活費。他看到一家餐廳招聘小時工的啟事，標注著“每天的薪資待遇=基本工資+時薪×時間”，并給出了參照表，如表1。

那么根據(jù)表格，這家餐廳每天的基本工資是元 ，時薪是元;如果工作3天，共獲得薪資285元，那就意味著平均每天工作了小時。

“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義”，數(shù)學建模素養(yǎng)便一步步清晰可見。例1便這樣考查著學生的數(shù)學建模素養(yǎng)。根據(jù)表1中每一列的數(shù)據(jù)，可以列出諸如50÷2、80÷4、110÷6等的算式，認為求得的是每小時的工作報酬，即時薪，然而，結果呈現(xiàn)出時薪是有差異的。這就逼著學生進一步厘清，50元、80元、110元等工作報酬中包含著兩種不變量：一是基本工資，二是時薪。這就需要學生從整體上觀察數(shù)據(jù)：橫著看，每增加2小時工作量，報酬增加30元，或者每增加1小時工作量，報酬增加15元。由此能夠求出時薪是15元。接著，用時薪乘工作時間，再用工作報酬減去相應結果，就可以得到基本工資，即50-2×15、80-4×15、110-6×15……同樣，不同的式子可以相互驗證。

例2圖1是經認證發(fā)布的2019年中國城市電影票房排名統(tǒng)計情況，請仔細閱讀統(tǒng)計圖，回答以下問題（可用計算器計算）：

（1）2019年，蘇州的電影票房收入比同省的南京要高，有人認為原因在于南京的電影票價比蘇州低，但小明不同意這種說法。如果你是小明，你會怎樣運用統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)說服他人？寫出必要的算式。

（2）蘇州、成都的平均電影票價大致相當，電影票房收入卻有較大的差異，你覺得原因是什么？

（3）為提升蘇州市的電影票房，請設計一句廣告詞，其中要含有數(shù)學元素，如百分數(shù)、方程等。

數(shù)據(jù)分析是當下大數(shù)據(jù)時代一種解釋世界的方法，它不像傳統(tǒng)數(shù)學那樣依賴于計算效率與算術技能。例2便是如此，盡管需要運算，卻不考查計算程序、筆算的精確度;更重要的是，計算結果不是問題解決的結論，而是數(shù)據(jù)分析的媒介。當學生列出195098.43÷5234<125261.22÷3312之類的式子時，運算在這里成了探索生活真理的方式。同時，學生在解這道題時，需要將內化的數(shù)學知識變成數(shù)學素養(yǎng)。例如，有學生在回答后兩問時說：“除了人口因素以外，蘇州的房價高于成都，所以成都人口袋里的錢就比蘇州人多，自然有利于看電影這樣的消費?！薄疤K州+電影=天堂里聽故事?！薄谇饲娴拇痤}中，學生并未盲從數(shù)據(jù)，而是會用自己的數(shù)學思考涵養(yǎng)理性精神。甚至，學生還可以此題為基礎，進一步做城市電影票房變量因素等的項目研究。

二、聚焦本質理解

命題時，應該聚焦對數(shù)學知識和方法的本質理解，而非形式記憶;同時，應該圍繞數(shù)學內容主線，不以其他學科的知識、方法作為問題解決的主要依據(jù)。

例3（1）判斷題：x=1是方程。（）

（2）如圖2，為防止雨天路滑，環(huán)衛(wèi)工人在一塊長3米的長方形過道上鋪了7張完全相同的長方形草席，請問：還有多少面積沒有鋪滿？

許多版本的小學數(shù)學教材都這樣給方程下定義：“像x+60=100、180=4x這樣含有未知數(shù)的等式是方程?！钡?，“這樣的定義只是一種形式上的表述，不可能把握方程的本質”。史寧中教授指出：“方程描述的是現(xiàn)實世界中與數(shù)量有關的兩個故事，其中用字母表示未知的量;這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上兩個故事的數(shù)量相等。這是列方程的基本原則?！苯虒W實踐也一再表明，判斷學生是否掌握了方程思想，“要去看學生列出來的方程左邊、右邊是不是都有意義并且描述簡單”。

本題第1問中的“x=1”由于脫離了實際背景，不知道實際意義，無法判斷是“數(shù)學故事”中的數(shù)量關系還是像“2x-x=x”一樣的運算結果。這樣直接考查概念的形式記憶，不利于概念的本質理解，會使學生鉆入牛角尖，而忽視真正有價值的東西。

本題第2問就很好地考查了學生從圖形中挖掘出隱含的數(shù)量關系（草席的長等于草席寬的4倍，草席的長加上草席寬的2倍等于過道的長），從而借助方程（也可運用算術方法）解決問題的能力，從而真正考查了學生對方程的本質理解。

例4媽媽買回5塊餅分給兄弟2人，怎樣分才合理呢？

本題的問題在于，學生可能會給出“弟弟比較小，所以弟弟分3個，哥哥分2個”“哥哥分2個，弟弟也分2個，剩1個給媽媽”這樣的回答。這就導致將數(shù)學知識（平均分）的考查變成了思想道德（“孔融讓梨”）的考查。

三、融入文化元素

數(shù)學是人類文化的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明，不應脫離文化母體獨立存在。歷史上，很多人的很多事促進了數(shù)學的發(fā)展，給數(shù)學帶來了新內容、新方法，這樣的人和事便屬于數(shù)學文化——數(shù)學名題、趣題也比比皆是。命題時，加入一點文化元素，將數(shù)學置于文化大系統(tǒng)中，看上去只是一份包裝，實際上給學生帶來了進行思維較量的沖動和數(shù)學冒險的信心，讓學生從更寬廣的視野審視數(shù)學的意義，從而格外注重用數(shù)學的眼光去丈量這個世界——畢竟數(shù)學在文化中總是扮演著智慧的角色。

例5于振善爺爺雖然是農民，但是非常愛動腦筋，曾用“稱地圖”的方法算出了一塊地的面積，被稱為“農民數(shù)學家”?，F(xiàn)在，有一幅比例尺是1∶1000000的地圖，長0.8米，寬0.5米。為求得圖中某地域的面積，先把該地圖貼在一塊同樣大小且質地均勻的木板上，稱得整塊木板質量為2千克，再沿待求區(qū)域的邊緣將木板鋸下，稱得其質量為0.4千克。該地域的實際面積是多少平方千米？

這道題改編自農民數(shù)學家于振善的真實故事，只是將原故事中兩、錢等舊式單位換成了常用單位。它讓學生充分體驗到數(shù)學的“善”，感受到數(shù)學的人文價值。

四、賦予分值多義

通常，命題工作還包括研制評分標準。評分時，對于整道題或某一步，除了答錯不得分、答對得分這一基本評分標準之外，基于滿意原則和加分原則，可以用不同的加綴數(shù)碼標識相同的得分，賦予固定的分值多元意義，從而不僅關注答題結果的對錯，也關注思維過程的優(yōu)劣及差異。唯有淡化分值的量，而追究分值的質，才能夠通過測評與學生的思考對話，厘清學生的問題或發(fā)現(xiàn)學生的才智，繼而因材施教，以學定教。

例6（1）小明同學在學習中，和同學們一起探索發(fā)現(xiàn)：長方體的體積=長×寬×高=底面積×高;正方體的體積=棱長×棱長×棱長=底面積×高;圓柱的體積=底面積×高。于是，他猜想所有立體圖形的體積都等于“底面積×高”。你覺得小明同學的猜想對嗎？不管你認為對還是錯，請給出你的理由。

（2）如圖3所示是一個糧倉，頂部為圓錐形，主體為圓柱形，底面周長為18.84米，圓錐形的高和底面半徑相等，圓柱形的高為10米。如果將這個糧倉改建成整體都是圓柱形，要求所容納的糧食量不變，底面積也不變，那么改建后的糧倉高為多少米？（取π=3.14）

本題第1問，同樣是答錯不得分，回答為“小明同學的猜想是正確的，因為所有的立體圖形都是用底面一層一層地鋪出來的”，說明學生誤認為所有立體圖形上下一樣粗;回答為“既然長方體、正方體、圓柱的體積可以這樣計算，那么，別的立體圖形的體積也都可以這樣計算”，說明學生不理解不完全歸納推理的不確定性，不會用舉反例的方法。評分時，可以在0后面加綴數(shù)碼，予以區(qū)分錯誤的類型和水平。

本題第2問，同樣是答對得分，可能有兩種解法。（1）先求出底面半徑為18.84÷3.14÷2=3（米），也是圓錐的高;接著求出糧倉的體積為3.14×32×10+13×3.14×32×3=282.6+28.26=310.86（立方米）;最后用總體積除以底面積求出高為310.86÷（3.14×32）=11（米）。（2）只要將頂部圓錐改建為圓柱，且底面積和體積不變即可，那么只要將上面部分的高縮小為原來的三分之一;求出底面半徑（也就是圓錐的高）為3米，可得縮小后上面部分的高為3÷3=1（米），于是，整體的高就是10+1=11（米）。第一種解法步驟多、計算量大，從中能看出學生思維嚴密，計算技能很強，但是只會套用公式，不能聯(lián)結知識，變通思路;第二種解法步驟少、計算量小，從中能看到學生已經打通了知識聯(lián)系，深刻領會到“等底、等高的圓錐體積是圓柱的三分之一”可以轉化為“等底、等體積的圓柱高是圓錐的三分之一”，具有較高水平的邏輯推理素養(yǎng)。

參考文獻：

[1] 史寧中.基本概念與運算法則——小學數(shù)學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 章勤瓊.指向“建立方程模型”的“方程的意義”教學[J].小學數(shù)學教師，2018（11）.

[3] 趙訪熊.于振善尺算法的理論基礎[J].科學通報，1951（11）.3，12，22，24，75，77-79