上海市風(fēng)華中學(xué) 蘇 燕

一、芳賀和夫的折紙初等數(shù)學(xué)教材開發(fā)歷程

芳賀和夫是一名大學(xué)教授，他在教學(xué)之余對折紙有非常濃厚的興趣，發(fā)現(xiàn)了很多與折紙數(shù)學(xué)有關(guān)的定理，在諸多數(shù)學(xué)相關(guān)的報刊中發(fā)表了相關(guān)的文章和研究成果。后來，人們逐漸對其研究進(jìn)行了關(guān)注，提出全新的折紙數(shù)學(xué)概念。之后，芳賀和夫又寫了很多連載文章，提出了自己的發(fā)現(xiàn)，在日本折紙教學(xué)中有很高的地位，他的研究成果被納入日本初等數(shù)學(xué)以及高等數(shù)學(xué)的教材中。歷屆的折紙科學(xué)大會以及相關(guān)的教育大會上，芳賀和夫都一直在傳播折紙的教學(xué)理論和技術(shù)，很多人都因他的影響而開始對折紙數(shù)學(xué)進(jìn)行研究。芳賀和夫開發(fā)的關(guān)于折紙初等數(shù)學(xué)的教材很多，其中最為著名的就是“三個定理”。

（一）第一定理

芳賀和夫第一定理指的是如圖1 所示的正方形折紙，如果將紙的右下角向上進(jìn)行翻折，那么點(diǎn)C 就會和E 重合，并且紙會折平。底邊CD 翻上來到E 的位置，折紙的左邊相交在H 點(diǎn)，那么H 點(diǎn)就是一個三等分點(diǎn)。

圖1

圖2

圖3

（二）第二定理

芳賀和夫第二定理如圖2 的正方形折紙，D 的中點(diǎn)沿著BE 兩點(diǎn)的直線將折紙進(jìn)行翻折，翻折點(diǎn)會到達(dá)F 點(diǎn)，如果EF 的延長線相較于CD，邊在G 點(diǎn)，DG 和GC 的比為2:1，那么G 點(diǎn)就是CD 的一個三等分點(diǎn)。圖2 所示的F 點(diǎn)的位置是比較特殊的，其在水平方向上可以將正方形折紙的左右兩部分分成四分之一，在垂直方向上可以將上下兩個部分分成2:3。

（三）第三定理

芳賀和夫第三定理如圖3 所示的正方形中，E 是正方形AD 邊的中點(diǎn)，如果將右邊的CD 邊進(jìn)行翻折，那么點(diǎn)C就會在AB 這一邊上，同時保證CD 可以過點(diǎn)E，將紙折平之后可以得到折痕線FG，那么點(diǎn)C 在進(jìn)行翻折之后形成新的位置，H 就是正方形左邊的一個三等分點(diǎn)。

二、芳賀和夫的折紙初等數(shù)學(xué)教材的推廣

對于上述芳賀折紙的內(nèi)容可以作為初等數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容，讓學(xué)生發(fā)表不同的看法，表達(dá)不同的觀點(diǎn)，設(shè)計成開放性的教材。在推廣的過程中，提出一般問題進(jìn)行策略分析。如果已經(jīng)選定了一個問題，就可以從芳賀和夫第一定理開始，進(jìn)行猜想和證明。

三、芳賀和夫的折紙初等數(shù)學(xué)教材教育價值

芳賀和夫折紙初等數(shù)學(xué)教材具有一定的教育價值和意義，芳賀和夫堅持進(jìn)行初等數(shù)學(xué)教材的開發(fā)，取得了很多的成果，很多都已經(jīng)被選入了日本的初等數(shù)學(xué)教材中，成為提倡學(xué)習(xí)的課題，并且作為教材進(jìn)行研究。芳賀和夫還發(fā)表了自己的專著，開發(fā)了教材的內(nèi)容，得到了很多的肯定。針對芳賀折紙教材，人們普遍認(rèn)為該教材內(nèi)容可以很好地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和創(chuàng)意，讓學(xué)生能夠感受到課題解決的必要性，可以很好地積累數(shù)學(xué)知識和技能，讓學(xué)生的知識和技能得到鍛煉。學(xué)生的知識和技能得到綜合利用和發(fā)揮，可以不斷產(chǎn)生問題，并且追求問題的答案，并對其進(jìn)行概括和發(fā)現(xiàn)。正是因?yàn)榉假R和夫折紙有這些特點(diǎn)，才被人們認(rèn)為是初等數(shù)學(xué)最好的教材內(nèi)容，成為學(xué)者關(guān)注的內(nèi)容，并且普遍出現(xiàn)在初等教學(xué)相關(guān)的教學(xué)問題中。

四、結(jié)語

由此可以看出，芳賀和夫折紙初等教材的內(nèi)容是非常適合中學(xué)生的。折紙雖然看起來比較普通，但是應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)中，學(xué)生往往能夠發(fā)現(xiàn)其獨(dú)特的魅力和創(chuàng)意，采用不同領(lǐng)域的知識串聯(lián)的形式，學(xué)生會感到更加新穎。教師在提出折紙問題之后，學(xué)生可以用假設(shè)的方式來解答，在這一過程中又會有新的發(fā)現(xiàn)。但是，目前我國這樣的初等數(shù)學(xué)教材還比較少，筆者因?yàn)樽x研期間受導(dǎo)師的點(diǎn)播有幸能進(jìn)行以上折紙教學(xué)的探究和分享，也希望有越來越多的教育科研人員和一線教師參與到折紙教材的編寫中。