楊習(xí)志 趙 堅(jiān)

(1. 昆明市第一中學(xué)，云南 昆明 650031； 2. 昆明市五華區(qū)基礎(chǔ)教育科學(xué)研究中心，云南 昆明 650031)

筆者發(fā)現(xiàn)關(guān)于機(jī)械能守恒定律是否滿足相對(duì)性原理的爭(zhēng)論，[1～7]其核心問(wèn)題主要來(lái)自于3個(gè)方面.其一，討論問(wèn)題中系統(tǒng)的機(jī)械能作為物理量所涉及的守恒是否滿足相對(duì)性原理，是否是協(xié)變的？其二，機(jī)械能守恒定律作為一條物理定律是否滿足相對(duì)性原理，是否是協(xié)變的？其三，系統(tǒng)的機(jī)械能不具有獨(dú)立協(xié)變性是否與相對(duì)性原理矛盾？為此，筆者分別從這3個(gè)角度出發(fā)進(jìn)行探討.

1 系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒量嗎？

在分析力學(xué)里，對(duì)于力學(xué)量

w=w(qα,pα,t).

判斷其守恒的充要條件是

其中qα、pα、t為力學(xué)量w的廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量和時(shí)間，

圖1

如圖1所示，在光滑的水平桌面上有一個(gè)質(zhì)量為m的小球與一根輕質(zhì)彈簧連接，彈簧的右端固定在O點(diǎn)，勁度系數(shù)為k,原長(zhǎng)為x0,則小球與彈簧整個(gè)系統(tǒng)廣義能量的哈密頓量：

從式中可以看出經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后的哈密頓量H′是顯含時(shí)間的,即

故變換后系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒．同理,若在y方向上運(yùn)動(dòng)的慣性參考系來(lái)進(jìn)行觀測(cè),經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后,會(huì)發(fā)現(xiàn)變換后系統(tǒng)的機(jī)械能仍然守恒,可見(jiàn)系統(tǒng)的機(jī)械能不是一個(gè)普遍的守恒量,它會(huì)隨參考系的改變而改變．究其原因,通過(guò)前面的討論會(huì)發(fā)現(xiàn)主要是因?yàn)闄C(jī)械能的哈密頓量中勢(shì)能V是位置的函數(shù),而位置坐標(biāo)在進(jìn)行該方向上的坐標(biāo)變換時(shí)會(huì)攜帶時(shí)間,導(dǎo)致機(jī)械能的哈密頓量H對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)不為0．同理可得系統(tǒng)動(dòng)量的哈密頓量與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān),在經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后的哈密頓量仍然不顯含時(shí)間,故系統(tǒng)的動(dòng)量是一個(gè)守恒量．

我們也可從機(jī)械能守恒的條件出發(fā)來(lái)進(jìn)一步分析.根據(jù)功能原理,機(jī)械能守恒的條件是外力與內(nèi)非保守力做功為0,其中內(nèi)力做功

根據(jù)坐標(biāo)變換有

故內(nèi)力做功與參考系無(wú)關(guān),其中內(nèi)力又分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力,保守內(nèi)力做功等于系統(tǒng)相互作用的勢(shì)能的減少量,非保守內(nèi)力則會(huì)改變系統(tǒng)的機(jī)械能,如摩擦生熱或爆炸．

對(duì)于外力做功

dw外=∑Fi·dri.

根據(jù)坐標(biāo)變換有

可見(jiàn),由于外力做功與參考系有關(guān),不滿足協(xié)變性,從而導(dǎo)致機(jī)械能守恒的條件在經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后得不到滿足．故系統(tǒng)的機(jī)械能作為物理量而言是不滿足協(xié)變性的,它不是一個(gè)守恒量．反觀動(dòng)量守恒問(wèn)題,由于系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是合外力為零,而合外力是不會(huì)隨慣性參考系的選取而變的,即在一個(gè)慣性參考系中系統(tǒng)所受的合外力為零,那么在另一個(gè)慣性參考系中系統(tǒng)所受到的合外力仍然為0,故系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件滿足協(xié)變性,系統(tǒng)的動(dòng)量是一個(gè)守恒量．

2 系統(tǒng)的機(jī)械能不具有獨(dú)立協(xié)變性是否與相對(duì)性原理矛盾?

2.1 相對(duì)性原理表述之聯(lián)立協(xié)變

2.2 機(jī)械能守恒定律與協(xié)變集

如果自然界若干定律聯(lián)立在一起,進(jìn)行參考系變換,然后再在新參考系中對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行等價(jià)變形,可化為具有原來(lái)形式的全部新定律,則這些定律稱為是聯(lián)立協(xié)變的.這些定律作為元素所構(gòu)成的集合稱為協(xié)變集,其中,只含有一個(gè)元素的協(xié)變集稱為單元素協(xié)變集,元素不能再減少的協(xié)變集稱為最小協(xié)變集．如麥克斯韋方程組中的高斯定理與修正的安培定律,法拉第電磁感應(yīng)定律與高斯磁定律分別構(gòu)成兩個(gè)四元素最小協(xié)變集,電荷守恒定律構(gòu)成單元素最小協(xié)變集,機(jī)械能守恒定律則屬于功能原理的最小協(xié)變集．

3 機(jī)械能守恒與功能原理聯(lián)立協(xié)變

功能原理即

dw=dw內(nèi)+dw外=dw內(nèi)保+dw內(nèi)非保+dw外保+dw外非保=-(dEp內(nèi)+dEp外)+dw內(nèi)非保+dw外非保=-dEp+dw非保=dEk.

dw非保=dEp+dEk，

當(dāng)dw非保=0時(shí),dEp+dEk=0，

即Ep+Ek=C.

故機(jī)械能守恒是功能原理的特殊情況,但由于條件dw非保=dw內(nèi)非保+dw外非保中的dw外非保與參考系有關(guān),故機(jī)械能守恒的條件是與參考系的選取有關(guān)的．值得注意的是,根據(jù)坐標(biāo)變換有

dw外′=dw外-F·udt，

圖2

可見(jiàn)功能原理滿足相對(duì)性原理,是協(xié)變的．其次,由于機(jī)械能守恒是功能原理的特殊情況,故機(jī)械能守恒是功能原理的最小協(xié)變集,與功能原理聯(lián)立協(xié)變．下面從功能原理出發(fā),重新探討在x方向上以u(píng)向右運(yùn)動(dòng)的慣性參考系中來(lái)觀測(cè)圖1中系統(tǒng)的機(jī)械能,假設(shè)彈簧此時(shí)處于壓縮狀態(tài),且小球正在向右運(yùn)動(dòng),則小球和彈簧整個(gè)系統(tǒng)將受到墻壁對(duì)它向左的推力F的作用,故有

-mu(v2-v1).

可見(jiàn),從功能原理出發(fā),可以得出與地面為參考系下相同的機(jī)械能的表達(dá)形式,因此,機(jī)械能守恒與功能原理是聯(lián)立協(xié)變的．

4 守恒量與守恒定律

鑒于此,我們可以這樣認(rèn)為,機(jī)械能守恒定律是能的守恒和轉(zhuǎn)化定律(功能原理)在力學(xué)中的一種特例．作為自然界最普遍的物理規(guī)律之一的能的守恒和轉(zhuǎn)化定律,一定是滿足相對(duì)性原理,是協(xié)變性的,但是加上一些不協(xié)變的條件(初始條件、邊界條件、規(guī)范條件等),就不協(xié)變了,因?yàn)?能量守恒定律的普遍表述是“一個(gè)系統(tǒng)能量的變化等于非保守外力做功”.這句話不能理解為“能量不變(守恒)”,能量不變(守恒)涉及3個(gè)問(wèn)題: (1) 系統(tǒng)的選擇,(2) 什么是保守力?(3) 做功的條件,而我們只有對(duì)選定的系統(tǒng)才能區(qū)分內(nèi)力和外力．我們通常說(shuō)保守力做功與路徑無(wú)關(guān),是指沿路徑的積分是“等時(shí)”的,沒(méi)有移動(dòng)時(shí)間的概念,同時(shí),保守力一定是個(gè)勢(shì)力場(chǎng),而只有不含時(shí)間的力場(chǎng)才能保證能量不變,否則能量必然變化．所以,一切普遍規(guī)律(微分方程)都是協(xié)變的,此點(diǎn)無(wú)容置疑,可是,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒在滿足相對(duì)性原理,是否具備單獨(dú)協(xié)變性的問(wèn)題上,是有條件的,它只能與功能原理聯(lián)立協(xié)變．

綜上所述可以看出,機(jī)械能守恒定律作為物理定律在守恒條件滿足的情況下在任意慣性系下均具有相同的表達(dá)形式,滿足相對(duì)性原理,是協(xié)變性的．但系統(tǒng)的機(jī)械能作為物理量來(lái)說(shuō)本身并不是一個(gè)守恒量,其根本原因在于機(jī)械能的哈密頓量中勢(shì)能是位置坐標(biāo)的函數(shù),在進(jìn)行該位置坐標(biāo)上的坐標(biāo)變換時(shí)總會(huì)攜帶時(shí)間,導(dǎo)致其哈密頓量對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)不為0,也可理解為外力做功與參考系有關(guān)導(dǎo)致機(jī)械能守恒的條件隨參考系的選取而變,使得系統(tǒng)的機(jī)械能不滿足相關(guān)坐標(biāo)變換,此時(shí),系統(tǒng)的機(jī)械能只能與功能原理聯(lián)立協(xié)變．

(致謝:本文曾得到北京大學(xué)趙凱華先生的悉心指導(dǎo),借此深表感謝!)