胡少希 孫 偉

(1. 南京市玄武區(qū)教師發(fā)展中心,江蘇 南京 210016; 2. 江蘇省泗陽中學(xué),江蘇 泗陽 223700)

在有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是比較常見的運(yùn)動(dòng),這類問題在競賽考題中出現(xiàn)的頻率很高,質(zhì)點(diǎn)的有心力問題用力心為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系描述較為適宜.在極坐標(biāo)系中物體的機(jī)械能滿足

(1)

有心力作用下質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒

L=mrvθ.

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式得

(3)

圖1

例1.(國家集訓(xùn)隊(duì))如圖1所示,在光滑的水平面上,一個(gè)勁度系數(shù)為k=3.0 N/m的輕彈簧一端固定于O點(diǎn),另一端拴接一個(gè)質(zhì)量為m=2.0 kg的小球,假設(shè)彈簧在無力作用時(shí)沒有原長.若小球在彈簧作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)總機(jī)械能為E=12 J,現(xiàn)沿小球運(yùn)動(dòng)的徑向給其突如打擊,使小球瞬間獲得一徑向速度vr0=1 m/s,求此后運(yùn)動(dòng)過程中小球距O點(diǎn)的最近距離和最遠(yuǎn)距離.

解析:設(shè)小球受打擊前運(yùn)動(dòng)的速度為v0,軌道半徑為r0,則

(1)

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式得

(3)

小球受打擊后系統(tǒng)能量為

(4)

代入數(shù)據(jù)得

E′=13 J.

(5)

有效勢能為

(6)

由于徑向打擊不影響小球的角動(dòng)量,故小球角動(dòng)量守恒,即

L=mv0r0.

(7)

聯(lián)立(6)、(7)式代入數(shù)據(jù)得

(8)

圖2

作出有效勢能圖線,如圖2所示.小球的徑向運(yùn)動(dòng)滿足E′≥Ueff,結(jié)合圖2可知小球的徑向運(yùn)動(dòng)范圍在r1與r2之間,當(dāng)E′=Ueff時(shí),聯(lián)立(5)(8)式得

(9)

由(9)式得

r1=1.63 m，r2=2.45 m.

(10)

分別為小球運(yùn)動(dòng)過程中距O點(diǎn)的最近距離和最遠(yuǎn)距離.

(1) 試問此子彈的運(yùn)動(dòng)是總在云里?總在云外?還是有時(shí)在云里,有時(shí)在云外?

圖3

(2) 求子彈運(yùn)動(dòng)軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)離氣體云中心的距離;

(3) 討論子彈運(yùn)動(dòng)軌道的形狀,并求其運(yùn)動(dòng)周期.

解析: (1) 在r≤R區(qū)域,子彈受到氣體云團(tuán)的萬有引力大小為

(1)

在r>R區(qū)域,子彈受到氣體云團(tuán)的萬有引力大小為

(2)

選擇無窮遠(yuǎn)為引力勢能零點(diǎn),則在r≤R區(qū)域,引力勢能

(3)

則在r>R區(qū)域,引力勢能

(4)

作出勢能圖線如圖3所示,子彈能出現(xiàn)的區(qū)域應(yīng)滿足E≥U.由圖3知,只有在r≤r0區(qū)域子彈才可能出現(xiàn),而r0

(2) 子彈的有效勢能

(5)

圖4

作出有效勢能圖線,如圖4所示.軌道轉(zhuǎn)折處滿足

E=Ueff.

(6)

聯(lián)立(5)、(6)式得

(7)

解得

(8)

(3) 根據(jù)以上討論可知,子彈的機(jī)械能與有效勢能曲線有兩個(gè)交點(diǎn),因此子彈運(yùn)動(dòng)為橢圓軌道,其半長軸和半短軸分別為

(9)

(10)

子彈相對氣體云中心角動(dòng)量守恒,可知其面積速率k為恒量,其滿足

(11)

故子彈軌道運(yùn)動(dòng)的周期

(12)

圖5

解析:分析某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A和B受力知，

質(zhì)點(diǎn)A:

Fsinθ=NA.

(1)

質(zhì)點(diǎn)B:

Fsinθ=maB.

(2)

圖6

以質(zhì)點(diǎn)B為參考系,質(zhì)點(diǎn)A還受到大小為maB的慣性力,如圖6所示.由(1)(2)式知:此慣性力正好與彈力NA平衡.也就是說,以B為參考系,A相當(dāng)于在有心力場中運(yùn)動(dòng).設(shè)A、B間距離為r,則A的有效勢能為

(3)

其中A相對B的角動(dòng)量

(4)

把(4)式代入(3)式得

(5)

A相對B的能量

(6)

圖7

畫出有效勢能圖線如圖7所示,E≥Ueff是可能的運(yùn)動(dòng)區(qū)域,二者距離最近時(shí)滿足

E=Ueff.

(7)

圖8

(1) 彈簧系數(shù)k0及小球在B處時(shí)細(xì)管的轉(zhuǎn)速;

(2) 試問小球在平衡點(diǎn)B附近是否存在相對于細(xì)管的徑向微振動(dòng)?如果存在,求出該微振動(dòng)的周期.

解析: (1) 設(shè)細(xì)管的角速度為ωA,小球在A點(diǎn)相對細(xì)管平衡時(shí)

(1)

小球在平衡B點(diǎn)滿足

(2)

小球由A處至B處過程滿足角動(dòng)量守恒

(3)

聯(lián)立(1)-(3)式得

(4)

(5)

(2) 在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中,小球相當(dāng)于在有心力作用下運(yùn)動(dòng),設(shè)小球距O點(diǎn)的距離為r,則其有效勢能為

(6)

其中小球的角動(dòng)量

(7)

對(6)式求二階導(dǎo)數(shù)并把(7)式代入得

(8)

聯(lián)立(4)、(5)、(8)式得

(9)

故該微振動(dòng)的周期

(10)

通過以上分析,對有心力作用下物體運(yùn)動(dòng)引入有效勢能,把二維平面運(yùn)動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為一維問題來處理,不失為一種解決問題的好方法.