周江琛，肖曉暉

(武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，湖北武漢，430072)

雙足步行機(jī)器人能適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境，具有高度的靈活性和運(yùn)動(dòng)能力，在野外探測(cè)、家庭服務(wù)等諸多領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景[1]。為提高雙足機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境下的運(yùn)動(dòng)能力，一方面，機(jī)器人應(yīng)具備通過調(diào)整步長(zhǎng)來跨越地面障礙的能力，在生成步行模式時(shí)要考慮機(jī)器人步長(zhǎng)調(diào)節(jié)能力；另一方面，要考慮變步長(zhǎng)步行過程中機(jī)器人的能量效率。針對(duì)變步長(zhǎng)步行，眾多學(xué)者參考ZMP 軌跡生成步態(tài)，通過調(diào)整ZMP 軌跡以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)[2-3]。KAJITA等[4]提出一種線性倒立擺模型跟蹤控制器，通過調(diào)整質(zhì)心軌跡來減小ZMP誤差；馮帥等[5]通過補(bǔ)償單足相時(shí)間，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人質(zhì)心軌跡平穩(wěn)過渡并實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)步行；張世龍等[6]基于時(shí)間補(bǔ)償和踝關(guān)節(jié)力矩控制調(diào)整ZMP，在步長(zhǎng)變化時(shí)，在線修正機(jī)器人狀態(tài)，保證穩(wěn)定步行。與此同時(shí)，也有部分研究人員研究人類步行原理，建立更精確的運(yùn)動(dòng)模型或者采用仿生學(xué)原理，實(shí)現(xiàn)雙足步行。AFTAB等[7]采用飛輪倒立擺模型(inverted pendulum plus flywheel model, IPFM)，通過軀干轉(zhuǎn)動(dòng)來調(diào)整ZMP 以控制落腳點(diǎn)；KUDOH 等[8]通過捕捉人類動(dòng)作提出邁步策略。另外，一些基于智能控制的方法也得到廣泛運(yùn)用，如劉飛等[9]通過離線學(xué)習(xí)，建立最優(yōu)落腳點(diǎn)與軀干姿態(tài)模型，實(shí)現(xiàn)落腳點(diǎn)調(diào)整；ZHONG 等[10]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合模糊邏輯控制器實(shí)現(xiàn)復(fù)雜地面下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制。上述步長(zhǎng)調(diào)整方法基于恒定高度的LIPM，認(rèn)為機(jī)器人在步行過程中質(zhì)心高度保持不變，避免由高度變化帶來的復(fù)雜非線性問題。由于運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，質(zhì)心高度限制了機(jī)器人的步長(zhǎng)變化范圍，在當(dāng)步長(zhǎng)發(fā)生較大改變時(shí)，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)無法得出有效解；同時(shí)，這類方法忽略了質(zhì)心高度對(duì)機(jī)器人的影響。而基于智能控制的方法需要一定的訓(xùn)練時(shí)間，對(duì)環(huán)境適應(yīng)力較差。研究表明，人類步行過程中軀干高度并不固定且不同環(huán)境下具有多樣步態(tài)，以實(shí)現(xiàn)高效穩(wěn)定步行[11]。同時(shí)，在ZMP 穩(wěn)定裕度內(nèi)，通過調(diào)整步長(zhǎng)和線性倒立擺模型高度可以降低機(jī)器人能耗[12]。鑒于此，仿人機(jī)器人行走的高度調(diào)整策略也引起研究者關(guān)注。一方面，高度變化帶來復(fù)雜非線性問題，傳統(tǒng)基于參考ZMP 軌跡的步行模式生成器解算困難；另一方面，在實(shí)時(shí)調(diào)整落腳點(diǎn)時(shí)，為提高穩(wěn)定性，必須考慮機(jī)器人面臨的結(jié)構(gòu)尺寸和穩(wěn)定裕度等多方面的約束。模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control, MPC)能解決非線性多約束優(yōu)化問題。目前，已經(jīng)有學(xué)者基于MPC 實(shí)現(xiàn)落腳點(diǎn)調(diào)整[13]、側(cè)向干擾恢復(fù)[14]和機(jī)器人上下臺(tái)階[15]，但這些方法沒有關(guān)注到變步長(zhǎng)步行中質(zhì)心高度的調(diào)整。為此，本文針對(duì)仿人機(jī)器人變步長(zhǎng)步行需求，鑒于傳統(tǒng)線性倒立擺步態(tài)規(guī)劃方法中質(zhì)心高度對(duì)步長(zhǎng)可變范圍的限制，同時(shí)考慮倒立擺模型質(zhì)心高度對(duì)步行能量效率的影響，引入高度變化，提出一種基于MPC 的變質(zhì)心高度的步態(tài)生成方法。該方法基于變質(zhì)心高度策略生成變步長(zhǎng)步態(tài)，避免了由于運(yùn)動(dòng)學(xué)約束導(dǎo)致的固定質(zhì)心高度對(duì)步長(zhǎng)可調(diào)范圍的限制；同時(shí)，考慮到質(zhì)心高度對(duì)步行能耗的影響，以不同步長(zhǎng)下能耗最低的質(zhì)心高度為參考，通過調(diào)整質(zhì)心高度以提高變步長(zhǎng)步行能量效率。

1 雙足機(jī)器人節(jié)能步行

1.1 雙足步行步態(tài)生成

在LIPM的雙足步態(tài)生成過程中，將機(jī)器人簡(jiǎn)化為1個(gè)三維倒立擺模型，雙足步行模式由步行參數(shù)生成參考ZMP 軌跡，ZMP 軌跡通過LIPM 生成質(zhì)心軌跡，再由逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解算各關(guān)節(jié)角度，生成雙足步行步態(tài)，其流程如圖1所示。

為避免由質(zhì)心高度變化帶來的非線性問題，線性倒立擺模型將質(zhì)心維持在恒定高度[2]。然而，質(zhì)心垂直狀態(tài)會(huì)影響機(jī)器人的平衡能力和能量效率，例如當(dāng)質(zhì)心高度較低時(shí)更容易平衡，具有更高的魯棒性，加速質(zhì)心向上可以短暫地提高魯棒性[16]，將質(zhì)心運(yùn)動(dòng)維持在恒定高度，導(dǎo)致步態(tài)不自然，同時(shí)增加了膝關(guān)節(jié)力矩和速度，降低了能量效率[11]。

圖1 基于LIPM生成雙足步行步態(tài)流程Fig.1 Biped walking gait generation process based on LIPM

1.2 能耗最低質(zhì)心高度

為驗(yàn)證質(zhì)心高度對(duì)能量效率的影響，同時(shí)考慮到機(jī)器人變步長(zhǎng)步行需求，以Aldebaran Robotics 公司設(shè)計(jì)的NAOH25 型機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，在穩(wěn)定性前提下，研究不同步長(zhǎng)步行過程中能效最優(yōu)質(zhì)心高度。

采用理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法，首先，估算步行能耗，確定能耗最低質(zhì)心高度；然后，通過樣機(jī)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行修正。

以NAOH25 仿人機(jī)器人為平臺(tái)，重點(diǎn)研究機(jī)器人下肢運(yùn)動(dòng)。圖2 所示為本文采用的桿式模型。由圖2可見：將機(jī)器人視為由數(shù)個(gè)連桿組成，每個(gè)連桿固定1個(gè)局部坐標(biāo)系，將機(jī)器人樣機(jī)簡(jiǎn)化成10個(gè)自由度連桿模型，Σw表示固定在地面上的全局坐標(biāo)系，Σb表示機(jī)器人腰部中心的局部坐標(biāo)系，以機(jī)器人向前為全局坐標(biāo)系x軸方向，向左為全局y軸方向，豎直向上為全局z軸方向。

圖2 機(jī)器人連桿模型Fig.2 Linkage model of robots

由于目前沒有能明確描述機(jī)器人能量消耗的表達(dá)式，所以，通用的評(píng)價(jià)指標(biāo)是計(jì)算機(jī)器人10個(gè)關(guān)節(jié)能耗求和。最重要的是要計(jì)算行走所需功率：

式中：Pi為第i段連桿關(guān)節(jié)功率；τi和分別為第i段連桿關(guān)節(jié)力矩和角速度。

將單足相ZMP 固定在支撐足中心，由三次多項(xiàng)式規(guī)劃足部擺動(dòng)軌跡，生成雙足步態(tài)[17]，得出式(1)中各關(guān)節(jié)角速度；然后，基于牛頓-歐拉方程，從擺動(dòng)腿末端向支撐腿依次計(jì)算作用在各連桿上的力和力矩，解逆動(dòng)力學(xué)，通過迭代求出各關(guān)節(jié)力矩，估算能耗[18]。

由牛頓-歐拉定理，圖2中第i根連桿的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：fi和τi分別為連桿和對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)所受外力和力矩，初值條件fi+1和τi+1為0；ac,i和ωi分別為連桿質(zhì)心加速度和關(guān)節(jié)角速度；Ii為連桿慣性張量；為旋轉(zhuǎn)矩陣；ri-1,ci為第i-1坐標(biāo)系原點(diǎn)到i-1連桿質(zhì)心位置矢量。

迭代計(jì)算各關(guān)節(jié)力矩，再由式(1)可理論計(jì)算雙足步行能耗，改變倒立擺模型質(zhì)心高度，即可得出不同高度下步行理論能耗，獲得理論最優(yōu)高度?？紤]模型誤差，圍繞理論最優(yōu)高度選取附近區(qū)域高度進(jìn)行樣機(jī)實(shí)驗(yàn)。由于NAO 機(jī)器人不具備關(guān)節(jié)扭矩測(cè)量傳感器，這里采用電流數(shù)據(jù)來衡量能量消耗[3]，在實(shí)驗(yàn)過程中，保持機(jī)器人上肢所有關(guān)節(jié)鎖定，即可由下肢運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)總平均電流即可評(píng)估整體能耗。

以步長(zhǎng)取0.060 m為例，理論計(jì)算能耗最低質(zhì)心高度為0.318 m，倒立擺高度分別選取0.310，0.314，0.315，0.316，0.318 和0.319 m 進(jìn)行步行實(shí)驗(yàn)，步行周期為1.0 s，單足相時(shí)間占80%，每次進(jìn)行10 個(gè)周期的定步長(zhǎng)步行，保證每次實(shí)驗(yàn)在同樣的地面環(huán)境下完成。機(jī)器人關(guān)節(jié)平均電流結(jié)果如圖3所示，由圖3可見：定步長(zhǎng)步行中不同質(zhì)心高度下能耗不同，樣機(jī)實(shí)驗(yàn)中，0.060 m 步長(zhǎng)下能耗最低質(zhì)心高度為0.315 m。

圖3 機(jī)器人關(guān)節(jié)平均電流Fig.3 Average current of robot joint

通過樣機(jī)實(shí)驗(yàn)，得出步行周期為1.0 s時(shí)6種不同步長(zhǎng)下能耗最低時(shí)的最優(yōu)離心高度，結(jié)果如表1所示。

表1 不同步長(zhǎng)下最優(yōu)質(zhì)心高度Table 1 Optimal COM height for variable step-length

2 基于MPC的質(zhì)心軌跡

2.1 質(zhì)心狀態(tài)方程

如上所述，基于固定高度的雙足步行在復(fù)雜環(huán)境中具備較差的變步長(zhǎng)步行能力，而機(jī)器人在不同步長(zhǎng)下具有不同的能耗最低的質(zhì)心高度。因此，考慮變質(zhì)心高度情況下的變步長(zhǎng)步態(tài)生成。將模型預(yù)測(cè)控制集中在步行機(jī)器人的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)上，考慮高度變化，質(zhì)心的狀態(tài)使用3個(gè)變量(xc,yc,zc)來定義，分別表示質(zhì)心在前向、側(cè)向和垂直方向的位置。

基于MPC 理論，以質(zhì)心前向、側(cè)向和豎直方向位置的三階微分為控制輸入并假設(shè)在每個(gè)采樣時(shí)間間隔Δt內(nèi)的控制輸入保持恒定，以下1個(gè)采樣時(shí)刻質(zhì)心位置為輸出，則在第k個(gè)采樣時(shí)刻，系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：

利用上述模型，給定當(dāng)前狀態(tài)，在預(yù)測(cè)域Tpre(包含未來Np個(gè)采樣時(shí)長(zhǎng))內(nèi)質(zhì)心位置狀態(tài)序列W(k+1)=[w(k+1),…,w(k+Np)]T，預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)參量速度狀態(tài)序列和加速度狀態(tài)序 列可 以 由 下 式表示：

式中：cp=[1 0 0]為位置狀態(tài)選擇矩陣。從質(zhì)心狀態(tài)矢量中取出位置分量同理，cv=[0 1 0]，ca=[0 0 1]。

2.2 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

MPC 的核心問題是通過構(gòu)建優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和可行域得到穩(wěn)定狀態(tài)下最優(yōu)輸出。給定參考的足部落腳點(diǎn)位置和步行周期(本文中，各周期時(shí)長(zhǎng)為定值)，在優(yōu)化目標(biāo)中引入質(zhì)心水平位置跟蹤誤差、參考高度跟蹤誤差和足部落腳點(diǎn)位置誤差。此外，考慮機(jī)器人驅(qū)動(dòng)能力引入質(zhì)心速度和輸入懲罰。最終，建立如下優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Fgoal。

式中：αW，βW，γW和δS分別為位置跟蹤懲罰系數(shù)、速度懲罰系數(shù)、控制輸入懲罰系數(shù)和足部落腳點(diǎn)跟蹤懲罰系數(shù)(為保證Hessian矩陣正定性，以上系數(shù)均設(shè)置為大于0)；為預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)質(zhì)心在地面投影位置和高度的參考值；S(k)=[s(k+1),…,s(k+Nf)]T和分別為預(yù)測(cè)時(shí)域所利用的未來Nf個(gè)步行周期(除當(dāng)前支撐周期外)的實(shí)際落腳點(diǎn)和參考落腳點(diǎn)位置(s∈{dx,dy})；[Dx,Dy]T為預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)未來Nf個(gè)步行周期前向和側(cè)向足部落腳點(diǎn)位置，如對(duì)第k個(gè)采樣時(shí)刻，有Dx(k)=[dx(k,1),…,dx(k,Nf)]T。

式(8)中，輸入矢量χ為

本文提出的目標(biāo)函數(shù)關(guān)注于位置跟蹤，從而保證機(jī)器人能夠在變步長(zhǎng)步行中跟蹤預(yù)定足部落腳點(diǎn)。與文獻(xiàn)[16]不同，本文考慮到倒立擺模型高度的影響，將質(zhì)心高度的參考值單獨(dú)設(shè)置，其參考高度與預(yù)測(cè)周期步長(zhǎng)相關(guān)聯(lián)，據(jù)表1中不同步長(zhǎng)下能耗最低的質(zhì)心高度，實(shí)現(xiàn)質(zhì)心高度可調(diào)的變步長(zhǎng)步行。

2.3 約束模型

為保證穩(wěn)定步行，需要考慮ZMP穩(wěn)定性約束。高度改變時(shí)，以前向運(yùn)動(dòng)為例，有

式中：px為ZMP 點(diǎn)的x方向(前向運(yùn)動(dòng))分量；g為重力加速度。根據(jù)ZMP 穩(wěn)定性理論，機(jī)器人在行走過程中應(yīng)該保證ZMP在足部支撐多邊形內(nèi)[2]。由于單足支撐階段支撐多邊形穩(wěn)定區(qū)域最小，并且雙足支撐過程ZMP 穩(wěn)定裕度較大，故本文只考慮單足支撐階段以簡(jiǎn)化約束形式。在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)ZMP位置應(yīng)該滿足以下約束：

式中：[px(k+i),…,px(k+Np)](i∈[1,Np])為采樣時(shí)域內(nèi)所有采樣時(shí)刻對(duì)應(yīng)的實(shí)際ZMP點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下x軸位置，即前向位置；[py(k+i),…,py(k+Np)]為實(shí)際ZMP 點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下y軸位置，即側(cè)向位置；[dm(k+i),…,dm(k+Np)](m∈{x,y})為采樣時(shí)域內(nèi)所有采樣時(shí)刻對(duì)應(yīng)的足部中心落點(diǎn)(落腳點(diǎn))；Np為預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)；和分別為x方向上ZMP相對(duì)于足部落點(diǎn)的下邊界和上邊界，由機(jī)器人足部尺寸決定；和分別為y方向上ZMP 相對(duì)于足部落點(diǎn)的下邊界和上邊界，由機(jī)器人足部尺寸決定。以ZMP 上邊界為例，式(11)中ZMP 約束計(jì)算如下：

2.4 參考軌跡

在式(8)中，需要給定預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)足部參考落腳點(diǎn)、質(zhì)心地面投影參考位置和質(zhì)心參考高度。不同周期的足部落腳點(diǎn)可以通過預(yù)先指定參考步長(zhǎng)和步寬等參數(shù)給出。對(duì)于實(shí)際機(jī)器人而言，當(dāng)前已落下的支撐腳應(yīng)保持不動(dòng)。因此，這里需要將當(dāng)前周期足部落腳點(diǎn)和預(yù)先指定的未來周期落腳點(diǎn)映射成整個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)域的參考落腳點(diǎn)。

在滾動(dòng)優(yōu)化過程中，預(yù)測(cè)時(shí)域開始的采樣時(shí)刻落在當(dāng)前初始周期，落腳點(diǎn)位置不可移動(dòng)，而預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)未來(Nf- 1)個(gè)落腳點(diǎn)位置通過優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行調(diào)整。預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)參考足部落腳點(diǎn)(以前向落腳點(diǎn)為例)可由下式計(jì)算：

針對(duì)參考質(zhì)心位置，將其在地面的投影位置關(guān)聯(lián)到每個(gè)周期的支撐腳中心位置(即各個(gè)周期的落腳點(diǎn))。以前向運(yùn)動(dòng)為例，在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)第k個(gè)采樣點(diǎn)質(zhì)心參考位置為

本文關(guān)注于變步長(zhǎng)過程中質(zhì)心高度的調(diào)整，因此，每個(gè)周期，式(8)中質(zhì)心參考高度與當(dāng)前周期步長(zhǎng)關(guān)聯(lián)，以實(shí)現(xiàn)高度可調(diào)變步長(zhǎng)步行。

式中：Href為預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)質(zhì)心參考高度，根據(jù)預(yù)測(cè)周期的步長(zhǎng)，通過查表1得出對(duì)應(yīng)步長(zhǎng)下能耗最低質(zhì)心參考高度。

2.5 二次約束二次規(guī)劃問題

結(jié)合式(12)的約束方程，式(8)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化問題最終可表示成下列QCQP模型：

式中：Fgoal(χ)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；hj(χ)為約束函數(shù)；χ?RNt是由式(9)表示的輸入矢量；Q?RNt×Nt是目標(biāo)函數(shù)的Hessian 矩陣；Pi?RNt×Nt為約束方程的Hessian 矩陣；q∈RNt×1,pi∈RNt×1為1 次項(xiàng)系數(shù)矩陣；bj∈R 為約束函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)；Nt和Nc分別為輸入變量數(shù)目和約束條件數(shù)目。

式(16)中目標(biāo)函數(shù)Hessian矩陣Q和1次項(xiàng)系數(shù)矩陣q推導(dǎo)如下：

式(17)中diag函數(shù)以各矩陣為對(duì)角元素生成對(duì)角矩陣，各對(duì)角元素矩陣計(jì)算如下：

式中：I為單位矩陣。

式(16)中約束方程Hessian矩陣Pi和1次項(xiàng)系數(shù)矩陣pi和常數(shù)項(xiàng)推導(dǎo)如下：

一旦生成式(16)所示的二次約束二次規(guī)劃問題，則可以轉(zhuǎn)化為序列二次規(guī)劃(sequential quadratic programming,SQP)求解[19]。采用簡(jiǎn)單SQP方法，在式(16)中圍繞初始迭代點(diǎn)產(chǎn)生以下二次規(guī)劃問題：

解二次規(guī)劃，通過χ=χ+δ更新狀態(tài)變量χ，用新的χ重復(fù)解δ，該步驟重復(fù)Ns次(本文中取Ns為2，優(yōu)化問題收斂且計(jì)算效率較高)。

為提高優(yōu)化問題的解算效率，取MPC 模型中預(yù)測(cè)時(shí)域采樣間隔大于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制采樣間隔，即Δt＞Δt′，同時(shí)保證tpre＞1.5tr(其中，tpre為預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)，tr為步行周期時(shí)長(zhǎng))，得到的預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的質(zhì)心軌跡通過三次Hermite插值，得出采樣間隔為Δt的軌跡。

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)與參數(shù)設(shè)置

以Aldebaran Robotics 公司設(shè)計(jì)NAOH25 機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其身高為0.574 m，髖關(guān)節(jié)高度為0.330 m，雙足中心間距為0.100 m，質(zhì)量約5.4 kg，下肢具有12 個(gè)自由度，可實(shí)現(xiàn)三維步行。

在實(shí)驗(yàn)過程中，默認(rèn)各周期參考步長(zhǎng)為0.04 m，參考步寬為0.10 m，擺動(dòng)腿最大擺動(dòng)高度為0.02 m。為減小足部與地面的碰撞，擺動(dòng)腿軌跡采用5次多項(xiàng)式插值。模型參數(shù)如表2所示。

3.2 變步長(zhǎng)步行

在復(fù)雜地面環(huán)境下，機(jī)器人應(yīng)具備通過調(diào)整步長(zhǎng)來跨越地面障礙物和缺陷的能力，本文提出高度可調(diào)的變步長(zhǎng)調(diào)整策略。設(shè)計(jì)如表3所示的變步長(zhǎng)序列參數(shù)設(shè)置，默認(rèn)步長(zhǎng)為0.040 m，步寬為0.100 m，質(zhì)心高度為0.320 m。

除表3所列周期步行參數(shù)發(fā)生改變外，其他周期均使用默認(rèn)參數(shù)。由表3 可見：機(jī)器人將從第2個(gè)周期開始在前進(jìn)方向做變步長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在第12個(gè)周期停止。

表2 模型參數(shù)設(shè)置Table 2 Model parameters setup

表3 變步長(zhǎng)步行參數(shù)設(shè)置Table 3 Variant step-length parameter setup for biped walking

3.2.1 變步長(zhǎng)步行實(shí)驗(yàn)

采用本文方法，各周期質(zhì)心參考高度根據(jù)步長(zhǎng)選擇合適值，具體見表1，生成的質(zhì)心參考軌跡如圖4 所示。由圖4 可見：機(jī)器人在第4 個(gè)周期改變步長(zhǎng)，第4周期內(nèi)質(zhì)心參考高度也設(shè)置為相應(yīng)能耗最低的高度，而質(zhì)心在第3 周期內(nèi)已經(jīng)開始下降，這顯示出MPC 模型的作用，即可根據(jù)預(yù)測(cè)視界內(nèi)參考狀態(tài)的變化，提前調(diào)整質(zhì)心軌跡，從而保證約束條件下優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。

分別基于恒定高度LIPM和本文所述方法生成質(zhì)心軌跡，進(jìn)行變步長(zhǎng)行走對(duì)比實(shí)驗(yàn)。采用恒定高度LIPM方法生成變步長(zhǎng)質(zhì)心軌跡時(shí)，質(zhì)心高度分別取0.320 m 和0.315 m。這里0.320 m 為默認(rèn)高度，為步長(zhǎng)0.04 m 下能耗最低時(shí)的質(zhì)心高度，而0.315 m 為離線步態(tài)生成時(shí)，關(guān)節(jié)角度不出現(xiàn)突變的最高質(zhì)心高度。實(shí)際ZMP 軌跡由機(jī)器人足底壓力傳感計(jì)算得出，樣機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。由圖5可見：

圖4 變步長(zhǎng)質(zhì)心參考軌跡Fig.4 COM trajectories for bipedal walking with variant step-length

1) 基于固定高度的LIPM 方法生成變步長(zhǎng)步態(tài)，在高度取0.320 m 時(shí)，機(jī)器人在第9 個(gè)周期步長(zhǎng)增加為0.10 m 時(shí)摔倒，無法實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)步行，實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到機(jī)器人膝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)出現(xiàn)突變。

2)基于固定高度的LIPM方法在高度為0.315 m時(shí)，能實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)行走，機(jī)器人實(shí)際ZMP 保持在支持區(qū)域內(nèi)。

3)采用本文提出的變質(zhì)心高度策略的步態(tài)規(guī)劃方法，機(jī)器人能通過變質(zhì)心高度以適應(yīng)步長(zhǎng)變化。機(jī)器人在行走過程中能較好地跟蹤預(yù)定的足部落腳點(diǎn)，機(jī)器人實(shí)際ZMP 軌跡始終保持在足部支撐區(qū)域內(nèi)，能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定變步長(zhǎng)步行。

4)基于變質(zhì)心高度策略的變步長(zhǎng)步態(tài)生成方法，可以在較高的初始高度下完成變步長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)，機(jī)器人的步長(zhǎng)調(diào)節(jié)范圍不受初始高度影響。而在基于恒定高度的LIPM的步態(tài)規(guī)劃方法中，為實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)步行，必須選擇較低的質(zhì)心高度。

3.2.2 步行能量效率

NAO 機(jī)器人步行實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明，基于變質(zhì)心高度的變步長(zhǎng)步行策略可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的變步長(zhǎng)步行；而對(duì)于采用恒定高度的LIPM，為實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和穩(wěn)定性約束，必須選擇較低的質(zhì)心高度。

本文通過對(duì)比步行實(shí)驗(yàn)中機(jī)器人能量消耗，衡量傳統(tǒng)定高度LIPM方法和本文提出的方法在變步長(zhǎng)下的能量。由于在0.320 m的固定高度下機(jī)器人未能完成本文設(shè)置的變步長(zhǎng)行走，這里只對(duì)比了固定高度為0.315 m和本文提出的變質(zhì)心高度方法2組實(shí)驗(yàn)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，固定質(zhì)心高度時(shí)總平均電流為0.336 8 A，變質(zhì)心高度時(shí)總平均電流為0.279 7 A，機(jī)器人關(guān)節(jié)平均電流如圖6所示。

由圖6可見：在設(shè)定的變步長(zhǎng)步行實(shí)驗(yàn)中，采用變質(zhì)心高度策略，機(jī)器人單步能耗低于恒定高度的變步長(zhǎng)步行能耗，相對(duì)于恒定高度，總平均能耗降低約16%。

圖6 機(jī)器人關(guān)節(jié)平均電流Fig.6 Average current of robot joint

4 結(jié)論

1)提出一種基于模型預(yù)測(cè)控制的高度可調(diào)變步長(zhǎng)步態(tài)生成方法，通過穩(wěn)定性約束，建立二次約束二次規(guī)劃求解模型，可生成變高度質(zhì)心軌跡。

2)基于變質(zhì)心高度策略的變步長(zhǎng)步行相對(duì)于恒定高度的變步長(zhǎng)步行，平均能耗降低約16%。

3)本文中樣機(jī)實(shí)驗(yàn)基于離線步態(tài)，無法應(yīng)對(duì)外力干擾，而MPC 可支持在線軌跡生成和優(yōu)化，這有待進(jìn)一步研究。在下一階段的研究中，將在線生存質(zhì)心軌跡，同時(shí)考慮上身運(yùn)動(dòng)，以生成更加仿人的步態(tài)，提高變參數(shù)步行過程中機(jī)器人的穩(wěn)定性和魯棒性。