肖驍

（廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校石獅分校，福建 石獅 362700）

“情智數(shù)學(xué)”是筆者的教學(xué)主張，師生合作情智交融，課堂充滿教與學(xué)的熱情和真情，就更富有人情味，師生都能領(lǐng)略和感受數(shù)學(xué)的魅力，獲得積極的情感體驗(yàn)，學(xué)生的高層次需要就能得到充分的滿足，促進(jìn)智力良好發(fā)展。教師課堂教學(xué)的情感表現(xiàn)，來(lái)自于對(duì)教學(xué)的熱情和激情，教師自身散發(fā)出對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)生和講臺(tái)的熱愛(ài)；也來(lái)自于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)教學(xué)的深刻理解。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的情感，來(lái)自于對(duì)教師的喜歡和崇拜；更來(lái)自于經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的質(zhì)疑、猜想、驗(yàn)證的過(guò)程，在困難、挑戰(zhàn)、挫折、取勝的交替中經(jīng)歷學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過(guò)程。

一、情——源于學(xué)生的認(rèn)識(shí)沖突

案例.《等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式》教學(xué)問(wèn)題探究設(shè)置。

問(wèn)題1.如何計(jì)算1+2+22+…+263的值。

（講述國(guó)際象棋大師與國(guó)王的故事）

本算式來(lái)自數(shù)學(xué)典故，帶有趣味色彩，充滿新意而又富于挑戰(zhàn)，與學(xué)生過(guò)去所學(xué)的數(shù)運(yùn)算又有所不同。這類問(wèn)題是否存在規(guī)律，需要猜想、探究和驗(yàn)證。

法1.設(shè)S=1+2+22+…+263

則2S=2+22+…+263+264

即 -S=1-264，∴ S=264-1

法2.設(shè)S=1+2+22+…+263

則(1 -2) S=(1-2)(1+2+22+…+263)

∴S=264-1

法3.設(shè)S=1+2+22+…+263

則1+S=1+1+2+22+…+263=2+2+22+…+263=22+22+…+263=264∴S=264-1

法4.設(shè)S=1+2+22+…+263=1+

2(1 +2+22+…+263-263)=1+2S-264∴S=264-1

方法1大部分學(xué)生都能獨(dú)立完成，也是解決這類問(wèn)題的通法。在完成方法1的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，繼續(xù)思考，拓展思路，尋求其他解法。當(dāng)學(xué)生相繼提出解法2、3、4時(shí)，心理上是積極的，情緒上是激昂的，思維上活躍的，就有深入研究問(wèn)題的愿望。這時(shí)提出問(wèn)題2，學(xué)生就能快速找到計(jì)算方法，自然化解認(rèn)識(shí)沖突。

問(wèn)題2.如何計(jì)算a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1的值，其中a1q≠0且q≠1。

二、情——源于學(xué)生的主動(dòng)探究

案例.對(duì)《基本不等式》課中的問(wèn)題設(shè)置。

問(wèn)題1.正數(shù)a，b，如果它們的和為定值10，則它們積的最大值為多少？

問(wèn)題2.如果它們的積為定值36，則它們和的最小值為多少？

在把問(wèn)題拓展為一般性：（1）正數(shù)a，b，如果它們的和為定值m，則它們積的最大值為多少？

（2）如果它們的積為定值，則它們和的最小值為多少？

問(wèn)題1和2是學(xué)生在小學(xué)和初中就接觸過(guò)，學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)例發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出一般規(guī)律，在課堂開(kāi)始階段有“成功體驗(yàn)”和探究的欲望，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

問(wèn)題3.如何用代數(shù)、幾何、函數(shù)解釋上述不等式的含義？并給予證明。

設(shè)置多樣豐富的問(wèn)題情境，通過(guò)具有針對(duì)性、新穎性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)思考，給學(xué)生提供探索數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的機(jī)會(huì)，可以發(fā)展學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)機(jī)。

讓學(xué)生在獨(dú)立思考和討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)歸納出下列解釋：

學(xué)生容易想到從完成平方公式證明不等式，即

在學(xué)生給出一種證明方法時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)思考其他代數(shù)證明方法，如差量換元法，設(shè)，則a=A+B，b=A-B

問(wèn)題4.舉例用幾何解釋上述不等式的含義，并給以證明。

（2）幾何解釋

解釋1.ab為a、寬為b的矩形面積，a+b是長(zhǎng)為a、寬為b的矩形周長(zhǎng)的一半。

周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大。

解釋2.以a+b為斜邊的直角三角形中，等腰直角三角形的高最長(zhǎng)。

解釋3.如圖1，以a+b為邊的正方形面積大于或等于四個(gè)以a，b為直角邊的直角三角形面積的和。

解釋4.同圓圖2中，弦長(zhǎng)不大于直徑等。

（3）函數(shù)解釋：舉例用函數(shù)凹凸性解釋不等式含義，并給予證明。

圖1

圖2

圖3

圖4

學(xué)生在與同伴的交流中所感受到的豁然開(kāi)朗，所體味到的思維方式的多元化，尤其是數(shù)學(xué)本身為學(xué)生提供的極具特色的思考方式，無(wú)疑會(huì)使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平得到不同程度的發(fā)展和提升，并享受思考帶來(lái)的樂(lè)趣。

三、情——源于學(xué)生的新知遷移

課前分析學(xué)生個(gè)性差異，課堂教學(xué)可以采用“分層遞進(jìn)教學(xué)”，對(duì)不同個(gè)性的學(xué)生提出不同的要求。在問(wèn)題設(shè)置中，體現(xiàn)問(wèn)題的啟發(fā)性、真實(shí)性、層次性、針對(duì)性、新穎性和挑戰(zhàn)性，發(fā)揮情感的動(dòng)力功能（情感具有增強(qiáng)或減弱行為效能），提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，體現(xiàn)民主平等，讓不同層次的學(xué)生在課堂上都能不斷挑戰(zhàn)新問(wèn)題。

案例《二元一次不等式與平面區(qū)域》課中的問(wèn)題設(shè)置

問(wèn)題1.直線y=2的上方、下方區(qū)域可以用怎樣的不等式來(lái)表示？

問(wèn)題2.直線x=-3的左方、右方區(qū)域可以用怎樣的不等式來(lái)表示？

問(wèn)題1，2從簡(jiǎn)單的特殊問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)直線上、下方點(diǎn)與直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，感知區(qū)域與不等式的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

問(wèn)題3.直線x-y+1=0的左上方、右下方的點(diǎn)P(x0，y0)，應(yīng)該滿足什么條件？為什么？

問(wèn)題4.直線x-y+1=0的左上方、右下方區(qū)域可以用怎樣的不等式來(lái)表示？

通過(guò)問(wèn)題1，2，學(xué)生知道了平面區(qū)域與不等式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)判定，也就是通過(guò)平面區(qū)域上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)，在橫坐標(biāo)相同時(shí)，比較縱坐標(biāo)大小來(lái)確定區(qū)域與直線的位置關(guān)系，這樣通過(guò)知識(shí)遷移，探究問(wèn)題3，4容易突破教學(xué)的難點(diǎn)。

問(wèn)題5.在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出不等式x+4y+4＞0表示的平面區(qū)域，并說(shuō)明理由。

問(wèn)題6.在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出不等式x-4y+4≤0表示的平面區(qū)域，并說(shuō)明理由。

問(wèn)題5，6是問(wèn)題3，4的聯(lián)想與拓展，進(jìn)一步驗(yàn)證區(qū)域與不等式的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

問(wèn)題7.指出二元一次不等式Ax+By+C＞0(B不等于0）表示平面區(qū)域，并說(shuō)明理由。

問(wèn)題8.指出二元一次不等式Ax+By+C≤0(B不等于0）表示平面區(qū)域，并說(shuō)明理由。

問(wèn)題7，8是從問(wèn)題的特殊性，類比推理得到問(wèn)題的一般性，并確定模型進(jìn)行驗(yàn)證，確定一般性的結(jié)論。

問(wèn)題9.畫(huà)出下列不等式（組）表示的平面區(qū)域：

四、情——源于學(xué)生作業(yè)個(gè)性化

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)練習(xí)，怎樣布置學(xué)生課外作業(yè)才是科學(xué)合理的呢？作業(yè)是屬于自主學(xué)習(xí)，對(duì)課堂教學(xué)取到補(bǔ)充和拓展，也是學(xué)生自我發(fā)展，自我總結(jié)，自我提升的陣地，應(yīng)該給予學(xué)生充分的自主權(quán)。

案例1:高一函數(shù)單調(diào)性，課后作業(yè)片段

所以：f(x1)在[ 2，+∞)上是增函數(shù)。

簡(jiǎn)解：函數(shù)f(x)在(0 ， a )上為增函數(shù)，在[a，+∞)上為減函數(shù)。

簡(jiǎn)解：若a＜ 0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(- ∞，0 )和(0 ，+∞)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；

若a＞0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[- a，0)和(0 ， a)，f(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是(- ∞，- a ) 和[ a，+ ∞)

若a＜0且b＞0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(- ∞，0)和(0 ，+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

若a＞0且b＜0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(- ∞，0)和(0 ，+∞)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；

案例2：高一函數(shù)奇偶性課前作業(yè)片段

（第一層次）列舉生活中成軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的例子。

（第二層次）列舉數(shù)學(xué)中，函數(shù)圖像成軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的例子，并說(shuō)出它們的性質(zhì)特征。

（第三層次）如何定義函數(shù)圖像成軸對(duì)稱和中心對(duì)稱？

（第四層次）如何定義奇函數(shù)和偶函數(shù)？它們的圖像，單調(diào)性有哪些特征？

案例3：高一函數(shù)奇偶性課后作業(yè)片段

答：f(x)是奇函數(shù)。

簡(jiǎn)解：若b=0，f(x)是奇函數(shù)；若b≠0，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

簡(jiǎn)解：若b=0，f(x)是偶函數(shù)；若b≠0，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，因?yàn)?，此時(shí)函數(shù)的定義域不對(duì)稱。

正向主觀的師生合作，深層次的數(shù)學(xué)問(wèn)題探究，通過(guò)課堂變化，講練結(jié)合，情感疏導(dǎo)，成功體驗(yàn)；師生經(jīng)歷觸動(dòng)思考、挑戰(zhàn)思考、分享思考、享受思考的過(guò)程。發(fā)揮感染功能調(diào)整和控制學(xué)生的情緒的作用，讓學(xué)生在認(rèn)知活動(dòng)的同時(shí)，陶冶高尚情操，有效促進(jìn)智力發(fā)展。