毛柏源，姬軍鵬，張鵬飛，*

（1.北京電子工程總體研究所，北京100854； 2.中國(guó)航天科工二院駐北京地區(qū)第一軍事代表室，北京100854）

航天器載荷安裝誤差標(biāo)定解算對(duì)提高任務(wù)載荷指向控制精度、測(cè)量高精度目標(biāo)信息具有重要的意義，現(xiàn)代航天器載荷越來越需要精確的指向［1-2］。自從人類發(fā)射第一顆航天器，隨著航天應(yīng)用需求的迅猛增加、科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展、測(cè)量水平的持續(xù)提高，越來越多的載荷及其功能加入到人造衛(wèi)星中，使得航天器的組成越來越復(fù)雜。一般而言，航天器攜帶較多的載荷及機(jī)械結(jié)構(gòu)，這些載荷安裝在航天器本體上或者航天器本體承載的機(jī)械結(jié)構(gòu)上。其中有很多載荷對(duì)航天器的姿態(tài)控制精度要求越來越高［3-5］。航天器的高精度姿態(tài)控制由兩方面因素決定，一個(gè)是高精度姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，另一個(gè)是高精度姿態(tài)確定及高精度安裝誤差標(biāo)定。多維串聯(lián)耦合機(jī)械結(jié)構(gòu)的標(biāo)定技術(shù)是精確指向研究不可或缺的一部分，航天器的指向精度近半個(gè)世紀(jì)了取得了巨大的進(jìn)步，20世紀(jì)70年代為1°，21世紀(jì)初達(dá)到了0.001°，高精度的姿態(tài)控制成為人們研究的重點(diǎn)［6］。

航天器的高精度姿態(tài)控制離不開精確的姿態(tài)確定，精確的姿態(tài)確定離不開精確的安裝誤差標(biāo)定，如通過姿態(tài)敏感器（星敏、地敏、陀螺、磁強(qiáng)計(jì)等）進(jìn)行姿態(tài)確定［7］。對(duì)于復(fù)雜航天器，航天器上往往安裝可以兩軸旋轉(zhuǎn)的伺服機(jī)構(gòu)，而同時(shí)為了擴(kuò)大視域，把成像器安裝在伺服機(jī)構(gòu)上，通過伺服機(jī)構(gòu)的指向控制來增大成像器的成像范圍；在一些需要伺服機(jī)構(gòu)進(jìn)行高精度跟蹤的任務(wù)中，決定跟蹤精度的因素有跟蹤控制算法、伺服機(jī)構(gòu)硬件性能、伺服機(jī)構(gòu)的安裝誤差、成像器的安裝誤差等。由于運(yùn)載發(fā)射過程對(duì)結(jié)構(gòu)安裝的影響，伺服機(jī)構(gòu)的安裝誤差、成像器的安裝誤差的確定需要運(yùn)用在軌標(biāo)定技術(shù)來精確計(jì)算。很多情況下，安裝器件的安裝誤差在不同的敏感軸之間會(huì)產(chǎn)生耦合效應(yīng)［8-10］。標(biāo)定安裝誤差在一定程度上與姿態(tài)確定十分類似，相當(dāng)于將未知的姿態(tài)等效為未知的安裝。因此，姿態(tài)確定方法與安裝誤差標(biāo)定方法互相借鑒。具有明顯幾何意義的姿態(tài)確定算法主要有TRIAD法、QUEST法等［11］，這些方法不需要復(fù)雜龐大的數(shù)據(jù)支撐，僅僅依賴幾個(gè)矢量軸的確定即可完全確定姿態(tài)［12-13］，由于這些方法計(jì)算簡(jiǎn)單，相對(duì)而言應(yīng)用性很高［14-16］。然而，對(duì)于超過六維的耦合安裝誤差標(biāo)定，目前的安裝誤差計(jì)算方法僅僅能夠確定一個(gè)誤差安裝矩陣，并不能完成多維安裝誤差標(biāo)定。

多個(gè)串聯(lián)機(jī)械機(jī)構(gòu)安裝標(biāo)定的難點(diǎn)在于建立標(biāo)定方程組時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)不同的安裝之間互相影響，其內(nèi)部的耦合效應(yīng)導(dǎo)致無法采用消元的方法將其中某個(gè)安裝解耦出來，若采用聯(lián)立方程組的方法進(jìn)行解算，由于每個(gè)安裝有3個(gè)未知參數(shù)，當(dāng)安裝維數(shù)為2時(shí)，聯(lián)立方程組將包括多個(gè)含6個(gè)未知數(shù)的非線性方程，只能通過復(fù)雜的數(shù)值方法解算，并且難以保證解的精度為零。

因此，針對(duì)多維安裝難以標(biāo)定的問題，本文從以下幾個(gè)方面展開：首先，將多維安裝標(biāo)定問題進(jìn)行具體的描述，通過建立數(shù)學(xué)方程來分析標(biāo)定計(jì)算面臨的問題；然后，介紹本文的多維安裝解耦標(biāo)定方法，包含矩陣方程建立、串聯(lián)安裝解耦、安裝參數(shù)確定、一般情形推廣；最后，通過仿真分析，對(duì)無噪聲、有噪聲兩種情況下標(biāo)定方法的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 問題的提出

航天器上的光學(xué)載荷安裝標(biāo)定對(duì)提高指向控制精度、獲取高精度目標(biāo)信息具有重要的作用。在航天器本體上安裝一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，該可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)上固連一個(gè)光學(xué)觀測(cè)設(shè)備。該可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)可以按照預(yù)期的姿態(tài)進(jìn)行機(jī)動(dòng)來控制光學(xué)觀測(cè)設(shè)備達(dá)到一定的指向。一般而言，可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)在其零位時(shí)與航天器本體之間的坐標(biāo)變換矩陣、可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)與光學(xué)探測(cè)設(shè)備之間的坐標(biāo)變換矩陣需要進(jìn)行高精度標(biāo)定，以保證光學(xué)觀測(cè)設(shè)備達(dá)到更加精確的指向。航天器標(biāo)定機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 航天器標(biāo)定機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of spacecraft calibration mechanism

圖1中，航天器本體與可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)零位之間的坐標(biāo)變換矩陣記作A，為未知量；可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)零位與可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)之間的坐標(biāo)變換矩陣記作B，為已知量；可轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)與光學(xué)觀測(cè)器之間的坐標(biāo)變換矩陣記作C，為未知量。

在已知航天器本體在赤道慣性坐標(biāo)系下的姿態(tài)（記作矩陣M）、某恒星目標(biāo)的赤道慣性系下的方向信息（記作矢量Tar）、該恒星目標(biāo)在光學(xué)觀測(cè)器中的方向信息（記作矢量View）后，按照三維空間的矢量轉(zhuǎn)換可得：

此時(shí)，式（2）中的C、A為求解對(duì)象，方程中其他變量通過觀測(cè)恒星目標(biāo)、獲取光學(xué)探測(cè)器中的該星點(diǎn)方位得到。

研究式（2），發(fā)現(xiàn)在C、A中間仍然存在一個(gè)可變矩陣B。雖然矩陣B為已知量（可以通過已知可轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)角度得出），但是要準(zhǔn)確解出C、A，需要解決它們之間耦合的問題。當(dāng)展開式（2）會(huì)得到一個(gè)方程組，在方程組中C、A的總共6個(gè)未知數(shù)無法彼此獨(dú)立，同時(shí)方程為非線性方程，若試圖通過代數(shù)直接解方程的方式，求解過程會(huì)相當(dāng)復(fù)雜，通過繁瑣的數(shù)值解算方法或許能夠得到接近準(zhǔn)確解的結(jié)果。

通常，多次觀測(cè)能夠積累充分的觀測(cè)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)在理論上滿足方程C*Bi*A*ri＝V iewi，從最小二乘意義上，可以將標(biāo)定問題做如下描述：

已知n個(gè)坐標(biāo)變換矩陣Bi、n個(gè)矢量ri、n個(gè)矢量Viewi，求出坐標(biāo)變換矩陣C、A的值，使得

取極小值。式中：λi為加權(quán)系數(shù)。

解方程式（3）使得J取極小值是困難的，主要難度在于J表達(dá)式中存在眾多的非線性項(xiàng)，一般情況采用數(shù)值計(jì)算的方式進(jìn)行，而數(shù)值計(jì)算方式是繁瑣的、有時(shí)也難以收斂，因此并不適用于在軌標(biāo)定。

本文試圖繞過復(fù)雜的、不適用在軌標(biāo)定的數(shù)值計(jì)算方式，建立一種簡(jiǎn)化的、準(zhǔn)確的計(jì)算方式，該計(jì)算方式基于觀測(cè)路徑的規(guī)劃設(shè)計(jì)，結(jié)合數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，靈活運(yùn)用特征向量的性質(zhì)，并將2維安裝標(biāo)定推廣到n維安裝標(biāo)定。

2 多維安裝解耦標(biāo)定方法

2.1 矩陣方程建立

第1節(jié)得到矢量方程C*B*A*r＝View后，進(jìn)一步通過另一組觀測(cè)數(shù)據(jù)B、r′、View′得到另外一組矢量方程，將兩組矢量方程一并寫出：

注意到［a b c］為單位正交陣，它的逆為它的轉(zhuǎn)置，所以可以得出矩陣方程：

用D來表示等式右邊的矩陣，可以得出以下矩陣方程：

于是問題轉(zhuǎn)換為如何通過上述矩陣方程得出C、A的值。

2.2 串聯(lián)安裝解耦

在得到式（9）的矩陣方程后，需進(jìn)行方程解耦。在經(jīng)過多次觀測(cè)后可得出3個(gè)矩陣方程：

將方程組（11）化為含2個(gè)矩陣方程的方程組，將A、C解耦：所以解耦后僅含A的方程組可以寫為

此時(shí)，經(jīng)過解耦運(yùn)算，得到了僅含A的方程組，問題變?yōu)槿绾胃鶕?jù)解耦后僅含A的方程組確定A的值。

2.3 安裝參數(shù)確定

2.2節(jié)得到了僅含A的方程組，該方程組同樣屬于非線性方程組，耦合性由A與C耦合轉(zhuǎn)變成了A與AT的耦合。本節(jié)靈活運(yùn)用特征向量的性質(zhì)，通過一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)解耦A(yù)、C后的方程組進(jìn)一步解耦，以得到A的解析表達(dá)式。

由于M1、M2、N1和N2均為單位正交陣，所以其一定存在特征值為1的特征向量，該特征向量考慮方向重合與方向相反時(shí)有2個(gè)，將這些特征向量寫為±pM1、±pM2、±pN1和±pN2。

此時(shí)要求pM1、pM2線性無關(guān)，pN1、pN2線性無關(guān)。

考慮特征向量的性質(zhì)，有式（16）成立：

所以AT*pM1、AT*pM2分別是N1、N2的特征值為1的特征向量。

此時(shí)，在N1、N2的特征向量中，各選擇其中一個(gè)特征向量pNα、pNβ，如果方程有解，則pM1、pM2的夾角和pNα、pNβ的夾角相同，滿足：

將pM1、pM2，pNα、pNβ或pM1、pM2，－pNα、－pNβ看成2個(gè)不同姿態(tài)的剛體上的矢量，同2.1節(jié)的處理方式類似，得出A*、A**。

分別令A(yù)＝A*和A＝A**，并代入到式（15）中來確定A＝A*還是A＝A**。

進(jìn)而得出：

此時(shí)運(yùn)用“特征向量”的性質(zhì)，將耦合的非線性方程組進(jìn)行了解耦，即得到了解出A、C的方法和公式。該處理方式具備一定的啟發(fā)性，可以將該思路推廣到更多維度的未知矩陣解耦標(biāo)定中去。

2.4 一般情形推廣

針對(duì)一般情形，問題可以描述為：

定理 已知以下等式：

則可通過有限次觀測(cè)，來確定A1，A2，…，An。式中：Ai未知且固定，Bi已知且可變，r、View已知且可變。

證明 同第2.1節(jié)的處理類似，通過兩次觀測(cè)將式（24）轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃嚪匠蹋?/p>

令：Pn＝An*Bn－1*…*B2*A2*B1*A1，將矩陣方程式（25）等價(jià)寫為

按照第2.2節(jié)、2.3節(jié)的處理方式，可以得出An和Pn－1的值。因此，可以得出結(jié)論：

已知Pn的值，可以按照一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算得出An和Pn－1的 值，進(jìn) 一 步 通 過Pn－1得 到An－1和Pn－2的值，……，最終得出A1的值。于是將n維安裝解耦，標(biāo)定出所有維度的安裝矩陣。 證畢

3 仿真分析

仿真分析基于2維安裝解耦標(biāo)定，給定某航天器的初始軌道及飛行姿態(tài)、可轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)零位在航天器上的安裝矩陣、可轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于其零位的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣、部分恒星J2000系下的方位數(shù)據(jù)、光學(xué)觀測(cè)器中的星點(diǎn)方位數(shù)據(jù)作為仿真算法的數(shù)據(jù)輸入，另外考慮光學(xué)觀測(cè)器的噪聲影響，對(duì)觀測(cè)噪聲對(duì)最終標(biāo)定結(jié)果的影響定量分析。

仿真流程如圖2所示。

航天器的初始軌道在J2000系下的位置坐標(biāo)為（10，20，－6 778）km，速度矢量為（7，1，0.5）km／s。航天器姿態(tài)保持與軌道坐標(biāo)系重合，航天器運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。

可轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)零位在航天器上的安裝矩陣對(duì)應(yīng)的四元數(shù)為

觀測(cè)器相對(duì)于可轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)的安裝矩陣對(duì)應(yīng)的四元數(shù)為

圖2 仿真流程Fig.2 Simulation process

圖3 航天器三維軌跡Fig.3 Three-dimensional trajectories of spacecraft

可轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于其零位的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣在6次觀測(cè)中分別為

第1次、第2次：

部分恒星的方位數(shù)據(jù)如表1所示，光學(xué)觀測(cè)器中的星點(diǎn)方位數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 恒星方位數(shù)據(jù)（J2000系下單位矢量）Tab le 1 Stellar orientation data（unit vector in J2000 coordinate system）

表2 星點(diǎn)方位數(shù)據(jù)（觀測(cè)器系下單位矢量）Tab le 2 Star orientation data（unit vector in observer coordinate system）

3.1 觀測(cè)無噪聲仿真

在沒有任何誤差時(shí)，按照第2節(jié)的標(biāo)定方法得出的標(biāo)定計(jì)算結(jié)果為

A對(duì)應(yīng)四元數(shù)為

第1節(jié)中的J值為：3.166 183 689 589 54×10－30，幾乎為零。結(jié)果表明A、C的解算結(jié)果qA、qC與真實(shí)值qA0、qC0一致，計(jì)算精度幾乎為零。因此，解耦標(biāo)定方法是正確的，在沒有噪聲干擾的情況下，該方法能夠完全將未知的安裝參數(shù)解出，與理論推導(dǎo)結(jié)論一致。

3.2 觀測(cè)有噪聲仿真

當(dāng)存在觀測(cè)誤差，對(duì)光學(xué)觀測(cè)器的噪聲從0°增加到0.5°，步長(zhǎng)取15″，標(biāo)定誤差隨著噪聲變化的曲線如圖4所示。

圖4 A的標(biāo)定誤差隨觀測(cè)噪聲變化Fig.4 Variation of calibration error of A with observation noise

圖4表明在觀測(cè)噪聲從0°增加到0.5°時(shí)，標(biāo)定方法解出的未知矩陣A對(duì)應(yīng)的四元數(shù)與真實(shí)矩陣A對(duì)應(yīng)的四元數(shù)之間作差時(shí)，其描述2個(gè)四元數(shù)是否接近的角度差呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，基本上標(biāo)定誤差的量級(jí)隨噪聲水平的提高同比增加。

圖5表明在觀測(cè)噪聲從0°增加到0.5°時(shí)，未知矩陣C的標(biāo)定誤差呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，基本上標(biāo)定誤差的量級(jí)隨噪聲水平的提高同比增加。

圖6給出了最小二乘意義上描述標(biāo)定準(zhǔn)確性的J值變化情況，隨著噪聲水平的提高，其值也相應(yīng)的增加，證明噪聲水平越大，對(duì)算法的精度影響越大。

圖5 C的標(biāo)定誤差隨觀測(cè)噪聲變化Fig.5 Variation of calibration error of C with observation noise

仿真給出了無噪聲影響和有噪聲影響下標(biāo)定方法的準(zhǔn)確性。仿真結(jié)果得出了無噪聲影響時(shí)標(biāo)定精度幾乎為零的結(jié)論，證明了標(biāo)定方法的正確性。在觀測(cè)噪聲水平提高時(shí)，仿真結(jié)果表明標(biāo)定方法的精度會(huì)受到觀測(cè)噪聲的影響，基本上影響程度與噪聲水平呈現(xiàn)等量級(jí)關(guān)系。

4 結(jié) 論

1）提出了多維安裝解耦標(biāo)定方法，有助于提高指向控制精度、獲取高精度目標(biāo)信息。

2）針對(duì)多個(gè)串聯(lián)機(jī)械機(jī)構(gòu)安裝標(biāo)定的問題，建立了多維安裝耦合標(biāo)定的矩陣方程，分析了矩陣方程成立應(yīng)當(dāng)滿足的必要條件，通過靈活運(yùn)用“特征向量”的數(shù)學(xué)特性，經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)了未知矩陣參數(shù)之間的解耦，得出了以成像器觀測(cè)為基礎(chǔ)的在軌標(biāo)定數(shù)學(xué)方法，并推廣到n維串聯(lián)安裝標(biāo)定，克服了標(biāo)定方程組內(nèi)部的耦合效應(yīng)。

3）對(duì)解耦標(biāo)定方法進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真分析，建立了仿真計(jì)算流程。從無噪聲仿真中驗(yàn)證的標(biāo)定方法的正確性；從有觀測(cè)噪聲仿真中定量分析了噪聲對(duì)標(biāo)定方法的影響，得出了影響大小與噪聲水平同量級(jí)的結(jié)論。仿真分析證明了多維安裝解耦標(biāo)定方法的有效性、準(zhǔn)確性。

本文的局限性在于由于巧妙使用了特征向量的性質(zhì)，使用的觀測(cè)數(shù)據(jù)需滿足本文規(guī)定的一些條件如相同B矩陣將使用兩次，因此并沒有將所有的觀測(cè)數(shù)據(jù)引入計(jì)算以更大限度地提高計(jì)算精度。未來將在引入任意大量數(shù)據(jù)時(shí)最大化提高計(jì)算精度方面進(jìn)行研究。