石曉航，張慶杰，呂俊偉

（1.海軍大連艦艇學(xué)院，大連116001； 2.空軍航空大學(xué)，長春130022； 3.海軍航空大學(xué)，煙臺(tái)264001）

群系統(tǒng)編隊(duì)控制在很多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，比如監(jiān)視和偵察［1-3］、目標(biāo)搜索和定位［4-7］、中繼通信［8］以及空間探索和資源探測［9-10］等。傳統(tǒng)的編隊(duì)控制方法主要包括：領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者［11-12］、行為方法［13］以及虛擬結(jié)構(gòu)［14］。但從應(yīng)用情況來看，這3種方法依然存在著魯棒性差、行為建模復(fù)雜和通信量大等方面的不足。隨著多智能體一致性理論的發(fā)展，越來越多的學(xué)者開始研究基于一致性算法的分布式編隊(duì)控制方法［15-16］。文獻(xiàn)［15］指出，上述3種傳統(tǒng)方法均可看作是一致性算法的特例。

基于一致性協(xié)議，文獻(xiàn)［17-18］討論了輪式小車的編隊(duì)控制問題。文獻(xiàn)［19］提出了大規(guī)模一階群系統(tǒng)有限時(shí)間編隊(duì)框架。基于一致性線性化反饋方法，文獻(xiàn)［20］研究了無領(lǐng)導(dǎo)者方式的多無人機(jī)編隊(duì)控制問題。進(jìn)一步，文獻(xiàn)［21］研究了多無人機(jī)時(shí)變編隊(duì)控制的分析和設(shè)計(jì)問題，并給出了編隊(duì)形成的充要條件。文獻(xiàn)［15，17-21］的研究對象 主 要 是 低 階 群 系 統(tǒng)，比 如 一 階［17-19］、二階［15，20-21］。假 定 網(wǎng) 絡(luò) 通 信 拓 撲 為 無 向 圖，文獻(xiàn)［22］分析了一類由多個(gè)二階系統(tǒng)串聯(lián)組成的高階群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題。對于有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由于其Lap lacian矩陣的特征值可能存在復(fù)數(shù)，判斷編隊(duì)形成具有一定難度。文獻(xiàn)［23］利用狀態(tài)／輸出反饋，研究了有向通信拓?fù)錀l件下的編隊(duì)形成問題。

上述文獻(xiàn)均假設(shè)理想網(wǎng)絡(luò)通信條件，但在實(shí)際的應(yīng)用中，受到周圍環(huán)境或其他因素的影響，可能出現(xiàn)通信時(shí)延、拓?fù)洳淮_定以及外部擾動(dòng)等情況。文獻(xiàn)［24］通過引入自身時(shí)延，給出了二階群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時(shí)不變／時(shí)變編隊(duì)的充分條件。文獻(xiàn)［25］討論了同時(shí)存在位置時(shí)延和速度時(shí)延條件下的一致性策略和編隊(duì)控制穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［26］采用頻域方法，借助Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)給出了編隊(duì)穩(wěn)定的時(shí)延相關(guān)／非相關(guān)條件。文獻(xiàn)［24-26］均假定固定通信時(shí)延。對于時(shí)變時(shí)延，文獻(xiàn)［27］研究了某型垂直起降無人機(jī)的編隊(duì)控制方法。同時(shí)考慮時(shí)變時(shí)延和有向拓?fù)?，文獻(xiàn)［28］設(shè)計(jì)了二階群系統(tǒng)編隊(duì)控制協(xié)議，同時(shí)討論了時(shí)變時(shí)延對編隊(duì)形成的影響。文獻(xiàn)［29］給出了含有時(shí)變時(shí)延高階群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)的充要條件和編隊(duì)控制器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)［30-31］采用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了通信時(shí)延的邊界條件。文獻(xiàn)［32-33］研究了群系統(tǒng)模型存在范數(shù)有界不確定性情況下的編隊(duì)控制問題。利用魯棒控制理論，得到了群系統(tǒng)編隊(duì)控制穩(wěn)定性條件。針對時(shí)延、拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)條件下的高階群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題，目前的研究成果很少。文獻(xiàn)［34-35］只討論了控制器增益已知情況下的群系統(tǒng)魯棒一致性問題。

本文主要討論一類同時(shí)存在時(shí)變時(shí)延、拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)等復(fù)雜通信條件下的群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題。與已有文獻(xiàn)相比，主要貢獻(xiàn)有：

1）高階線性群系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)［17-21］所討論的群系統(tǒng)大都針對一階或二階積分器，而高階模型不具有一階、二階模型的特殊結(jié)構(gòu)，因此文獻(xiàn)［17-21］方法不適于高階線性群系統(tǒng)。本文方法具有更廣泛的應(yīng)用范圍。

2）同時(shí)考慮時(shí)變時(shí)延、拓?fù)洳淮_定及外部擾動(dòng)等3種通信條件。目前針對復(fù)雜通信條件的編隊(duì)控制問題研究較少，僅有文獻(xiàn)［34-35］討論了3種通信條件同時(shí)存在的群系統(tǒng)一致性可行性問題，且沒有給出控制器增益的求解方法。

3）低保守性。文獻(xiàn)在分析編隊(duì)所允許的最大時(shí)延上界時(shí)采用了Lyapunov穩(wěn)定性方法，所得結(jié)果是充分條件，具有一定的保守性。不同于文獻(xiàn)［30-31］方法，本文將自由權(quán)矩陣引入分析過程中，使所得結(jié)果具有較低的保守性。

本文首先簡要介紹了圖論知識和相關(guān)引理；并建立了一類復(fù)雜通信條件下高階線性群系統(tǒng)編隊(duì)問題的數(shù)學(xué)描述，同時(shí)設(shè)計(jì)了基于一致性算法的編隊(duì)控制協(xié)議。然后給出了群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)的充要條件，利用Lyapunov-Krasovskii泛函分析方法得到群系統(tǒng)編隊(duì)所允許的最大時(shí)延上界和控制器增益求解方法。最后利用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，對所提出方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 圖論知識及相關(guān)引理

1.1 圖論知識

1.2 相關(guān)引理

引理1［36］圖G的Laplacian矩陣L至少有一個(gè)0特征值，且向量1是0特征值所對應(yīng)的右特征向量，即L1＝0。如果圖G是一個(gè)有向圖，且含有一個(gè)有向生成樹（至少存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)都有一條有向路徑），則0是L的單特征值，其余的非零特征值均具有正實(shí)部。

引理2［37］如果矩陣Y∈RN×N的各行和均為 零，則 存 在 矩 陣 Z∈RN×（N－1）和 矩 陣 E∈R（N－1）×N使得Y＝ZE，E的定義為

如果0是矩陣Y的單特征值，那么矩陣Z是列滿秩的。

引理5［40］給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q ＝QT、H和E，則Q＋HF（t）E＋ETFT（t）HT＜0，對所有滿足FT（t）F（t）≤I都成立的充要條件是存在一正數(shù)ε＞0使得Q ＋ε－1HHT＋εETE ＜0成立。

引理6［41］對矩陣X∈Rm×n和矩陣Y∈Rn×m（n≥m），二者乘積滿足如下性質(zhì)：①若λ是矩陣XY的特征值，則λ也是矩陣YX的特征值。②若λ≠0是矩陣YX的特征值，則λ也是矩陣XY的特征值。③若λ1，λ2，…，λm是矩陣XY的特征值，則矩陣YX的n個(gè)特征值為λ1，λ2，…，λm，0，…，0。

2 問題描述

2.1 高階線性群系統(tǒng)模型

2.2 編隊(duì)控制協(xié)議

3 主要結(jié)果

3.1 編隊(duì)形成的充要條件

針對高階線性群系統(tǒng)的編隊(duì)形成問題，本文主要考慮如下3種通信約束。

假設(shè)1 時(shí)變時(shí)延dt滿足：

式中：ˉdt和μ為常數(shù)，且0＜μ＜1。

假設(shè)2 拓?fù)洳淮_定性。若用鄰接矩陣的變化量ΔW ＝［Δwij］∈RN×N來描述通信拓?fù)洳淮_定性，則有

式中：矩陣E的定義由引理2給出。

由引理1、引理2可知，存在列滿秩矩陣Z∈RN×（N－1）及ΔZ∈RN×（N－1），使 得L＝ZE，ΔL＝ΔZE，對式（12）求導(dǎo)得到

考慮J和ΔJ的結(jié)構(gòu)，閉環(huán)系統(tǒng)（16）等價(jià)于定理1的條件3中的N－1個(gè)閉環(huán)子系統(tǒng)，其中λi（i＝1，2，…，N－1）表示矩陣EZ的特征值，由引理1和引理6可知，矩陣EZ的特征值與矩陣L的非零特征值相同，因此λi（i＝1，2，…，N－1）也是矩陣L的N－1個(gè)非零特征值。由上述推導(dǎo)可知條件3也是必要的。

充分性 因?yàn)榫仃嘊是列滿秩矩陣，由引言可知，存在一個(gè)非奇異矩陣～B＝［～BT1，～BT2］T，滿足～B1B＝I且～B2B＝0。

如果條件1和條件2成立，則有

3.2 K2的設(shè)計(jì)

定理2 考慮復(fù)雜條件（4）、（5）和（6），若存在適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣ˉP＝ˉPT＞0，ˉQ＝ˉQT≥0，ˉR＝ˉRT＞0，ˉV以及常數(shù)a和b（b≠0），ε＞0，使得下式成立：

接下來將分別討論?⌒（t）≠0和?⌒（t）＝0兩種情況。

由引理4可知，式（27）與式（28）同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)

根據(jù)引理3，式（30）等價(jià)于

通過上述整理可知，如果不等式（31）成立，則不等式（26）成立，即閉環(huán)系統(tǒng)（10）在非零的?i（t）擾動(dòng)條件下，具有給定的H∞性能指標(biāo)γ。

基于上述的討論，可以利用如下的算法對編隊(duì)控制協(xié)議（2）進(jìn)行設(shè)計(jì)，使群系統(tǒng)（1）在時(shí)變時(shí)延、通信拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)條件下，滿足給定的H∞性能指標(biāo)。

算法1 對于群系統(tǒng)（1）和編隊(duì)控制協(xié)議（2），控制器增益K1和K2，以及輔助函數(shù)vi（t）（i＝1，2，…，N）的設(shè)計(jì)可以參照如下步驟：

步驟1 判斷定理1的條件1中式（8）是否成立，若成立，則通過條件2的式（9）求解出編隊(duì)輔助函數(shù)vi（t）。

步驟2 選取適當(dāng)?shù)目刂破髟鲆鍷1，令A(yù)＋BK1的特征值在復(fù)平面上的指定位置，完成對編隊(duì)中心運(yùn)動(dòng)模態(tài)c（t）的配置。

步驟3 根據(jù)定理2，可以求出a、b和時(shí)延上界ˉdt，進(jìn)而得到控制器增益K2。同時(shí)，利用參數(shù)a和b，還可以得到不同時(shí)延下對應(yīng)的控制器增益K2。

4 數(shù)值仿真

假設(shè)1個(gè)群系統(tǒng)由8個(gè)主體組成，各個(gè)主體之間的通信拓?fù)銰如圖1所示。

圖1 通信拓?fù)銰Fig.1 Communication topology G

形成編隊(duì)之后，8個(gè)主體會(huì)分布在一個(gè)橢圓形的圓周上，組成一個(gè)八邊形并圍繞橢圓的圓心旋轉(zhuǎn)。

利用算法1中的步驟1，可以求解出編隊(duì)輔助函數(shù)為

選取K1＝［5.75，－8.5，－8］將A＋BK1的極點(diǎn)配置在－2、－1＋i和－1－i。這時(shí)，編隊(duì)參考c（t）是靜止的。設(shè)定γ＝1.4，利用算法步驟3，得到時(shí)變時(shí)延上界為ˉdt＝1.7 s。選取時(shí)變時(shí)延為dt＝1.2＋0.5sin t s，此時(shí)，得到的控制器增益為

K2＝［－0.016 4，0.0141，0.0084］。

各主體的初始狀態(tài)分別為：xi1（0）＝4（δ－0.5），

xi2（0）＝3（δ－0.5），xi3（0）＝2（δ－0.5）（i＝1，

2，…，8），其中δ為（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)。通信拓?fù)涞牟淮_定性為ΔL＝0.9sin t L，外部擾動(dòng)ωi（t）取［－2，2］之間的隨機(jī)數(shù)。仿真時(shí)間為50 s，假設(shè)通信拓?fù)涞牟淮_定性始終存在，并在25～27 s加入外部擾動(dòng)。圖2（a）～（f）給出了8個(gè)主體的狀態(tài)和c（t）的狀態(tài)在不同時(shí)刻的截圖，以及8個(gè)主體的編隊(duì)構(gòu)型。從圖中可以看出，本文設(shè)計(jì)的編隊(duì)控制協(xié)議可以使群系統(tǒng)在具有時(shí)變時(shí)延、通信拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)的條件下形成時(shí)變編隊(duì)。在出現(xiàn)外部擾動(dòng)時(shí)，8個(gè)主體的隊(duì)形受到了一定的影響，但擾動(dòng)消失之后仍能重新形成指定的時(shí)變編隊(duì)并保持穩(wěn)定。圖3（a）～（c）分別給出了各主體的3個(gè)狀態(tài)與編隊(duì)相應(yīng)狀態(tài)差值的曲線，各主體3個(gè)狀態(tài)與參考編隊(duì)相應(yīng)狀態(tài)分量的差值曲線逐漸減小并趨于一致，在外部擾動(dòng)出現(xiàn)之后，各主體的誤差一致性受到了一定的影響，但各主體能迅速地調(diào)整各自狀態(tài)并恢復(fù)指定的編隊(duì)。從仿真結(jié)果可以看出，本文的控制方法具有抗擾動(dòng)的性能，可以有效地抑制時(shí)變時(shí)延、通信拓?fù)洳淮_定及外部擾動(dòng)對群系統(tǒng)編隊(duì)形成產(chǎn)生的影響，能保證群系統(tǒng)形成時(shí)變編隊(duì)并保持隊(duì)形穩(wěn)定。

圖2 8個(gè)主體的狀態(tài)和c（t）的狀態(tài)在不同時(shí)刻的截圖Fig.2 Snapshot of states of eight agents and c（t）at differentmoments

圖3 主體與編隊(duì)的狀態(tài)差值曲線Fig.3 State curves of differences between agents and formation

圖4 8個(gè)主體的性能指標(biāo)曲線Fig.4 Performance index curves of eight agents

5 結(jié) 論

本文討論存在時(shí)變時(shí)延、通信拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)的高階線性群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題，具體結(jié)論如下：

1）給出了群系統(tǒng)在給定的H∞性能指標(biāo)下，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)H∞控制的充要條件。

2）采用變量代換，將群系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題，轉(zhuǎn)化為具有外部擾動(dòng)時(shí)延系統(tǒng)的H∞控制問題。通過構(gòu)造公共Lyapunov-Krasovskii泛函，討論了具有外部擾動(dòng)時(shí)延系統(tǒng)的H∞控制問題，得到了保守性較小的LMI判據(jù)，利用數(shù)值計(jì)算方法，可得到群系統(tǒng)允許的時(shí)延上界。