唐慰康

摘要：教師在教學(xué)中，不要留遺憾，不要留后患。每教一個(gè)新概念、新定義、定理、公式、法則等，給學(xué)生的第一印象就要是準(zhǔn)確的、是本質(zhì)的，讓學(xué)生切實(shí)把握住其內(nèi)涵，以區(qū)別其他概念。要讓學(xué)生切實(shí)掌握其內(nèi)在的獨(dú)特性質(zhì)，別讓非本質(zhì)屬性掩蓋了本質(zhì)屬性，真正讓學(xué)生運(yùn)用本質(zhì)屬性去解題。

關(guān)鍵詞：解析幾何題;困惑;啟示

一、題目

過橢圓C： ? ? + ? ? ?=1的右焦點(diǎn)F且傾斜角互補(bǔ)的兩條直線L1、L2，L1交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，L2交橢圓C于C、D兩點(diǎn)，求△AFC的面積S的最大值。

此題是某校高三年級(jí)一次模擬考試的壓軸題，學(xué)生感到無可奈何，中途放棄者多。

二、學(xué)生的困惑

學(xué)生一看題目，題意非常明白，但求解困難，大部分學(xué)生束手無策。仔細(xì)審題，△AFC的邊長(zhǎng)和高都未知，而要解此題必須求出△ACF的面積表達(dá)式，這就存在一個(gè)選擇誰作底邊的問題。若選擇邊AF（或CF）作底邊，而熟知的弦長(zhǎng)公式：|MN|= ? ?1 + k2

（x1+x2）2 -4x1x2 ? ……又用不上，因?yàn)樗鼈兌疾皇乔€的弦長(zhǎng)?？磥碇缓眠x擇邊AC（或BD）作底邊，可以用上弦長(zhǎng)公式，于是就設(shè)直線AC的方程為y=kx+m，選點(diǎn)F到直線AC的距離d作高來列面積表達(dá)式。這個(gè)思路是對(duì)的，但按這種思路做下去，步驟多，過程冗長(zhǎng)，又要消參，又要求最值，多數(shù)學(xué)生半途而廢，即使個(gè)別學(xué)生能堅(jiān)持做下去，也未得出準(zhǔn)確的答案，因此此題的得分率極低。到底有沒有簡(jiǎn)單一點(diǎn)的解法？有。（注：把按上述思路的解法稱為解法一）

三、一種簡(jiǎn)潔的解法

換一個(gè)角度進(jìn)行思考，選擇邊AF作底邊，則有下面簡(jiǎn)單一點(diǎn)的“解法二”。

解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），易得F（1，0）

設(shè)直線AB的方程為x=ty+1（t>0），代入 ? ? ? +

=1，消去x，得（3t2+4）y2+6ty-9=0，顯然有△>0，則有y1·y2= ? ? ? ? ?……（A），又|AF|= ?1+t2·|y1-0| （注：這是關(guān)鍵的一步。也可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）），這時(shí)|AF|= ? ?1 + k2 ?·|x1-1|，其實(shí)此式可視為公式（1）中的x2=1）。

又因直線AB和CD的傾斜角互補(bǔ)，所以點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x2，-y2），點(diǎn)C到直線AB的距離d= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=

，所以△AFC的面積S= ? |AF|·d= ? ? ?1+t2· ? ? ?|y1|· ? ? ? ? ? ? ? = t|y1y2| ? 。 將（A）式代入，得S= ? ? ? ? ? ? ?=

= ? ? ? ? ? ≤ ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ，當(dāng)且僅當(dāng)3t= ? ? ，即t=± ? ? ? ? ，因t>0，故舍去- ? ? ? ? ?，所以△AFC的面積S的最大值為 ? ? ? ? ? ?。這樣的解答不是很簡(jiǎn)單嗎？

為什么學(xué)生想不到簡(jiǎn)單一點(diǎn)的解法，如解法二，而只一味地選用解法一呢？

四、尋覓錯(cuò)因

筆者認(rèn)為，這是學(xué)生對(duì)公式 |MN|= ? 1+k2

（x1+x2）2-4x1x2 ……（1）的理解有誤，誤認(rèn)為公式只能用于求曲線的弦長(zhǎng)（好多資料上命名為弦長(zhǎng)公式），誤解了這個(gè)公式使用的前提條件是直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，才導(dǎo)致學(xué)生前面的解法只選邊AC作底邊，而不選邊AF（或CF）作底邊。因?yàn)檫匒F（或CF）都不是橢圓的弦長(zhǎng)，用不上弦長(zhǎng)公式。

其實(shí)，弦長(zhǎng)公式是由公式：|MN|= ? ?1+k2·|x1-x2| ……（2）推來的（注：把（2）變?yōu)椋?）是為了后面解題能用上韋達(dá)定理，因?yàn)榇罅康慕馕鲱}要用上韋達(dá)定理）。這兩個(gè)公式是等價(jià)的，使用的前提條件也是一樣的。顯然，公式（2）使用的前提條件是：只要M、N兩點(diǎn)在某一斜率為K的直線上即可，所以，公式（1）的使用的前提條件也是這樣。

例如：斜率為2的直線L上的M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1，3，

則|MN|=______

用公式（2）求得|MN|= ? 1+22|-1-3| =4 ? 5 ?;

用公式（1）求得|MN|= ? 1+22 ? ? ?（-1+3）2-4（-1）×3

=4 ? 5

此例說明公式（1）不是只能求圓錐曲線的弦長(zhǎng)。

由于學(xué)生對(duì)公式（1）的理解有誤，才導(dǎo)致學(xué)生解上述題目時(shí)，吊死在以邊AC（或BD）為底邊的這棵樹上。

表面看來問題出在學(xué)生身上，其實(shí)根源還是在教師身上。一方面，老師在教授公式時(shí)，沒給學(xué)生講清楚公式的本質(zhì)屬性及使用的前提條件，致使學(xué)生產(chǎn)生誤解，認(rèn)為公式（1）只限于求曲線的弦長(zhǎng)。另一方面，老師講公式的應(yīng)用時(shí)，強(qiáng)化了應(yīng)用公式（1）求弦長(zhǎng)的訓(xùn)練，弱化了求非弦長(zhǎng)的訓(xùn)練或者根本就沒講過求非弦長(zhǎng)，致使學(xué)生不會(huì)用公式去表示|AF|。退一步說，如果老師把學(xué)生教活了，不用公式（1）（2），直接運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，也可以求出|AF|的表達(dá)式。

還有一種可能的原因，就是教師本身也像學(xué)生一樣誤認(rèn)為公式（1）只能用于求曲線的弦長(zhǎng)。

五、一點(diǎn)啟示

教師在教學(xué)中，不要留遺憾，不要留后患。每教一個(gè)新概念、新定義、定理、公式、法則等，給學(xué)生的第一印象就要是準(zhǔn)確的、是本質(zhì)的，讓學(xué)生切實(shí)把握其內(nèi)涵，以區(qū)別其他概念。教師要讓學(xué)生切實(shí)掌握數(shù)學(xué)內(nèi)在的獨(dú)特性質(zhì)，別讓非本質(zhì)屬性掩蓋了本質(zhì)屬性，真正讓學(xué)生運(yùn)用本質(zhì)屬性去解題。

（責(zé)任編輯：奚春皓）