池賢利

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（Psychology of Mathematics Education，縮寫為PME）屬于數(shù)學(xué)、心理學(xué)和教育學(xué)的交叉學(xué)科，側(cè)重研究在數(shù)學(xué)課堂中，將教師的教學(xué)心理活動與學(xué)生的學(xué)習(xí)心理活動有機(jī)結(jié)合. 不少數(shù)學(xué)教育家認(rèn)為，PME將是未來一段時(shí)間內(nèi)數(shù)學(xué)教育的主要研究領(lǐng)域. 近年來，核心素養(yǎng)提出后，中小學(xué)及高校的一線教師、研究者從PME視角審視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)并提出各種建議，也有研究者以PME視角對某些教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)加以改進(jìn)，取得不錯(cuò)的效果.

一、PME視角下《運(yùn)用平方差公式分解因式》教學(xué)設(shè)計(jì)的重構(gòu)

筆者近期參加了一次廣東省名教師工作室成員到延安市的教學(xué)交流活動，在異地教學(xué)的同課異構(gòu)活動中，執(zhí)教了人教版八年級上冊14.3因式分解第1課時(shí)《運(yùn)用平方差公式分解因式》一課. 以此課為例，探討一下從PME視角重構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)的思考.

（一）上課熱身：巧拋速算法，逆向思考引新知

第一次設(shè)計(jì)：你能在10秒內(nèi)計(jì)算出20202-20192的結(jié)果嗎？

本設(shè)計(jì)的意圖是，通過搶答游戲比較常規(guī)算法和逆用平方差公式計(jì)算的簡便性，調(diào)動學(xué)生上課積極性，同時(shí)引出學(xué)習(xí)公式法分解因式的必要性. 再三斟酌后發(fā)現(xiàn)：有學(xué)生可以脫口而出算式的得數(shù)，但未必如預(yù)設(shè)一樣，能引起學(xué)生深入思考. 考慮到異地上課的學(xué)生也比較優(yōu)秀，因此此設(shè)計(jì)調(diào)整如下：

第二次設(shè)計(jì)：你能在20秒內(nèi)計(jì)算出1002-992+982-972+962-952+…+22-12的結(jié)果嗎？

教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)：此問題能充分吸引學(xué)生的上課注意力，造成認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生積極思考，但是他們很難在限定時(shí)間內(nèi)回答出來，達(dá)到了熱身激趣的效果，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)欲望，帶著問題進(jìn)入后續(xù)的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié).

（二）新課探究：精設(shè)問題鏈，尋求知識生長點(diǎn)

第一次設(shè)計(jì)：先分解因式（1）2x3-4x，（2）（a-b）2-3（a-b）;再計(jì)算（1）（a+b）（a-b），（2）（x+5）（x-5），（3）（3x+y）（3x-y）.

此設(shè)計(jì)的意圖是先復(fù)習(xí)上節(jié)課的提公因式法，再通過計(jì)算幾個(gè)有規(guī)律多項(xiàng)式乘法的例子，通過比較前后結(jié)果得到a2-b2=（a+b）（a-b）. 試講后發(fā)覺這樣的引入方式表面上看似乎強(qiáng)調(diào)了整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，卻在本質(zhì)上忽視了因式分解的目的與意義，學(xué)生很容易出現(xiàn)“展開后分解，分解后再展開”的循環(huán)現(xiàn)象. 從本質(zhì)上看，學(xué)生只是模仿操作，盲目被動，不明白因式分解的真正作用. 考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，借助于幾何圖形對公式作了直觀解釋，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一，能讓學(xué)生更好地理解公式，因此教學(xué)設(shè)計(jì)調(diào)整如下：

第二次設(shè)計(jì)：如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，你能用含有字母a、b的式子表示出陰影部分的面積嗎？

本設(shè)計(jì)的意圖是，讓學(xué)生通過等積法可以比較直觀地得到公式. 但是磨課討論時(shí)，發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)問題.（1）用a、b表示圖形的面積，只能取正值，不能和代數(shù)式中a、b的任意取值一致，邏輯上存在問題.（2）可能出現(xiàn)的結(jié)果比較多，課堂狀態(tài)不好把握. 如果一一證明，時(shí)間不夠，也沖淡了本節(jié)課的重點(diǎn);如果不證明，囫圇吞棗，不足以說明結(jié)論的成立.

經(jīng)過反復(fù)的磨課和工作室導(dǎo)師的指導(dǎo)，對教學(xué)設(shè)計(jì)再次作出調(diào)整.

第三次設(shè)計(jì)：在熱身活動后教師以問題鏈的形式復(fù)習(xí)引入.

問題1：什么是因式分解？

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學(xué)生回答因式分解的概念，課件呈現(xiàn)圖2.

問題2：從運(yùn)算的結(jié)果來看，多項(xiàng)式是什么運(yùn)算？因式分解呢？

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教師引導(dǎo)學(xué)生分析多項(xiàng)式是加減的形式，因式分解的結(jié)果是乘法的形式，課件呈現(xiàn)圖3.

問題3：我們學(xué)過的因式分解有什么方法？什么條件下使用？

學(xué)生回答學(xué)過提公因式法，需要多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式（即相同因式）的時(shí)候可以使用，如：pa+pb+pc=p（a+b+c）.

問題4：若沒有相同的因式怎么辦？難不難？

如：4x2-9=？×？

教師引導(dǎo)分析：難. 難在式子由“加減”變形為“乘法”的形式?jīng)]有現(xiàn)成的“工具”可以使用. 接著引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想等號的作用就像天平，一邊不行換另一邊，轉(zhuǎn)換思路嘗試一下.

問題5：一個(gè)式子從“乘法”變成“加減”形式難不難？

教師引導(dǎo)分析：不難. 有許多的“工具”如運(yùn)算法則、乘法公式等.

問題6：老師檢測一下同學(xué)們的記憶力. 下邊的幾個(gè)式子如果給出右邊，你能憑記憶寫出左邊的式子嗎？

（1）_____=ab+b2

（2）_____=6a2+3ab

（3）_____=6ab+2b2

（4）_____=a2-b2

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)問題6一旦提出來，學(xué)生立即有了思維沖突，第（4）個(gè)式子學(xué)生可能可以回答上來，其他三個(gè)會感到比較困難.

教師引導(dǎo)分析：為什么能記住式子（4），而對其他三個(gè)感到困難？因?yàn)槭阶樱?）的形式比較常見，從而固化成了平方差公式，接著進(jìn)行平方差公式的結(jié)構(gòu)特征分析.

本設(shè)計(jì)運(yùn)用“問題結(jié)構(gòu)”推進(jìn)教學(xué)，前一個(gè)問題解決了，又自然產(chǎn)生新的問題，這些問題環(huán)環(huán)相扣，形成一種思維導(dǎo)向的結(jié)構(gòu)，當(dāng)所有問題都解決，運(yùn)用平方差公式分解因式的意義就明確了. 教師以問題帶著學(xué)生前行，學(xué)生就有了學(xué)習(xí)的目標(biāo)，有了學(xué)習(xí)的動力，而且前后自然聯(lián)系，在探究的過程中不斷產(chǎn)生新的問題，這些問題吸引著學(xué)生朝著目標(biāo)問題層層深入，步步推進(jìn)，導(dǎo)向清晰，目標(biāo)明確，學(xué)生獲得成功的喜悅，教師也能分享其中的樂趣.

李士锜教授曾指出，學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則時(shí)，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，才是真正的理解. 在前兩次的設(shè)計(jì)中，對于學(xué)生來說，無論是復(fù)習(xí)回顧還是利用面積探究公式，教學(xué)活動都顯得被動而生硬，甚至不知“平方差公式等號兩邊的換位”學(xué)有何用;在學(xué)生的心理層次方面，沒有真正收獲知識的成就感，在沒有真正地理解與接受的前提下，被動地吸收了知識，不利于學(xué)生自身知識體系的構(gòu)建與鞏固. 相比之下，在 PME 理論的指導(dǎo)下進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過靈活地設(shè)置一系列的問題鏈，學(xué)生對于“運(yùn)用平方差公式分解因式”的理解變得合情合理、有據(jù)可依，從而有利于后繼學(xué)習(xí)的拾階而上.

（三）公式應(yīng)用：精講典型例題，變式訓(xùn)練強(qiáng)認(rèn)知

第一次設(shè)計(jì)：因式分解題組1：（1）x2-4;（2）9x2-4y2;（3）-4y2+9x2;（4）25x2-■y2;（5）9（m+n）2-（m-n）2.

因式分解題組2：（1）x2-4;（2）2x2-8;（3）2x3-8x.

本設(shè)計(jì)題組1意在通過變系數(shù)、變符號等一系列變式訓(xùn)練，讓學(xué)生熟練掌握a2-b2=（a+b）（a-b）的分解. 題組2意在通過變式訓(xùn)練讓學(xué)生綜合掌握提公因式法和平方差公式法.

第二次設(shè)計(jì)：因式分解題組1：（1）4x2-9;（2）（x+p）2-（x+q）2.

因式分解題組2：（1）x4-y4;（2）a3b-ab.

本設(shè)計(jì)主要是依綱靠本，題組1側(cè)重整體思想的滲透. 題組2側(cè)重多次分解的訓(xùn)練.

根據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論，要最大限度促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既要保證降低外部認(rèn)知負(fù)荷，又要在學(xué)生可接受范圍內(nèi)最大化內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷. 因此，變式訓(xùn)練不是低水平的重復(fù)，不僅僅要體現(xiàn)題目的改變，還要順勢而為，由簡單到復(fù)雜，公式中的a、b由單項(xiàng)式變?yōu)槎囗?xiàng)式，由“直接運(yùn)用平方差公式分解”到“結(jié)合式子特征靈活選用分解方法”，這樣才能更好地提升思維水平. 故再次將教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行修改，如下為第三次設(shè)計(jì)：

1. 因式分解題組1：（1）4x2-9;（2）（x+p）2-（x+q）2.

2. 因式分解題組2：（1）mx4-my4;（2）2a3b-8ab.

3. 速算解疑. 你能在20秒內(nèi)計(jì)算出1002-992+982-972+962-952+…+22-12的結(jié)果嗎？

本設(shè)計(jì)中，前兩部分的分解因式，在課本原例題的基礎(chǔ)上改變了系數(shù)，有的是增加了字母系數(shù)，有的是增加了數(shù)字系數(shù)，使得題目并不是直接使用平方差公式進(jìn)行因式分解. 這樣調(diào)整后，學(xué)生的認(rèn)識就不只是停留在單一記憶和機(jī)械掌握的水平，而是以主動積極的心態(tài)投入有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，以整體綜合的方式把握因式分解的方法，培養(yǎng)了學(xué)生判斷與選擇的自覺意識，有利于提高學(xué)生整體綜合和靈活敏捷的思維品質(zhì).

第三部分，回應(yīng)了課前熱身活動的速算題. 學(xué)生學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容后，容易看出原題實(shí)際是由若干組平方差式子構(gòu)成的，運(yùn)用公式分解因式便能速算得到結(jié)果，前后呼應(yīng)有助于學(xué)生體會學(xué)以致用的喜悅.

（四）拓展提高：增縱橫聯(lián)系，多重表征促理解

第一次設(shè)計(jì)：如圖（前文圖1所示），在邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，你能用含有用字母a、b的式子表示出陰影部分的面積嗎？

在現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中，知識在學(xué)習(xí)者頭腦中的呈現(xiàn)和表達(dá)方式稱為知識的表征. 對于公式的表征方式一般有3種：由字母符號組成的表達(dá)式，文字語言的表述，圖形語言. 一般而言，學(xué)生對公式的表征更傾向于選擇表達(dá)式的方式. 如能讓學(xué)生學(xué)會用不同方式表征一個(gè)公式，則能促其深層次地理解公式的內(nèi)涵本質(zhì). 本設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生通過幾何方法驗(yàn)證平方差公式的合理性，借助幾何圖形與數(shù)形結(jié)合思想，對公式再次表征，加深學(xué)生對公式的理解.

除此之外，拓展環(huán)節(jié)還應(yīng)幫助學(xué)生建立知識之間的橫向縱向聯(lián)系，要讓學(xué)生看到樹木之余，更要讓其看到森林，這樣才能促其建立整體的學(xué)習(xí)觀. 考慮到與后繼知識的聯(lián)系，可增加通過分解因式可解的三次方程.

第二次設(shè)計(jì)：

拓展活動1：你會解下面的方程嗎？

2x3-8x=0

拓展活動2：如圖（前文圖1所示），在邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，你能用含有用字母a、b的式子表示出陰影部分的面積嗎？

本設(shè)計(jì)增加了解高次方程環(huán)節(jié). 這樣調(diào)整更能凸顯通過因式分解實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式“降次”的作用，突出了因式分解知識與其他數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在的聯(lián)系. 教師教學(xué)看問題的層次越高，就越有利于學(xué)生在知識學(xué)習(xí)過程中的整體感悟與靈活運(yùn)用. 拓展活動2可讓學(xué)生從幾何角度體會公式含義，可用多種割補(bǔ)方法表示面積，此活動不一定能在課堂上完成，但是教學(xué)留有余地，猶如一個(gè)省略號，給學(xué)生自由發(fā)揮的空間，或能讓課堂意猶未盡.

二、教學(xué)反思

公式的教學(xué)過程，對教師而言，把公式的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的實(shí)施過程;對于學(xué)生而言，則是借助經(jīng)驗(yàn)、方法，將原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化為新公式的過程. 綜觀本節(jié)課的磨課與教學(xué)過程，筆者從一開始著眼于一節(jié)課、一個(gè)知識點(diǎn)、一種方法、一組練習(xí)的教學(xué)效果，簡單生硬地引入，到從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，分析怎樣由提公因式自然地聯(lián)想到平方差公式，整體設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)了對數(shù)學(xué)知識的單元遞進(jìn)教學(xué);從最初設(shè)計(jì)時(shí)的學(xué)生反復(fù)機(jī)械練習(xí)，到正式上課時(shí)采用“問題導(dǎo)學(xué)法”，遵循“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，以數(shù)學(xué)活動為主線”的指導(dǎo)思想，深度挖掘縱向知識間的聯(lián)系，提升學(xué)生思維. 這樣重構(gòu)設(shè)計(jì)，讓教學(xué)的層次產(chǎn)生了質(zhì)的變化. 同時(shí)，整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)更加注重學(xué)生學(xué)習(xí)積極性與好奇心的調(diào)動，注重讓學(xué)生內(nèi)化、體悟，充分暴露思維過程，引導(dǎo)學(xué)生一步步地去思考、表達(dá)，促其提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)注教與學(xué)的心理活動，更加有利于學(xué)習(xí)質(zhì)效的提升，這是不少教師的共識. 跨學(xué)科的研究未來教育趨勢，PME正是研究的一個(gè)極佳視角，數(shù)學(xué)教師不妨多作嘗試，將其滲透到更多的教學(xué)活動中.

注：本文系2019年廣州市教育研究院課題“運(yùn)用西蒙數(shù)學(xué)理論提高初中派位生核心素養(yǎng)的研究”（課題編號：GZJYTY2019—035）階段性成果.

責(zé)任編輯 羅 峰