徐博，劉斌*，劉德政，崔耀虎，鄧偉

1 哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001

2 天津津航技術物理研究所，天津 300192

0 引 言

由于慣導系統(tǒng)工作環(huán)境的復雜性，加速度計信號在采集和傳輸過程中不可避免地存在噪聲，而如何去除加速度計數(shù)據(jù)中的噪聲分量，成為捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)（以下簡稱“捷聯(lián)慣導系統(tǒng)”）中數(shù)據(jù)處理的一項關鍵技術。本文將從艦船捷聯(lián)慣導系統(tǒng)對加速度參數(shù)高分辨率、寬動態(tài)范圍的設計要求入手，研究并完成艦船慣導加速度計輸出信號的高精度采集與處理工作。對慣導系統(tǒng)而言，慣性器件的測量精度不僅包括相關慣性元件本身的精度，還包括其數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的精度，如何利用小波分析在信號處理中的優(yōu)越性來實現(xiàn)慣導信號的高精度采集與處理，已成為慣性技術領域的一個研究熱點和方向。

在捷聯(lián)慣導系統(tǒng)中，機械結構諧振、傳感器噪聲和溫度漂移等都是影響導航精度的主要原因，如何消除慣導系統(tǒng)在信號采集過程中產(chǎn)生的噪聲影響成為實現(xiàn)高精度導航的關鍵[1]。目前，在此系統(tǒng)中通常采用FIR濾波[2]、最小均方（LMS）[3]、維納（Wiener）濾波[4]、卡爾曼濾波（Kalman filter）[5]、粒子濾波（particle filter）[6]等方法對慣導加速度計信號進行降噪處理。其中，F(xiàn)IR濾波可以對信號進行線性相位濾波，可通過設計數(shù)字濾波器的方式將信號與噪聲分離，然后保留某一頻段內的信號作為輸出。但這種方法只適用于有用信號和噪聲的頻譜沒有重疊的情況，而且所需要的濾波器階數(shù)較高，這會使得整個處理過程計算量較大，很難滿足系統(tǒng)實時性的要求[7]。

小波降噪理論在近幾年得到了迅猛發(fā)展。1994年，Donoho正式解釋了“小波降噪”的含義，即通過對小波系數(shù)進行閾值量化處理來實現(xiàn)分層濾波的效果[8]。Mallat是最早將計算機理論中的多尺度分析思想引入小波分解過程中的人，并于1994年提出了小波分解與小波重構的快速算法，也即Mallat算法[9]。隨后，斯坦福大學以Donoho為首的學術團體又提出了小波閾值濾波算法，并取得了大量的理論及實際應用成果[9]。

基于上述研究，本文擬提出一種新型的小波閾值降噪算法，該算法能對信號中的高斯白噪聲等噪聲進行有效濾除，并能在一定程度上避免經(jīng)典去噪方法造成的信號高頻部分信息丟失，可滿足信號處理的實時性要求。

1 小波去噪理論

1.1 小波閾值去噪方法

小波閾值濾波的原理是：通過小波分解，在小波域內把有用信號的能量集中在一些幅值較大的小波系數(shù)上，而白噪聲的能量卻分布在整個小波域內，且分解后有用信號的小波系數(shù)幅值要大于噪聲信號的系數(shù)幅值。因此，應通過在不同尺度上選取合適的閾值來對小波系數(shù)進行處理，若小波系數(shù)小于該閾值，則判斷為噪聲分量，將其置零，保留大于該閾值的小波系數(shù)，從而實現(xiàn)對噪聲的抑制。最后，進行小波逆變換，完成信號的小波重構過程。

含噪的一維信號模型可表示為如下形式：

由圖1可知，小波閾值去噪過程的一般步驟如下[10]：首先，對原始含噪信號進行多尺度的小波分解；然后，根據(jù)信號特征計算得到各尺度下的小波閾值估計值，并對各分解尺度下的小波系數(shù)進行閾值量化處理；最后，將完成閾值處理后的各層小波系數(shù)進行重構運算，得到去噪后的輸出信號。在這3個步驟中，最關鍵的步驟是閾值估計以及如何對小波系數(shù)進行閾值處理，在某種程度上，它關系到信號降噪的質量。

圖 1 小波去噪流程圖Fig. 1 Flow chart of wavelet denoising

1.2 改進型小波閾值濾波

小波閾值濾波的關鍵在于閾值估計以及閾值函數(shù)的選取。目前，常用的閾值處理方法有2種：硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。

硬閾值函數(shù)[11]：

圖 2 3種閾值函數(shù)對比Fig. 2 Comparison of three threshold functions

利用不同閾值函數(shù)對同一噪聲信號進行處理，處理結果如圖3所示，并將不同閾值函數(shù)處理所得誤差進行對比，如圖4所示。

利用各種閾值函數(shù)對Heavisine信號去噪后的信噪比（signal to noise ratio，SNR）和均方根誤差（root mean squared error，RMSE）如表1所示。

從圖3、圖4和表1中可以看出：硬閾值函數(shù)去噪后的波形中存在較多毛刺，信號平滑性較差；通過軟閾值函數(shù)處理得到的信號波形雖然光滑，但信號重構精度較差，信噪比較低；利用新型閾值函數(shù)處理得到的信號較為光滑，SNR和RMSE均優(yōu)于其他閾值函數(shù)，并且計算相對簡便，具有更高的實用價值。

圖 3 不同閾值處理函數(shù)的去噪效果比較Fig. 3 Comparison of denoising effects of different threshold processing functions

圖 4 不同閾值處理函數(shù)誤差對比圖Fig. 4 Error comparison of different threshold processing functions

表 1 不同閾值函數(shù)去噪后信噪比和均方根誤差比較Table 1 Comparison of SNR and RMSE after denoising by different threshold functions

2 基于Mallat算法的小波降噪FPGA實現(xiàn)

2.1 Mallat算法

為實現(xiàn)信號的快速分解與重構，Mallat將多尺度分析的思想引入到了小波分析中并提出了Mallat算法[13]。根據(jù)Mallat算法，小波分解的數(shù)學表達式為

由于濾波器長度有限，為便于計算，分別將小波分解和重構表達式轉換成了易于實現(xiàn)的形式，即

根據(jù)Mallat算法理論，本文選用DB3小波基對經(jīng)過A/D轉換后的加速度計信號進行三階的小波分解與重構。

2.2 延拓模塊

在Mallat算法的推導中，是假定輸入序列為無限長，而在實際應用中，輸入序列為有限長，此時，濾波器系數(shù)與輸入序列進行卷積就會出現(xiàn)“輪空”現(xiàn)象。因此，可在設計中采用對稱延拓的方法來減少在邊界處的卷積誤差，從而有效避免輸入序列邊緣不連續(xù)的問題。

由于設計中采用的是DB3小波基，其對應的濾波器長度為7，因此原始信號兩端需要延拓的數(shù)據(jù)長度為5（filterLen-1）。ModelSim仿真結果如圖5所示。

圖 5 延拓仿真圖Fig. 5 Extension simulation diagram

2.3 濾波器模塊

無論是小波分解還是重構，都是通過數(shù)字濾波器來實現(xiàn)的，濾波器模塊是整個運算的核心部分。由式（7）和式（8）可知小波分解和重構的實質都是卷積運算，由于小波基選擇的是DB3，為優(yōu)化結構設計，需要設計5級流水的濾波器，主要由乘法器和加法器組成。

在濾波器設計過程中，涉及到浮點數(shù)的運算，通過研究對比現(xiàn)有的基于FPGA的浮點運算方法[14]，在本設計中，首先將濾波器系數(shù)量化成16位精度模式，然后在濾波器中對卷積運算的輸出數(shù)據(jù)作截取處理，即右移16位作為濾波結果。其中，小波重構低通濾波器ModelSim仿真結果如圖6所示。

圖 6 低通濾波器ModelSim仿真Fig. 6 Low-pass filter ModelSim simulation

2.4 閾值處理模塊

小波去噪的關鍵在于閾值的確定以及閾值函數(shù)的選取。為保證各尺度下小波閾值的準確性，本文采用分層閾值估計方法，其函數(shù)表達式為

式中：N為采樣點數(shù)；σ為信號噪聲標準差。但在實際工程中，噪聲標準差是不知道的。如果采用硬件計算方法求解閾值，不僅需要對噪聲進行估計，還需要進行開根號等運算，硬件實現(xiàn)相對復雜[15]。利用Matlab軟件對加速度計數(shù)據(jù)進行分析，計算出不同尺度下每一分解層不同的閾值，然后再將計算得到的閾值存入FPGA的參數(shù)RAM中，在進行小波閾值處理的過程中，直接從RAM中完成讀取。

圖7所示為新型小波閾值去噪FPGA實現(xiàn)流程圖。該模塊的具體設計辦法為：首先，將各層小波系數(shù)進行相應的移位和帶符號位擴展，實現(xiàn)對各層小波系數(shù)絕對值與已設定相應層閾值大小的判斷[16]；然后，利用新型小波閾值處理函數(shù)對小波系數(shù)進行處理，對算法中涉及到的乘法或者除法進行運算，在設計中主要是利用FPGA內置的IP核LPM_MULT和LPM_DIVIDE實現(xiàn)；最后，進行位數(shù)截取以得到新的小波系數(shù)結果。

3 實驗結果分析

3.1 仿真實驗分析

設計中，使用Altera公司的EP4CE22F17 FPGA作為系統(tǒng)核心控制處理單元，系統(tǒng)時鐘為64 MHz。在驗證過程中，首先通過ModelSim和Matlab等

圖 7 新型小波閾值去噪FPGA實現(xiàn)流程圖Fig. 7 Flow chart of implementation of the new wavelet threshold de-noising in FPGA

利用改進型閾值函數(shù)法進行信號去噪處理后的信號波形得到了明顯改善。為進一步反映基于FPGA實現(xiàn)的小波去噪算法的降噪效果，將FPGA的仿真結果以二進制文本形式保存并在Matlab中進行了分析處理，如圖8所示。利用信號處理前后的RMSE和SNR這2個客觀標準，進一步驗證了這種閾值去噪方法的良好去噪效果，如表2所示。

圖9（a）為原始帶噪信號。圖9（b）為經(jīng)過小波降噪處理后的信號，圖中對Matlab與FPGA小波實現(xiàn)結果進行了對比，結果顯示其略有差異，這是由于在FPGA運算過程中位截斷和數(shù)據(jù)取整造成了數(shù)據(jù)丟失。圖9（c）為利用傅里葉分析進行濾波后的信號。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，該濾波器無法準確還原信號，不能將有用信號的高頻突

圖 8 ModelSim仿真結果Fig. 8 ModelSim simulation results

表 2 信號去噪效果比較Table 2 Comparison of signal denoising effects

圖 9 小波去噪效果比較Fig. 9 Comparison of wavelet denoising effects

變部分與噪聲引起的高頻干擾加以區(qū)分。通過對比圖9（b）和圖9（c），驗證了小波降噪算法具有更高的信噪比，對信號的高頻突變處理效果更加顯著。

3.2 加速度計測試結果分析

為驗證本文所提方法在工程應用上的價值，對靜態(tài)條件下的加速度計輸出信號進行了采集測試，實驗測試結果如圖10所示。

圖 10 數(shù)據(jù)對比Fig. 10 Data comparison

圖10（a）為測試原始數(shù)據(jù)與小波模塊處理后數(shù)據(jù)分別減掉均值后的數(shù)據(jù)分布圖。從圖中可以看出，未經(jīng)處理的原始數(shù)據(jù)信號幅值變化較大，大部分數(shù)據(jù)在±2 000 mV范圍內跳動，而經(jīng)過小波降噪模塊處理后的數(shù)據(jù)則相對穩(wěn)定，主要在±500 mV內波動。圖10（b）為利用傅里葉濾波器處理后的數(shù)據(jù)與小波模塊處理后數(shù)據(jù)分別減掉其均值后的數(shù)據(jù)分布圖。從圖中不難看出，相比未經(jīng)任何處理的原始數(shù)據(jù)，兩者的信號穩(wěn)定性均得到了改善，但經(jīng)過傅里葉處理后的信號變化幅值還是較大，主要變化范圍在±800 mV內。

現(xiàn)對動態(tài)條件下的加速度計輸出信號進行采集測試。動態(tài)試驗環(huán)境為：三軸轉臺模擬搖擺試驗數(shù)小時，搖擺周期8 s，搖擺角度0.6°。實驗測試結果如圖11所示。

圖 11 動態(tài)數(shù)據(jù)對比Fig. 11 Dynamic data comparison

圖11（a）為測試動態(tài)情況下的加速度數(shù)據(jù)與小波模塊處理后加速度數(shù)據(jù)分別減掉轉臺真實值后的數(shù)據(jù)分布圖。從圖中可以看出，未經(jīng)處理的原始數(shù)據(jù)信號幅值變化較大，大部分數(shù)據(jù)在±0.001g范圍內跳動，而經(jīng)過小波降噪模塊處理后的數(shù)據(jù)則相對穩(wěn)定，主要在±0.000 2g左右波動。圖11（b）為利用傅里葉濾波器處理后的數(shù)據(jù)與小波模塊處理后數(shù)據(jù)分別減掉轉臺真實值后的數(shù)據(jù)分布圖。從圖中不難看出，相比未經(jīng)任何處理的原始數(shù)據(jù)，兩者的信號穩(wěn)定性均得到了改善，但經(jīng)過傅里葉處理后的信號變化幅值還是較大，主要變化范圍在±0.000 4g左右。

圖12所示為利用傅里葉和小波處理后的數(shù)據(jù)頻譜分布圖。經(jīng)過上述2種濾波處理后的數(shù)據(jù)高頻噪聲均得到了很好的抑制，但仔細研究可以發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的傅里葉低通濾波器在對信號進行處理的過程中有“一刀切”的缺點，也即保留了所有的低頻信息，將通帶之外的頻譜不加區(qū)分地全部濾掉了，而相比傅里葉變換，小波降噪處理則顯得更加靈活。由圖12（b）可以看出，小波降噪處理是通過在不同尺度上選取合適的閾值來對小波系數(shù)進行處理，若小波系數(shù)小于該閾值，則判斷

圖 12 頻譜分布Fig. 12 Spectrum distribution

為了更加直觀、有效地分析小波算法的性能，分別對上述測試數(shù)據(jù)進行了計算統(tǒng)計，結果如表3所示。

由表3的計算結果可知，直接通過艦船IMU加速度計采集電路得到的原始數(shù)據(jù)ENOB可以達到20.8位以上；利用傳統(tǒng)傅里葉低通濾波器和小波降噪模塊均能改善信號質量，有效分辨率分別可以達到21.7位和22.4位以上，但是在計算濾波器參數(shù)時發(fā)現(xiàn)，因傳統(tǒng)傅里葉濾波器的階數(shù)較高，使得整個處理過程的計算量較大，而小波降噪模塊只需要完成3層變換就可滿足上述指標。因此由以上分析可以看出，小波降噪模塊在信號降噪方面具有較為明顯的優(yōu)越性。

表 3 小波算法性能分析Table 3 Performance analysis of wavelet algorithm

4 結 語

本文在介紹小波去噪基本原理的基礎上，提出了一種改進型小波閾值濾波算法，通過與傳統(tǒng)的頻域去噪方法進行對比驗證，得出小波去噪可以很好地對高斯白噪聲進行降噪處理，有效解決了傳統(tǒng)頻域濾波方法的局限性。最后，利用FPGA對小波閾值算法進行了硬件實現(xiàn)。實驗結果表明，利用新型小波算法處理后的加速度計采集電路有效分辨位數(shù)能夠達到22.4位以上，相比原始信號，其有效分辨率提高了1.6位，證明小波算法具有較好的工程應用價值。但該降噪算法的閾值估計采用的是固定閾值，在下一步的工作中，還需要對自適應閾值進行研究以滿足系統(tǒng)動態(tài)性能要求。