王 念，沈 華*，朱日宏

1. 南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院, 江蘇 南京 210094 2. 南京理工大學(xué)先進固體激光工業(yè)和信息化部重點實驗室，江蘇 南京 210094

引 言

近年來，激光焊接以其形變小、熔深大、效率高的優(yōu)點[1]，已經(jīng)逐步取代傳統(tǒng)焊接技術(shù)，在造船、車輛制造、航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2-5]，激光焊接工藝的好壞，對這些行業(yè)的發(fā)展有著重要的影響。激光焊接過程往往伴隨著光致等離子體的產(chǎn)生，了解等離子體在多個波長下的光譜輻射場三維分布，能夠幫助研究人員獲取等離子體的溫度場分布、電子密度場分布以及其他一些物理量的三維分布，對于改進激光焊接工藝具有重要的意義。

當利用CCD等探測器從某個方向?qū)Φ入x子體進行探測時，其靶面上所接收到的光譜輻射強度，是沿著其觀測方向上等離子體輻射的累積效應(yīng)。通過探測器各像素上的積分值去反演觀測路徑上的輻射強度變化，以得到整個等離子體光譜輻射場的三維分布是研究人員著重研究的方向，該問題可歸結(jié)為由投影重建圖像的問題。要解決這一問題，首先要弄清楚等離子體的輻射傳輸過程，掌握輻射疊加到探測器表面這一物理過程，并進行相應(yīng)的建模。目前常用的輻射傳輸模型有平行投影模型與中心投影模型。平行投影模型[6]是基于醫(yī)學(xué)CT應(yīng)用場合下的模型，其光源為平行光源，探測器各像素所獲得的光譜輻射來自于平行于光軸的投影線上的等離子體各發(fā)光點，且各像素的投影線互相平行。然而在利用CCD進行探測時，在光學(xué)鏡頭的成像作用下，對各像素表面的輻射產(chǎn)生貢獻的發(fā)光點不再是平行于光軸的投影線上的發(fā)光點，此時利用平行投影模型就會產(chǎn)生較大的誤差。上海交通大學(xué)孫大為等[7-8]在前者的基礎(chǔ)上，提出了更為準確的中心投影模型。該模型將CCD鏡頭看作針孔，以針孔為中心，以像素與針孔的連接線作為投影線，認為對像素灰度產(chǎn)生貢獻的是該投影線上的各等離子體發(fā)光點。該模型采用針孔模型作為CCD鏡頭的成像模型，在鏡頭口徑較小時是適用的。然而在實際應(yīng)用時，若要滿足更高的光譜輻射場反演的空間分辨率要求，則要采用較大的鏡頭口徑，此時針孔模型與實際的成像模型之間存在較大的差異，這將導(dǎo)致輻射傳輸模型精度下降，并最終影響激光焊接三維光譜輻射場的重建。針對以上模型存在的缺陷，本文基于輻射度量學(xué)與光學(xué)成像的原理，針對大口徑觀測設(shè)備的需求提出了一種新的等離子體光譜輻射傳輸模型，為提高激光焊接等離子體光譜輻射場的反演精度奠定模型基礎(chǔ)。

1 光譜輻射傳輸模型

若將等離子體離散的劃分為j=m×n×l個正方體的網(wǎng)格，則各網(wǎng)格的光譜輻射疊加到CCD靶面上某一像素的過程可表示為式(1)

(1)

式(1)中，Pi為像素i所接收到的光譜輻射值；ωi, m, n, l為輻射比例系數(shù)，其定義為像素i所接收到來自網(wǎng)格(m,n,l)的輻射通量占其總輻射通量的比例，f(m,n,l)表示網(wǎng)格(m,n,l)的光譜輻射通量。若遍歷CCD靶面各像素對應(yīng)的光譜輻射接收過程，則式(1)可用矩陣表示為

I=WX

(2)

式(2)中，I表示二維投影，即CCD靶面各像素所接收到的光譜輻射通量值；W是輻射比例系數(shù)矩陣，由輻射比例系數(shù)ωi, m, n, l組成；X代表各等離子體網(wǎng)格的待重建光譜輻射值。

本文所建輻射傳輸模型，即是要將W準確的表達出來： 將網(wǎng)格(m,n,l)被探測器鏡頭所接收到的光譜輻射通量占其向周圍空間發(fā)出的總光譜輻射通量的比例定義為輻射比例系數(shù)ω1，將網(wǎng)格(m,n,l)被像素i所接收到的光譜輻射通量占其被探測器接收到的光譜輻射通量的比例定義為輻射比例系數(shù)ω2。各網(wǎng)格的光譜輻射比例系數(shù)ω可由兩個部分相乘所得，即ω=ω1ω2。

1.1 輻射傳遞模型ω1的建立

將等離子體中的任一點看作點光源，以球面波的形式向外發(fā)出輻射。CCD所接收到的輻射通量占點光源所發(fā)出的總輻射通量的比例ω1，應(yīng)為被CCD鏡頭占據(jù)的球冠所對應(yīng)的立體角與整個球面立體角之比，即該部分球冠覆蓋的球面面積Sg與整個輻射球面面積S之比。

1.1.1 軸上點模型

當點光源位于光軸上時，鏡頭所占據(jù)的是正上方的球冠，即整球冠。設(shè)透鏡半徑為R，點光源與鏡頭表面之間的軸向距離為L，輻射球面半徑為r，則位于探測器鏡頭軸上等離子體任一點的比例系數(shù)ω1為

(3)

1.1.2 軸外點模型

對于等離子體中那些位于光軸之外的點而言，其占據(jù)的是部分球冠。則位于探測器鏡頭軸外等離子體任一點的比例系數(shù)ω1的表達式為

(4)

1.2 光學(xué)成像模型ω2的建立

等離子體被劃分為網(wǎng)格后，各網(wǎng)格經(jīng)CCD鏡頭成像，于靶面上形成光斑，其發(fā)出的輻射能量均勻的分布在光斑上。網(wǎng)格(m,n,l)的輻射比例系數(shù)ω2，應(yīng)為網(wǎng)格在CCD靶面上的光斑與像素i的重疊面積SC和光斑總面積SB之比。利用CCD觀察等離子體時，由于網(wǎng)格邊長遠小于網(wǎng)格與鏡頭之間的軸向距離，因此可以將網(wǎng)格看作一個沒有厚度的正方形薄片來代替其成像情況。

1.2.1 網(wǎng)格在最佳物面上的成像模型

設(shè)鏡頭焦距為f′，CCD靶面到鏡頭的距離為L′。當網(wǎng)格(m,n,l)位于距離鏡頭L的最佳物面(即靶面關(guān)于鏡頭的共軛物面)上時，在靶面上所形成的光斑為薄片經(jīng)鏡頭所成的像。如圖1所示，光斑的位置以及輪廓，可由薄片的四個頂點的像點A′，B′，C′和D′確定。設(shè)CCD靶面與最佳物面之間的垂軸放大率為β，由高斯公式和垂軸放大率公式，可得A′，B′，C′和D′的坐標，以及光斑的面積

(5)

(6)

因此，當網(wǎng)格位于最佳物面時，其輻射比例系數(shù)ω2的表達式為

(7)

1.2.2 網(wǎng)格不在最佳物面上的成像模型

(8)

此時網(wǎng)格在CCD靶面上所形成的光斑輪廓如圖2(b)所示： 由正方形A′B′C′D′輪廓上各點以其彌散斑向外拓展所得。由光斑面積SB、光斑與像素i的重疊面積SC，可得當網(wǎng)格(m,n,l)不在最佳物面時，輻射比例系數(shù)ω2的表達式為

(9)

圖1 等離子體中位于最佳物面上的網(wǎng)格成像示意圖Fig.1 Imaging of cubes on the optimum surface

圖2 光斑與像素重疊情況示意圖(a)： 網(wǎng)格位于最佳物面上時； (b)： 網(wǎng)格不在最佳物面上時Fig.2 Overlapping of spot and pixel(a): When the cube is on the optimum surface;(b): The cube is not on the optimum surface

2 仿真實驗

將等離子體輻射場尺寸設(shè)定為Lx×Ly×Lz=6 mm×6 mm×6 mm，劃分為30×30×30個網(wǎng)格。為模擬真實輻射場分布，將等離子體溫度設(shè)定在1 000～3 000 ℃之間。根據(jù)普朗克輻射定律，利用發(fā)射率函數(shù)基形式不變法[9]，由各網(wǎng)格的表面積計算其光譜輻射通量，得到等離子體在波長為λ1=400 nm，λ2=500 nm，λ3=600 nm、λ4=700 nm的設(shè)定光譜輻射場。分別在等離子體正上、正面、側(cè)面距離120 mm處放置CCD，鏡頭焦距為50 mm，通光口徑D為100 mm。根據(jù)輻射度量學(xué)原理，模擬CCD靶面探測到的光譜輻射分布。利用不同的輻射傳輸模型計算輻射比例系數(shù)，由式(2)建立各自的方程組，通過代數(shù)重建法[10](algebra reconstruction technique, ART)反解，重建光譜輻射場分布，重建誤差采用均方根誤差，即

(10)

式(10)中：X為等離子體輻射場設(shè)定值，X*為反演值。

2.1 對稱場

設(shè)定對稱等離子體輻射場的溫度分布表達式為

(11)

式(11)中，h為距離工件表面的長度，x和y為以焊接激光光軸為z軸下的平面直角坐標。分別利用本文所提模型、中心投影模型重建等離子體光譜輻射通量分布場，并與原設(shè)定場比較，結(jié)果如表1所示。由表1可以看出，利用本文模型進行重建的相對誤差在8%以下，中心投影模型的相對誤差在9%左右。說明在對稱場下，本文模型具有較好的重建精確度。本文模型反演所得到的400 nm波長下的光譜輻射場，在某一截面的分布與設(shè)定場的分布對比，如圖3所示。由圖3可見反演分布與設(shè)定分布呈現(xiàn)很好的一致性。

表1 單峰對稱等離子體輻射場重建精度對比Tabel 1 Comparison of reconstruction accuracy of single-peak symmetrical radiation field

圖3 本文模型反演結(jié)果與對稱設(shè)定場對比(λ1=400 nm)(a)： 設(shè)定輻射場； (b)： 反演結(jié)果

Fig.3 Comparison between the reconstruction result with the model presented in this paper and the set symmetrical radiation field (λ1=400 nm)

(a)： The set field； (b)： The reconstruction result

2.2 非對稱場

設(shè)定非對稱等離子體輻射場的溫度分布表達式為

(12)

式(12)中，x1=0.6,y1=0.6；x2=0.6,y2=-0.6；x3=-0.6,y3=0.6；x4=-0.6,y4=-0.6。等離子體某一截面上的溫度分布如圖4所示。

分別利用本文模型、中心投影模型重建光譜輻射場，結(jié)果如表2所示。由表2可以看出，本文模型重建相對誤差在11%以下，中心投影模型在27%左右。說明在非對稱場下，本文模型具有較好的重建精確度。本文模型反演所得到的400 nm波長光譜輻射場，在某一截面與設(shè)定場對比，如圖5所示。由圖5可見二者呈現(xiàn)很好的一致性。

圖4 非對稱輻射場某一截面的溫度分布Fig.4 Temperature distribution of a section of a asymmetrical radiation field

表2 四峰非對稱等離子體輻射場重建精度對比Tabel 2 Comparison of reconstruction accuracy of four-peak asymmetrical radiation field

圖5 本文模型反演結(jié)果與非對稱設(shè)定場對比(λ1=400 nm)(a)： 設(shè)定輻射場； (b)： 反演結(jié)果

Fig.5 Comparison between the reconstruction result with the model presented in this paper and the set asymmetrical radiation field (λ1=400 nm)

(a)： The set field； (b)： The reconstruction result

3 結(jié) 論

針對激光焊接等離子體光譜輻射場重建領(lǐng)域大口徑觀測設(shè)備的需求，分別基于輻射度量學(xué)與光學(xué)成像原理，對光譜輻射從等離子體發(fā)出到被觀測鏡頭收集的過程與輻射進入鏡頭后到達探測器靶面的過程進行研究，提出了一種基于光學(xué)成像的光譜輻射傳輸模型。與現(xiàn)有模型相比，該模型具有較好的反演精度，能夠為精確的解算激光焊接等離子體輻射場提供模型基礎(chǔ)。