陳玉松， 李 晨

(商丘工學院 基礎教學部，河南 商丘 476000)

1 預備知識和主要定理

考慮四階橢圓方程

其中Δ2:=Δ(Δ)是雙調和算子。

由于四階橢圓方程在物理學和工程學的許多實際問題中,有著重要的意義,很多學者對這類方程的解的存在情況產生了濃厚的興趣。起初，很多作者主要研究的是在有界光滑區(qū)域上該系統(tǒng)的解的存在情況,類似的文章可見文獻[1-3]。許多學者把有界光滑區(qū)域擴展到了空間RN,陸續(xù)得到了很多好的結果[4-6]。對于整個空間RN的情景,索伯列夫緊嵌入的丟失導致問題變得困難。為了克服這個困難,很多學者對勢能V做了適當?shù)募僭O[4-5]。特別地，文獻[6]在勢能泛函滿足局部緊的條件下,利用變分原理得到了超線性四階橢圓方程的非平凡解的存在性和多重性。對于次線性的情況,文獻[5]利用臨界點理論中的對稱山路定理得到了無窮多個非平凡解的存在性。受前人的啟發(fā),本文主要考慮的是一類次線性四階橢圓方程的無窮多個非平凡解的存在性。為了簡化討論，作如下假設：

(V1)V(x)在RN中是連續(xù)的，且V(x)≥0。

(V2) 至少存在正常數(shù)b,滿足集合Vb:={x∈RN|V(x)

定理1假設條件(V1,V2)和(F1,F2)都成立,則至少存在一個非平凡解。則在H2(RN)中該方程至少存在一個非零周期解。

定理2假設條件(V1,V2)和(F1,F2)都成立,且泛函f滿足下列條件：

(F3) 對于任意的(x,u)∈RN×R,有f(x,-u)=-f(x,u)，

則方程存在無窮多個非平凡解。

更多地,

設泛函

(1)

通過一般的討論，很容易驗證I(u)∈C1(E,R)，且

(2)

更多地，泛函I在E上的臨界點恰是該系統(tǒng)的解。為了得到我們的結論，給出以下引理。

為了得到泛函I的非平凡臨界點的多重性,在下面的證明中將用到臨界點理論中的“屬”屬性。設X是一個巴拿赫空間,I∈C′(X,R),C∈R。集合∑={A?X-{0}:A是閉集且關于0對稱}，Kc={u∈X:I(u)=c,I′(u)=0},Ic={u∈X:I(u)≤c}。

定義[8]對任意的A∈∑,若在C(A,Rn{0})上存在一個奇函數(shù)，且n是這個屬性中的最小整數(shù)。

2 定理1的證明

第一步：驗證I是下方有界的。由(2),(F1)以及H?lder不等式,可得

(3)

由于1

第二步：驗證I滿足(PS)條件。

(4)

(5)

由(5)式可知,存在n0∈N，滿足

(6)

因此，由(F1)、(3)式、(6)式以及H?lder不等式，可得

(7)

另外,由條件(3)、(4)以及(F1),可得

(8)

由于ε是任意的，結合(7)和(8)，當n→∞時可得

(9)

由(4)和(9)可知,當n→∞時有

成立,從而在空間E中有un→u0成立。因此驗證了泛函I滿足(PS)條件。

其中，1

3 定理2的證明

由定理1的證明可知，I∈C1(E,R)是下方有界且滿足(PS)條件的。另外由條件(F3)和(3),可驗證I是偶函數(shù)，且I(0)=0。為了利用引理2, 下面證明對于任意的n∈N，存在ε>0，滿足

γ(I-ε)≥n。

(10)

(11)

因此

(12)

且

(13)

故存在一常數(shù)C2>0，對于任意的u∈En滿足

C2‖u‖E≤‖u‖r3。

(14)

由(3),(11)～(14)和(F3)對于u∈Sn，有

(15)

由10和σ>0，滿足

I(σu)<-ε。

(16)

(17)