景慧麗, 方曉峰

(火箭軍工程大學 基礎部，陜西 西安 710025)

0 引言

第二類平面曲線積分[1]是多元函數(shù)積分學中一個很重要的概念，其物理意義是變力沿曲線做功，有很重要的實際應用價值[2]。計算第二類平面曲線積分常用的方法有：寫出積分曲線的參數(shù)方程將其轉化成定積分、利用格林公式將其轉化成二重積分、利用曲線積分與路徑無關的性質簡化計算[3]等，當然每種方法都有自己的使用條件和適用范圍。另外，有的題目可以用多種方法計算，所以第二類平面曲線積分的計算是比較開放的，當然這種開放性對培養(yǎng)學員的發(fā)散思維是很有幫助的。本文就一道第二類平面曲線積分題目的計算問題進行探討，提出4種計算方法，進而培養(yǎng)學員的發(fā)散思維。

1 例題

解法1先將積分路徑補充成封閉曲線，再利用格林公式。

補充l1:y=0，x從-a變到a，令P=x2-y+y2，Q=y2-x，記L和l1所圍區(qū)域為D，則

若轉化為直角坐標系下先對y、后對x的二次積分，則

若轉化為直角坐標系下先對x、后對y的二次積分，則

解法2先將積分曲線方程代入被積函數(shù)中，再利用曲線積分與路徑無關的性質簡化計算。

注3解法2利用了“可以把積分路徑的方程代入被積函數(shù)中簡化曲線積分的計算”這一特質，這一特質的應用把原本與積分路徑有關的曲線積分轉化成了與積分路徑無關的曲線積分，大大簡化了曲線積分的計算。計算曲線積分時可以首先考慮該特質，計算曲面積分時，也可以將積分曲面的方程代入被積函數(shù)中簡化曲面積分的計算。

解法3先利用曲線積分關于被積函數(shù)的可加性,再分別利用曲線積分與路徑無關的性質以及將曲線積分直接轉化成定積分。因為

解法4寫出積分路徑L的參數(shù)方程，直接將曲線積分轉化成定積分。

注5解法4的關鍵是對積分路徑L的參數(shù)方程的選取，如果能巧妙地選擇積分路徑的參數(shù)方程，那么曲線積分的計算就會事半功倍。選取積分路徑的參數(shù)方程的一般原則是：要結合被積函數(shù)的特點和積分路徑的特征選取。

2 小結

此類第二類平面曲線積分題目的不同解法，其實很多極限、定積分、不定積分、重積分以及第二類曲面積分的題目都可以用多種思路和方法求解，在高等數(shù)學課程教學中，教員要適當?shù)貞靡活}多解的題目組織教學，鼓勵學員積極參與教學活動，敢于標新立異，勇于提出問題、開展交流和討論，這樣才有利于學員突破思維的局限性，培養(yǎng)學員的發(fā)散思維和綜合能力[5-6]。