余勝 劉煥章 劉勝帥? 荊杰泰2)?

1) (華東師范大學, 精密光譜科學與技術國家重點實驗室, 上海 200062)

2) (山西大學, 極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心, 太原 030006)

多組份糾纏是量子信息處理的重要資源, 它的產(chǎn)生通常涉及到許多復雜的線性和非線性過程.本文從理論上提出了一種利用兩個獨立的四波混頻過程和線性分束器產(chǎn)生真正的四組份糾纏的方案, 其中, 線性分束器的作用是將兩個獨立的四波混頻過程聯(lián)系起來.首先應用部分轉置正定判據(jù)研究了強度增益對四組份糾纏的影響, 結果表明, 在整個增益區(qū)域內都存在真正的四組份糾纏, 并且隨著強度增益的增加, 糾纏也在增強.然后研究了線性分束器的透射率對四組份糾纏的影響, 發(fā)現(xiàn)只要線性分束器的透射率不為0或1, 該系統(tǒng)也可以產(chǎn)生真正的四組份糾纏.最后, 通過研究該系統(tǒng)可能存在的三組份糾纏和兩組份糾纏來揭示該系統(tǒng)的糾纏結構.本文理論結果為實驗上利用原子系綜四波混頻過程產(chǎn)生真正的四組份糾纏提供了可靠的方案.

1 引 言

多組份糾纏不僅在檢驗基本量子效應方面具有重要作用[1], 而且在量子通信以及量子計算領域也有著廣泛的應用[2?5].在連續(xù)變量量子系統(tǒng)中,已經(jīng)有大量產(chǎn)生多組份糾纏的方案在理論上提出并在實驗上實現(xiàn)[6?12].在這些方案中, 比較典型的方法是利用光學參量振蕩器和線性分束器網(wǎng)絡產(chǎn)生的獨立單模壓縮光束來生成連續(xù)變量多組份糾纏[9].此外, 另一種有效且簡單的方法是在時域[13]和頻域[14?16]中使用復用技術產(chǎn)生大規(guī)模連續(xù)變量簇態(tài).最近, 我們課題組已經(jīng)在實驗上證明了熱銣原子蒸氣池中的級聯(lián)四波混頻過程可以產(chǎn)生多個量子關聯(lián)光束[17?22], 并在理論上提出了產(chǎn)生真正的三組份糾纏[23]和四組份糾纏[24,25]的方案, 這種級聯(lián)是基于銣原子的雙L能級結構.不同于銣原子池的級聯(lián), 類原子系統(tǒng)能級級聯(lián)的多波混頻過程是基于類原子系統(tǒng)的N型能級結構, 這種級聯(lián)不僅可以產(chǎn)生關聯(lián)光束[26?28], 而且關聯(lián)和壓縮可以通過修飾場引起的相對非線性相移來控制[27].檢驗多組份量子糾纏時, 有很多判據(jù)可供選擇[29?35].本文選擇部分轉置正定判據(jù)[34,35].

由于強的非線性過程、空間多模性和可產(chǎn)生空間分離的非經(jīng)典光束等優(yōu)點, 熱銣原子蒸氣池中的四波混頻過程是產(chǎn)生連續(xù)變量多組份糾纏的一項有前景的技術[36].本文提出了一個基于兩個獨立的四波混頻過程和一個線性分束器來產(chǎn)生真正的四組份糾纏的方案, 其中, 線性分束器的作用是將兩個獨立的四波混頻過程聯(lián)系起來.然后, 應用部分轉置正定判據(jù)從理論上研究了系統(tǒng)的糾纏特性對強度增益和線性分束器的透射率的依賴性, 證實了該系統(tǒng)存在真正的四組份糾纏.此外, 為了更好地解釋系統(tǒng)的糾纏結構, 研究了該系統(tǒng)中可能存在的三組份糾纏和兩組份糾纏.

2 理論推導

圖1(a)為由線性分束器連接的兩個獨立的四波混頻過程的結構圖.該方案可以產(chǎn)生四組份糾纏的關鍵是引入了線性分束器, 它將兩個獨立的四波混頻過程聯(lián)系起來.圖1(b)為銣-85 D1線的雙L能級結構, 其中, 非線性相互作用強度極大地依賴于單光子失諧D和雙光子失諧d.

在四波混頻過程中, 湮滅的兩個抽運光子會同時轉換成一個探針光子和一個共軛光子.在這里,分別用標記探針光子和共軛光子, 相互作用強度用e表示,表示相互作用哈密頓量.在無耗盡及經(jīng)典抽運近似條件下, 相互作用哈密頓量可以表示為

其中h.c.表示厄米共軛項.

為了方便, 我們分別用 1, 2, 3 和 4 表示光束C1, Pr1, Pr3和 C3.由 (1)式可得, 系統(tǒng)的輸入輸出關系可以寫為

基于(2)式和上述分析, 本方案中的正交振幅算符和正交相位算符的輸入輸出關系可以表示為

圖1 產(chǎn)生四組份糾纏的簡化圖及銣-85 D1 線的雙 L 能級結構 (a) C0 和 C2 是真空態(tài)注入, Pr0 和 Pr2 是相干態(tài)注入; C1 和是第一個四波混頻過程產(chǎn)生的孿生光束, C3和是第二個四波混頻過程產(chǎn)生的孿生光束; 光束Pr1和Pr3是光束和經(jīng)過線性分束器混合后產(chǎn)生的; (b)銣-85 D1線的雙L能級結構, D和d分別表示單光子失諧和雙光子失諧Fig.1.A simplified diagram of quadripartite entanglement and an energy level diagram of rubidium-85: (a) C0 and C2 are vacuum states, Pr0 and Pr2 are coherent states; C1 and are the twin beams generated by the first four-wave mixing process, C3 and are the twin beams generated by the second four-wave mixing process; Pr1 and Pr3 are produced by mixing beams and through a linear beam splitter; (b) the double L energy level structure of D1 line in rubidium-85, D and d represent one-photon detuning and two-photon detuning respectively.

和

在本方案中, 兩個四波混頻過程的強度增益G1和G2是相互獨立的.在這里分別用

來表示輸出場的正交振幅算符和正交相位算符的協(xié)方差, 并且在 j = k 情況下時, 其代表的是相應的正交算符的方差.此外, 正交振幅算符和正交相位算符相互正交[3], 即因此,所有光束的協(xié)方差如下:

這一節(jié)推導了由線性分束器連接的兩個獨立的四波混頻過程的輸出場表達式, 接下來將重點研究該系統(tǒng)產(chǎn)生真正的四組份糾纏的可能性以及系統(tǒng)的糾纏結構.

3 系統(tǒng)糾纏結構研究

3.1 四組份糾纏

這一節(jié)用部分轉置正定判據(jù)[34,35]來檢驗系統(tǒng)的四組份糾纏, 該判據(jù)是使用部分轉置協(xié)方差矩陣s的辛本征值來表示系統(tǒng)的糾纏特性, 如果所有的最小辛本征值v都小于1, 則表示系統(tǒng)是不可分離的.首先研究了這個方案產(chǎn)生四組份糾纏的可能性.在四組份情形中, 需要檢驗七種可能的兩分形式, 其中包括四種 1 × 3 形式和三種 2 × 2 形式, 這七種二分形式如表1所列.

表1 四組份態(tài)的七種二分形式Table 1.Seven partitions of quadripartite state.

為了方便, 假設線性分束器的透射率h = 0.5.這里首先研究了四種1 × 3形式, 這種形式描述了每束光是如何與其他三束光糾纏的.圖2為四種1 × 3 形式的最小辛本征值 v, 它們都是 G1和G2的函數(shù), 其中圖2(a)—(d)分別是部分轉置應用于光束 C1, Pr1, Pr3和 C3時的最小辛本征值 v.在圖2 中, 對于任何 G1> 1, G2> 1, 最小辛本征值v都小于1, 這表明每束光與剩余的三束光都存在糾纏, 并且糾纏隨強度增益G1和G2的增大而增強.此外, 可以看出, 圖2(b) 和圖2(c) 的最小辛本征值v是相同的, 這是系統(tǒng)的對稱性導致的.而當部分轉置分別應用于光束C1和C3時, 其最小辛本征值v與另外一個四波混頻過程的強度增益無關, 這說明它們的糾纏來源于對應的四波混頻過程, 而與另外一個四波混頻過程無關.

圖2 四種 1 × 3 情形的最小辛本征值 v, 其為強度增益 G1 和 G2 的函數(shù) (a) C1 被部分轉置; (b) Pr1 被部分轉置; (c) Pr3 被部分轉置; (d) C3 被部分轉置Fig.2.The smallest symplectic eigenvalue v of all 1 × 3 scenarios, as a function of the power gains G1 and G2: (a) C1 is partially transposed; (b) Pr1 is partially transposed; (c) Pr3 is partially transposed; (d) C3 is partially transposed.

圖3 三種 2 × 2 情形的最小辛本征值 v, 其為強度增益 G1 和 G2 的函數(shù) (a) C1 和 Pr1 被部分轉置; (b) C1 和 Pr3 被部分轉置;(c) C1和 C3被部分轉置Fig.3.The smallest symplectic eigenvalues v of all 2 × 2 scenarios, as a function of the power gains G1 and G2: (a) C1 and Pr1 arepartially transposed; (b) C1 and Pr3 are partially transposed; (c) C1 and C3 are partially transposed.

同樣地, 也研究了三種 2 × 2 形式, 這種形式是將部分轉置應用于四束光中的任意兩束光.圖3為三種2 × 2形式的最小辛本征值v, 其為強度增益G1和G2的函數(shù), 其中圖3(a)—(c)分別是部分轉置應用于光束C1和 Pr1, C1和 Pr3以及 C1和C3時的最小辛本征值v.由圖3可得, 所有的最小辛本征值v都小于1, 這表明在四組份系統(tǒng)中, 每對光束都與其他光束糾纏, 并且強度增益G1和G2越大, 糾纏越強.值得注意的是, 當部分轉置應用于一對光束C1和C3時, 其最小辛本征值v與強度增益G1無關, 并且只受強度增益G2的影響.換句話說, 它們的糾纏來源于第二個四波混頻過程,而與第一個四波混頻過程無關.

基于上述的分析可知, 在線性分束器的透射率 h = 0.5 以及強度增益 G1> 1, G2> 1 時, 系統(tǒng)所有的最小辛本征值v都小于1, 并且隨著強度增益G1和G2增加, 糾纏也在增強, 這表明本文系統(tǒng)可以產(chǎn)生真正的四組份糾纏.

在研究了強度增益G1和G2對四組份糾纏的影響之后, 研究線性分束器的透射率h對四組份糾纏的影響也十分必要.在這里, 為了研究透射率h對四組份糾纏的影響, 假設兩個四波混頻過程的強度增益 G1= G2= 3.圖4 中所有的最小辛本征值v都是透射率h的函數(shù), 其中圖4(a)—(g)分別是 部 分 轉 置 應 用 于 光 束 C1, Pr1, Pr3, C3以 及C1和 Pr1, C1和 Pr3, C1和 C3時的最小辛本征值v.由圖4 可得, 在透射率 h ≠ 0 或 h ≠ 1 時, 系統(tǒng)存在真正的四組份糾纏.此外, 有些最小辛本征值v與透射率h無關, 有些則與其緊密相關.這是因為線性分束器僅連接了兩束光, 這會導致部分最小辛本征值v與線性分束器的透射率h相關.

3.2 三組份糾纏

到目前為止, 我們已經(jīng)證明該方案可以產(chǎn)生真正的四組份糾纏.同時, 研究系統(tǒng)所產(chǎn)生的三組份糾纏和兩組份糾纏將有助于進一步了解該系統(tǒng)的糾纏結構.在這里, 假設線性分束器的透射率h =0.5.對于三組份態(tài)的糾纏特性, 我們是通過去除系統(tǒng)所產(chǎn)生的四束光中的一束光進行研究的.很明顯, 這里有四種可能的三組份態(tài), 并且每種三組份態(tài)有三種 1 × 2 形式, 因此, 總共需要檢驗 12 個1 × 2形式的最小辛本征值v.圖5給出了所有三組份態(tài)的最小辛本征值v, 其中圖5(a)—(c)是由光束C1, Pr1和Pr3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值 v, 圖5(d)—(f)是由光束 C1, Pr1和 C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v, 圖5(g)—(i)是由光束C1, Pr3和C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v, 圖5(j)—(l)是由光束 Pr1, Pr3和 C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值 v.由圖5 可得, 在 G1> 1,G2> 1時, 所有三組份態(tài)的最小辛本征值 v都小于 1, 并且強度增益 G1和 G2越大, 糾纏越強, 這表明輸出場的四束光在去除其中的任意一束光之后仍存在真正的三組份糾纏.此外, 由于系統(tǒng)的對稱性, 三組份態(tài) (C1, Pr1, C3)和 (C1, Pr3, C3) 的最小辛本征值v是一樣的.而三組份態(tài)(C1, Pr1,Pr3)和 (Pr1, Pr3, C3)的最小辛本征值 v 卻是不一樣的, 其最小辛本征值v分別受到兩個獨立的四波混頻過程的強度增益影響.

圖4 線性分束器的透射率 h 對四組份態(tài)的最小辛本征值 v 的影響 (a) C1 被部分轉置; (b) Pr1 被部分轉置; (c) Pr3 被部分轉置;(d) C3 被部分轉置; (e) C1 和 Pr1 被部分轉置; (f) C1 和 Pr3 被部分轉置; (g) C1 和 C3 被部分轉置Fig.4.Effect of the transmissivity of the linear beam splitter on the quadripartite entanglement of the system: (a) C1 is partially transposed; (b) Pr1 is partially transposed; (c) Pr3 is partially transposed; (d) C3 is partially transposed; (e) C1 and Pr1 are partially transposed; (f) C1 and Pr3 are partially transposed; (g) C1 and C3 are partially transposed.

圖5 四個三組份態(tài)的最小辛本征值v, 其為強度增益G1和G2的函數(shù) (a)?(c)是由C1, Pr1和Pr3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v; (d)?(f)是由C1, Pr1和C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v; (g)?(i)是由C1, Pr3和C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v; (j)?(l)是由Pr1, Pr3和C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值vFig.5.The smallest symplectic eigenvalues v of all tripartite states as a function of power gains G1 and G2: (a)?(c) The smallest symplectic eigenvalues v of tripartite state composed of C1, Pr1 and Pr3; (d)?(f) the smallest symplectic eigenvalues v of tripartite state composed of C1, Pr1 and C3; (g)?(i) the smallest symplectic eigenvalues v of tripartite state composed of C1, Pr3 and C3;(j)?(l) the smallest symplectic eigenvalues v of tripartite state composed of Pr1, Pr3 and C3.

圖6 六種兩組份態(tài)的最小辛本征值v, 其為強度增益G1和G2的函數(shù) (a) 由C1和Pr1組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v;(b) 由C1和Pr3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v; (c) 由C1和C3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v; (d) 由Pr1和Pr3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v; (e) 由Pr1和C3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v; (f) 由Pr3和C3組成的兩組份的最小辛本征值vFig.6.The smallest symplectic eigenvalues v of all bipartite states as a function of power gains G1 and G2: (a) The smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of C1 and Pr1; (b) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of C1 and Pr3; (c) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of C1 and C3; (d) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of Pr1 and Pr3; (e) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of Pr1 and C3; (f) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of Pr3 and C3.

3.3 兩組份糾纏

接下來將通過去除系統(tǒng)輸出場中的任意兩束光來研究剩余兩束光的糾纏特性.這里需要檢驗六種不同的兩組份態(tài)的糾纏特性.圖6為所有的兩組份態(tài)的最小辛本征值v, 其中圖6(a)—(f)分別是由 C1和 Pr1, C1和 Pr3, C1和 C3, Pr1和 Pr3, Pr1和C3以及Pr3和C3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v.如圖6所示, 有些兩組份態(tài)(例如由C1和C3組成的兩組份態(tài))總不存在糾纏, 這是由于兩個四波混頻過程是相互獨立而導致的.而有些兩組份態(tài)(例如由C1和Pr1組成的兩組份態(tài))的糾纏特性則隨著強度增益G1和G2的增大而逐漸減小直至消失, 這是因為隨著強度增益G1和G2的增大,線性分束器引入的額外噪聲迅速增大, 從而導致糾纏消失.

由于線性分束器的引入, 該系統(tǒng)存在真正的四組份糾纏和三組份糾纏, 并且隨著強度增益G1和G2的增大, 糾纏也會逐漸增強.至于系統(tǒng)兩組份態(tài)的糾纏特性, 有些兩組份態(tài)總是可分離的.而有些兩組份態(tài)的糾纏的存在與否卻是有條件的, 即它們的糾纏特性受強度增益G1和G2的影響, 隨著兩個四波混頻過程的強度增益G1和G2的增大, 這些兩組份糾纏都會逐漸減小直至消失.

4 結 論

本文從理論上提出了一種利用兩個獨立的四波混頻過程和線性分束器產(chǎn)生真正的四組份糾纏的方案, 兩個獨立的四波混頻過程由線性分束器連接.首先應用部分轉置正定判據(jù)研究了強度增益對四組份糾纏的影響, 結果表明在整個增益區(qū)域內都存在四組份糾纏, 并且強度增益越大, 糾纏程度越強, 這表明本文系統(tǒng)能夠生成真正的四組份糾纏.然后研究了線性分束器的透射率對系統(tǒng)的四組份糾纏的影響, 發(fā)現(xiàn)只要線性分束器的透射率不為0或1, 系統(tǒng)也存在真正的四組份糾纏.最后, 通過研究該系統(tǒng)中可能存在的三組份糾纏和兩組份糾纏揭示了系統(tǒng)的糾纏結構.我們的理論研究為實驗上利用原子系綜四波混頻過程產(chǎn)生真正的四組份糾纏提供了一個有效的方案.