于 徽，王聞愷

(交通運(yùn)輸部水運(yùn)科學(xué)研究院，北京 100088)

隨著海洋開發(fā)事業(yè)的日益發(fā)展，海洋工程結(jié)構(gòu)物的應(yīng)用也逐漸增多，這些海工設(shè)施的錨定需要利用不同種類的海底錨固裝置，如錨、樁等[1-2]。如海洋平臺、海上風(fēng)機(jī)、海洋養(yǎng)殖網(wǎng)箱等均需要利用海洋工程錨(板錨、吸力錨等)或樁基基礎(chǔ)來使其位置保持固定[3-5]。當(dāng)海底結(jié)構(gòu)物受海上風(fēng)、流影響發(fā)生上拔動作時(shí)，錨固設(shè)施的底面與土體之間產(chǎn)生一定程度的吸力。吸力是由錨固設(shè)施形狀、底床土體性質(zhì)和土中孔隙水三者之間復(fù)雜的相互作用形成，表現(xiàn)為一種類似“真空吸力”的拉力[6]。由此可見，錨固設(shè)施底部吸力對上拔過程產(chǎn)生了阻礙作用，增加了錨固設(shè)施的抗拔力。因此，開展有關(guān)錨固設(shè)施底面吸力的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對海底設(shè)施底面吸力開展了研究，并取得了一定成果。20世紀(jì)60年代，美國海軍土木工程實(shí)驗(yàn)室[7]在加州港測定了最大浮重度為90 kN，底面形狀不同的海底結(jié)構(gòu)物的吸力。研究發(fā)現(xiàn)，吸力是海底泥沙與水之間復(fù)雜相互作用所產(chǎn)生的結(jié)果。馮國棟等[8]就海泥對海洋工程結(jié)構(gòu)物底面的吸力進(jìn)行了試驗(yàn)觀測，發(fā)現(xiàn)該吸力并不是簡單地反映工程材料與泥土間的黏著力，而主要是底面下存在的真空吸力，涉及泥沙的流變、固結(jié)和觸變性質(zhì)。Das等[9]也測定了軟黏土與硬黏土中不同底面形狀的板錨在不同荷載條件下的底面吸力，但他們的分析并未考慮拉拔速度、埋置深度等對吸力的影響。Datta和Kumar[10]在不排水條件下測量了圓柱形錨在不同埋深條件下的吸力，發(fā)現(xiàn)吸力隨著埋深的增大而增大，直到埋深與直徑的比值為8時(shí)達(dá)到極限；但他們的拔錨速度很慢，且未能提出可靠的吸力計(jì)算公式。Kassim和Niroumand[11]通過試驗(yàn)提出了計(jì)算臥式平板錨吸力的公式，但該公式的計(jì)算精度一般。王子賓[6]探討了樁靴上拔時(shí)底部吸力的成因和作用方式，但并未總結(jié)出實(shí)質(zhì)性的結(jié)論。綜上所述，對錨固設(shè)施底部吸力的變化特性仍需要進(jìn)一步深入研究。

為研究錨固設(shè)施底部吸力特性，設(shè)計(jì)了光滑閉口短樁在黏性土底床上拔試驗(yàn)方案，利用孔隙水壓力傳感器、超聲波多普勒流速儀(UDV)、拉力傳感器以及步進(jìn)電機(jī)等試驗(yàn)設(shè)備測量樁基模型在垂向上拔過程中底部吸力、腔體深度和拉拔力的變化并分析其成因，還分析了樁體上拔過程中吸力的變化過程及樁體的埋置深度和上拔速度對吸力大小的影響，最后通過對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸分析，得到了計(jì)算黏性土底床中樁基/基礎(chǔ)在上拔過程中所受最大吸力的經(jīng)驗(yàn)公式。試驗(yàn)過程及結(jié)論可為其它錨固設(shè)施的抗拔力研究起到借鑒作用。

1 理論分析

如圖1所示，以圓柱形樁為例，樁基在黏性底床垂直上拔過程中，所受到的力主要有土體對樁基側(cè)面提供的側(cè)摩阻力、樁基浮重力和樁基底部所受的吸力，可以表示為：

FPU=Wa+FAD+FSU

(1)

式中：FPU為拉拔力，Wa為樁基浮重力，F(xiàn)AD為側(cè)摩阻力，F(xiàn)SU為吸力。

根據(jù)Terzaghi和Peck[12]的常規(guī)土力學(xué)公式，側(cè)摩阻力可以表示為：

(2)

圖1 樁基在垂直拔出時(shí)受力情況Fig. 1 Forces on pile foundation during pullout

式中：δ為黏附力系數(shù)，St為土體的靈敏度，As為樁基沒入土體的側(cè)面積，Su,ave為土體平均不排水抗剪強(qiáng)度。非光滑物體在黏性土中以較低速度運(yùn)動時(shí)的黏附力系數(shù)(δ)可以近似為1[13-14]。該理論公式已被其他學(xué)者廣泛使用，如Raie等[15]，O’Loughlin等[16]。Blake和O’Loughlin[13]利用該理論公式研究物體在黏性土底床中拔出時(shí)的受力問題，充分證明了該理論公式的科學(xué)性與合理性[17]。

Das[9]等通過試驗(yàn)，提出了計(jì)算板錨下方吸力的經(jīng)驗(yàn)公式：

(3)

式中：AF為錨底面積，Su為土體不排水抗剪強(qiáng)度，H為埋深，D為樁基底面直徑。

從公式(3)可以看出，板錨底部吸力與錨體底部面積AF、土體不排水抗剪強(qiáng)度Su及埋深比(錨體埋置深度與錨直徑的比值)H/D有關(guān)。另外，相同土體中錨體以不同速度拔出時(shí)底部吸力會因土體變形速率或孔隙水的流動速度不同而產(chǎn)生較大差別，而土體變形速率和孔隙水流動速率與錨體上拔速度相關(guān)[10]，因此，錨體(或樁基)下方吸力可以用更加概括的函數(shù)形式表達(dá)：

(4)

通過式(1)、(2)、(4)可以得到樁基的最大垂向抗拔力計(jì)算表達(dá)式：

(5)

2 試驗(yàn)研究

2.1 試驗(yàn)用土

試驗(yàn)用土樣取自上海金山港。試驗(yàn)前將土樣過濾，篩除內(nèi)部雜質(zhì)，進(jìn)行充分?jǐn)嚢?，對土體的含水率ω、中值粒徑d50、不排水抗剪強(qiáng)度Su、靈敏度St、密度ρ、滲透系數(shù)k、液限ωL和塑限ωP等參數(shù)進(jìn)行測量記錄。測量所得土體具體參數(shù)如表1所示。

表1 試驗(yàn)用土相關(guān)土力學(xué)參數(shù)Tab. 1 Parameters of testing soil

表2 十字板剪切儀測量數(shù)據(jù)Tab. 2 Measurement data of vane shear tester

圖2 利用SZB-1.0型十字板剪切儀測量所得不排水抗剪強(qiáng)度剖面Fig. 2 Undrained shear strength profile measured by SZB-1.0

2.2 試驗(yàn)布置

試驗(yàn)選用一個(gè)內(nèi)徑35 cm、高60 cm的圓柱形不銹鋼桶，桶內(nèi)盛有55 cm深的試驗(yàn)用土。樁基模型長度L為26 cm，直徑D為6 cm，質(zhì)量m為1.26 kg。樁基模型底面設(shè)計(jì)3個(gè)孔，分別安裝超聲波多普勒流速儀(UDV)探頭，孔隙水壓力傳感器和通氣孔(樁基模型及底部布置情況如圖3所示)。其中，超聲波多普勒流速儀用于測量上拔過程中樁基底部腔體水深；孔隙水壓力傳感器用于測量腔體內(nèi)壓力值，進(jìn)而計(jì)算吸力；通氣孔安裝可拆卸式密封螺栓，用來進(jìn)行對比試驗(yàn)。傳感器通過信號線與電腦連接，采集頻率4 Hz。

如圖4所示，在通氣孔封閉(安裝密封螺栓)的情況下，樁基模型在土中上拔時(shí)底部將產(chǎn)生吸力；通氣孔打開時(shí)(拆除密封螺栓)，樁基模型底部將與外界大氣連通，下方不產(chǎn)生吸力。通過對比試驗(yàn)，可獲得樁基底部吸力值。

試驗(yàn)具體布置如圖5所示，使用直徑1.2 mm的鋼絲線連接樁基模型，并通過定滑輪連接到拉力傳感器，最后連接至步進(jìn)電機(jī)；為方便試驗(yàn)操作，拉力傳感器與電腦相連，拉力采集軟件以4 Hz的頻率采集拉力，并繪制拉力曲線圖。步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)速通過調(diào)速器調(diào)節(jié)，控制上拔速度。

圖3 樁基模型Fig. 3 Photos of the model pile foundation

圖4 樁基模型密封與通氣時(shí)底部受力Fig. 4 Forces on model pile foundation when bottom sealed and vented

圖5 試驗(yàn)布置示意Fig. 5 Schematic of the experiment setup

2.3 試驗(yàn)步驟

試驗(yàn)主要操作步驟如下：

1)將事先制備完成的試驗(yàn)用土置于不銹鋼桶中(土體上方水厚度約1 cm)，用攪拌器將土體攪拌均勻。

2)將樁基模型垂直緩慢勻速地插入土體中至指定深度(插入速度1 cm/s)，插入過程中控制好速度和方向，盡量避免對周圍土體產(chǎn)生擾動，隨后將土體靜置10 min。

3)測量試驗(yàn)桶中土體的不排水抗剪強(qiáng)度Su和靈敏度St。

4)打開電腦，開啟步進(jìn)電機(jī)和調(diào)速器電源，調(diào)整好步進(jìn)電機(jī)速度，開始拉拔樁基；同時(shí)開啟UDV、孔隙水壓力傳感器、拉力傳感器的采集軟件，記錄數(shù)據(jù)，直到樁基完全拉出土體。在樁基拔出過程中，UDV和孔隙水壓力傳感器分別記錄了樁底部腔體水深及壓力變化，拉力傳感器記錄拉拔過程中拉力的變化。

5)通過步驟1)的方法攪拌土體，使試驗(yàn)用土恢復(fù)，重復(fù)上述試驗(yàn)。

本研究共進(jìn)行了30次拉拔試驗(yàn)。其中，對于同一埋深和相同土體性質(zhì)條件下進(jìn)行了底部密封和通氣兩種試驗(yàn)。拉拔速度分別為1、3、5、7和9 mm/s，圓柱樁埋置深度(H)分別為12、18和24 cm。表3列出了試驗(yàn)變量。圖6為樁體埋設(shè)及拔出的兩個(gè)不同狀態(tài)。

表3 試驗(yàn)變量Tab. 3 Test variables

圖6 樁基模型埋設(shè)及拔出狀態(tài)Fig. 6 The embedment and pullout states of model pile foundation

3 結(jié)果與分析

3.1 拉拔過程中樁基底部腔體變化特性

樁基在黏性土底床中上拔時(shí)，其下方土體由于具有一定結(jié)構(gòu)強(qiáng)度(黏性及抗剪強(qiáng)度決定)，無法立即回填滿由樁體上拔所騰出的空間，因此，其底部會產(chǎn)生一個(gè)含孔隙水的腔體。為觀察這個(gè)腔體的形態(tài)變化，試驗(yàn)利用UDV探頭來探測樁基下方腔體水深。圖7為樁基在埋深24 cm和上拔速度1 mm/s情況下UDV探頭采集的聲波曲線。UDV探頭在介質(zhì)中發(fā)射超聲波，當(dāng)超聲波遇水會繼續(xù)傳播，遇到障礙物后會發(fā)生反射，因此，該曲線的第一個(gè)波峰即為UDV探頭下方腔體內(nèi)水深。從圖中可以看出，在15、16、17和18 s四個(gè)時(shí)刻探頭下水的深度分別為1.956、2.046、2.218和2.406 mm。

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，樁基下方水深的變化始終小于樁體的上拔速度(1 mm/s)，這說明樁基下方土體隨著樁基上移發(fā)生了坍塌變形，不斷回填樁基下方空間，使腔體大小保持相對穩(wěn)定。

圖7 樁基在24 cm埋深UDV聲波曲線Fig. 7 Echo curve of UDV sound wave at embedment depth 24 cm

3.2 樁底部密封和通氣條件下的壓力特征

為了確定樁基底部吸力值的大小，分別進(jìn)行了底部密封(底部腔體不與大氣連通)與通氣(底部腔體與大氣連通)兩種條件下的上拔試驗(yàn)。樁基埋入土體以后底部會受一定的靜水壓力，即孔隙水壓強(qiáng)，其大小與埋置深度成正比。在埋深12 cm和上拔速度9 mm/s工況下，底部密封和通氣兩種不同條件下底部壓力隨拉拔時(shí)間的變化曲線如圖8所示，樁體底部密封時(shí)，其下方壓力值從3.644 kPa持續(xù)快速下降到-6.572 kPa，然后繼續(xù)波動式緩慢下降，直到最小值-7.608 kPa；在樁體底部與土體分離瞬間，壓力值立刻回升為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(以0為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓)。在樁體下端與土體分離的時(shí)刻，會聽見“砰”的進(jìn)氣聲。而當(dāng)?shù)撞块_孔通氣情況下，樁體下方壓力值從1.612 kPa逐漸降低到標(biāo)準(zhǔn)大氣壓值，未出現(xiàn)小于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的情況。對于其它拉拔試驗(yàn)，底部壓力變化均具有類似的特征。另外，在樁體插入過程中，孔隙水壓力傳感器數(shù)值逐漸增大，直至安裝停止。通過樁體埋置深度計(jì)算該深度下的孔隙水壓力(P=ρgh=1.2 kPa<3.6 kPa)可知，上拔初始時(shí)刻孔隙水壓力大于該深度下的靜水壓力，說明在樁基插入試驗(yàn)的不排水土體過程中，對土體發(fā)生擠壓擾動，產(chǎn)生了超靜孔隙水壓力。

利用以上試驗(yàn)可以得到樁體底部密封和通氣條件下的最大拉力值，二者相減可以得出樁體底部最大吸力值為16.78 N (埋深12 cm和上拔速度9 mm/s工況)，而通過該工況下樁底最大負(fù)壓計(jì)算得出的吸力值為21.5 N (FSU=P×πr2=7 608×3.14×0.032=21.5 N)，大于通過拉力值計(jì)算所得到的吸力值(其它試驗(yàn)工況該規(guī)律相同)，這是由于上拔過程中樁體受側(cè)摩阻力等的影響，底部負(fù)壓所產(chǎn)生的吸力最大值與拉力最大值不在同一時(shí)間點(diǎn)。

通過圖9可以更加直觀地發(fā)現(xiàn)，在底部密封條件下，由于負(fù)壓所產(chǎn)生的吸力作用，樁基坑已經(jīng)完全被土體回填滿，且部分表層土發(fā)生隆起；在底部通氣條件下，坑的輪廓基本保持樁基形狀，只有較少側(cè)壁摩擦和坍塌破壞。

圖8 密封和通氣條件下圓柱樁底部壓力隨拉拔時(shí)間變化Fig. 8 Pressure beneath the cylindrical pile against the pullout time in sealed and vented cases

圖9 密封底和通氣底條件下樁基坑變形情況Fig. 9 Deformation of pile foundation cavity under sealed and vented bottom conditions

3.3 拉拔過程中樁基底部壓力的特性與影響因素

3.3.1 垂直拉拔過程中樁基受力變化特征

圖10 樁底壓力、拉拔力、腔體深度與時(shí)間關(guān)系Fig. 10 Bottom pressure, pullout force and cavity depth variations against pullout time

拉拔過程中樁基下方腔體深度、壓力、拉拔力及吸力與拉拔力比值等參數(shù)隨拉拔時(shí)間的變化如圖10所示(樁體埋深12 cm，上拔速度5 mm/s工況)。在拉拔力FPU由零逐漸上升至最大值這段時(shí)間內(nèi)(1～9 s期間)，壓力由原來的正值減小變?yōu)樨?fù)值，但并沒有達(dá)到最大負(fù)壓值(13 s時(shí)刻)，在拉拔力FPU達(dá)到最大值時(shí)樁體底部已經(jīng)產(chǎn)生負(fù)壓，且此時(shí)負(fù)壓所產(chǎn)生的吸力占拉拔力約45%。在這段時(shí)間內(nèi)，拉拔力主要由樁體底部所受壓力P、樁體浮重力Wa和樁體側(cè)摩阻力FAD組成。隨后(第9～13 s間)，樁體底部負(fù)壓絕對值繼續(xù)上升至最大值，占總拉拔力的65%，而拉拔力則穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)(約3.6 kg)。隨著樁體的繼續(xù)拔出，側(cè)摩阻力繼續(xù)減小，可以推斷，拉拔力主要由底部負(fù)壓吸力和浮重力Wa組成。另外，由圖10也可以看出，樁體底部負(fù)壓出現(xiàn)的兩次谷值(第13 s和第24 s)與腔體深度的兩個(gè)峰值出現(xiàn)的時(shí)刻較為一致，這說明樁體底部的負(fù)壓大小與腔體的水深大小成正相關(guān)。在樁體底部與土體分離的時(shí)刻，拉拔力FPU降為樁體自重，下方的腔體內(nèi)負(fù)壓消失，壓力值恢復(fù)為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。

3.3.2 拉拔速度對壓力的影響

試驗(yàn)中，分別采用1、3、5、7和9 mm/s五種不同拉拔速度對相同埋深及土質(zhì)條件下的樁進(jìn)行了勻速拔出試驗(yàn)。圖11反映樁體在埋深12 cm時(shí)的五種不同上拔速度條件下樁體底部壓力隨時(shí)間的變化情況。通過分析可知，在相同埋深條件下，樁體底部壓力絕對值的最大值隨上拔速度增大而增大。即上拔速度越快，負(fù)壓越大。隨著上拔速度的增大，壓力絕對值的增加值逐漸減小，說明上拔速度增大到一定值以后，對底部壓力的影響不再明顯。

此外，從圖11中壓力的變化趨勢可以發(fā)現(xiàn)，樁體下方壓力隨著樁體上拔從初始的正壓力值迅速降低到一個(gè)負(fù)壓極值，隨后波動變化并保持在一個(gè)相對穩(wěn)定的負(fù)壓范圍；當(dāng)樁體將要拔出底床時(shí)，壓力突然升高至標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。結(jié)合UDV傳感器測量結(jié)果和圖11不同拉拔速度的負(fù)壓曲線的變化趨勢特征分析可知：在開始上拔后，樁體底部形成了一個(gè)孔隙水腔體，腔體內(nèi)壓力值快速降低并達(dá)到最大負(fù)壓值，此時(shí)腔體達(dá)到臨界狀態(tài)，即腔體邊壁土體所受的負(fù)壓所產(chǎn)生的吸力達(dá)到其屈服應(yīng)力。此時(shí)，腔體邊壁土體會發(fā)生破壞變形、垮塌，填充腔體，表現(xiàn)為負(fù)壓值出現(xiàn)了一定程度的減小。隨后，土體隨樁基上拔不斷回填，腔體負(fù)壓值、形狀與土體回填速度保持動態(tài)平衡。當(dāng)樁基將要出土?xí)r，由于部分表層土被帶起(圖9所示)，形成“密封圈”，因此負(fù)壓值再次增大到第二次極值，隨后樁體與土體徹底脫離，壓力瞬間恢復(fù)至大氣壓。

3.3.3 埋深比對壓力的影響

圖12反映了樁體在埋深比為2、3、4和拔出速度1 mm/s條件下底部壓力隨時(shí)間的變化情況，圖中三條直線為樁體底部壓力曲線對應(yīng)同一時(shí)刻樁體在土體中的底部所受靜水壓力，由于是均勻土體，所以其靜壓力隨深度成正比關(guān)系。樁體底部所受靜水壓力與該時(shí)刻底部壓力的差值，即為該時(shí)刻樁體所受壓力的大小。通過數(shù)據(jù)分析可得，樁體在上述埋深情況下的最大負(fù)壓值分別為6.15、8.29和8.57 kPa。由此可知，樁體所受負(fù)壓隨樁體埋置深度的增加而增大。研究中其它試驗(yàn)結(jié)果也符合這一趨勢。

試驗(yàn)用土在制備及攪拌恢復(fù)過程中上方始終保持一定厚度的水，可減少空氣大量進(jìn)入試驗(yàn)用土，避免形成孤立氣泡，造成壓力測量結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。非飽和土的土力學(xué)特性相對于飽和土要更為復(fù)雜，土體飽和度對樁體下方吸力影響將在后續(xù)試驗(yàn)中開展進(jìn)一步研究。

圖11 不同上拔速度時(shí)樁體底部壓力隨拉拔時(shí)間變化Fig. 11 Suction force variations against pullout time at different pullout speeds

圖12 不同埋深比情況下樁體底部壓力隨拉拔時(shí)間變化Fig. 12 Pressure variations beneath the cylindrical pile against pullout time at different embedment ratios

3.4 樁基底部最大吸力的經(jīng)驗(yàn)公式

利用Das[9]的公式(3)對本次試驗(yàn)情況進(jìn)行計(jì)算，將吸力計(jì)算值列于表4，發(fā)現(xiàn)其計(jì)算值與實(shí)測值差別較大。通過觀察Datta和Kumar[10]對圓柱形錨的吸力與埋深比關(guān)系(見圖13)，并對本次試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，發(fā)現(xiàn)吸力與埋深比呈現(xiàn)指數(shù)關(guān)系。通過因次分析可得，樁基底部吸力可以表達(dá)為：

利用表4的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行多元回歸分析可以得到

(6)

式中：回歸結(jié)果的方差R2=0.94，說明公式(5)具有良好的回歸精度。

通過式(1)、(2)、(6)可進(jìn)一步得到樁基最大垂向抗拔力計(jì)算表達(dá)式

(7)

利用式(6)計(jì)算本次試驗(yàn)結(jié)果，得到吸力計(jì)算值與試驗(yàn)值的關(guān)系如圖14所示，計(jì)算值基本在±20%的誤差范圍內(nèi)，符合性較好。同時(shí)，利用式(6)驗(yàn)證Datta和Kumar[10]的試驗(yàn)結(jié)果(見表5)，可以發(fā)現(xiàn)約78%的計(jì)算值與試驗(yàn)值誤差在±20%范圍內(nèi)，進(jìn)一步驗(yàn)證了公式(6)用于計(jì)算樁體底部吸力的準(zhǔn)確性。

圖13 Datta and Kumar吸力系數(shù)與埋深比關(guān)系[10]Fig. 13 Datta and Kumar variation of suction breakout factor with embedment depth[10]

圖14 垂向拉拔吸力計(jì)算值與理論值比較Fig. 14 Comparison between the experimental and calculated suction forces during vertical pullout

表4 試驗(yàn)結(jié)果分析Tab. 4 Analysis of the experimental results

注：拉拔力數(shù)據(jù)為樁底密封的最大拉力值；吸力為樁底密封和通氣所測量的最大拉力值之差。

表5 Datta和Kumar[10]試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab. 5 Experimental data of Datta and Kumar

4 結(jié) 語

本次研究進(jìn)行了光滑閉口短樁在水下黏性土中的垂向拔出試驗(yàn)，測量其底部腔體形態(tài)、壓力以及拉拔力的變化情況，分析了上拔速度和埋深比對樁體底部壓力的影響，可以得到以下結(jié)論：

1) 樁基在黏性土底床中上拔時(shí)，底部將產(chǎn)生負(fù)壓吸力，該力可一定程度地增加樁基抗拔力；

2) 樁基在黏性土底床中上拔時(shí)，底部會產(chǎn)生孔隙水腔體，腔體在樁基上拔過程中由于負(fù)壓的作用，不斷被周圍土體回填，使腔體大小保持相對穩(wěn)定；

3) 在相同埋深比的條件下，樁基所受負(fù)壓隨上拔速度增大而增大，但上拔速度增大到一定值以后，其影響不再明顯；相同上拔速度情況下，樁基受負(fù)壓隨埋深的增加而增大。

4) 提出了計(jì)算樁基在黏性土底床中垂直上拔時(shí)底部最大吸力的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式，并驗(yàn)證了該公式的準(zhǔn)確性。