余雪芳

【摘要】? 隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，教育越來(lái)越關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)，就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，更關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問(wèn)題。一個(gè)人具備了核心素養(yǎng)，必然善于以數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來(lái)思考和解決問(wèn)題，這已成為當(dāng)代學(xué)生進(jìn)入社會(huì)的必備本領(lǐng)。數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的組成部分，標(biāo)準(zhǔn)中把掌握基本運(yùn)算能力列為培養(yǎng)學(xué)生的能力之首。從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，結(jié)合教材與課堂，發(fā)掘數(shù)形結(jié)合因素，從提出問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)本質(zhì)，理解算理，解決問(wèn)題，到提升素養(yǎng)，進(jìn)行多層次、全方位的幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)知識(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，提升運(yùn)用圖形認(rèn)識(shí)事物能力，感知問(wèn)題解決方向，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】? 數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算能力 理解算理 運(yùn)算素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】? A ? ? 【文章編號(hào)】? 1992-7711（2020）11-070-02

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，教育越來(lái)越關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)，就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，更關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問(wèn)題。一個(gè)人具備了核心素養(yǎng)，必然善于以數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來(lái)思考和解決問(wèn)題，這已成為當(dāng)代學(xué)生進(jìn)入社會(huì)的必備本領(lǐng)。數(shù)學(xué)是奇妙的，在某種程度上也是艱澀的。初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有較大量的運(yùn)算要求，這個(gè)階段也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的黃金時(shí)期，有理數(shù)的運(yùn)算、整式的運(yùn)算、分式的運(yùn)算、根式的運(yùn)算和解方程等都和運(yùn)算有關(guān)。每當(dāng)考試后，經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到家長(zhǎng)向老師提問(wèn)：為什么孩子上課都聽(tīng)懂了，作業(yè)也會(huì)做了，但是考試就不行了？在實(shí)際教學(xué)中，不少老師抱怨：“學(xué)生的計(jì)算能力太差了，連簡(jiǎn)單的運(yùn)算都過(guò)不了關(guān)”。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力作為核心素養(yǎng)目標(biāo)之一，標(biāo)準(zhǔn)中把掌握基本運(yùn)算能力列為培養(yǎng)學(xué)生的能力之首。因此，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法提高學(xué)生的運(yùn)算能力有著極為重要的意義。

一、利用數(shù)形結(jié)合，提出問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，化難為易，化抽象為直觀，使人充分運(yùn)用左、右腦的思維功能，相互依存、彼此激發(fā)，全面、協(xié)調(diào)、深入發(fā)展人的思維能力。使用“數(shù)形結(jié)合”的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。

數(shù)學(xué)本是抽象的，而數(shù)形結(jié)合在問(wèn)題提出中的應(yīng)用，能夠使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得形象化，變得簡(jiǎn)單;可以幫助學(xué)生更好的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題;有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的解決問(wèn)題的習(xí)慣。

例如運(yùn)用火柴棒按如圖所示的方式，搭x個(gè)正方形時(shí)，如何計(jì)算火柴棒的根數(shù)？

思路1：在這些圖形中，第一個(gè)正方形用4根，每增加一個(gè)正方形就增加3根火柴棒，那么搭x個(gè)正方形需要火柴棒___根;

思路2：把每一個(gè)正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再減去多算的火柴棒的根數(shù)，得到的代數(shù)式是___;

思路3：第一個(gè)正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的，此后每增加一個(gè)正方形就增加3根火柴棒，那么搭x個(gè)正方形共需火柴棒___根。

從而提出問(wèn)題：去括號(hào)前后，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)有什么變化？把數(shù)形結(jié)合“帶進(jìn)”課堂，并應(yīng)用于問(wèn)題提出中，在教學(xué)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

二、利用數(shù)形結(jié)合，領(lǐng)會(huì)本質(zhì)

畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?nèi)绾沃赖摹笨梢?jiàn)分析問(wèn)題能力的培養(yǎng)顯得多么重要。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常用一個(gè)數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合，借助直觀，形象圖形，使數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題和幾何直觀圖形有機(jī)結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，尋找正確的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng).如在學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”時(shí)出現(xiàn)一題“在小河的同一側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修建一座水泵站向兩個(gè)村莊送水，問(wèn)水泵站修在哪里到兩村莊距離和最短”此問(wèn)題具有一定的抽象性，當(dāng)憑學(xué)生想象是很難有突破點(diǎn)，可引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，直接觀察，思考如何轉(zhuǎn)化點(diǎn)A，B，和水泵點(diǎn)，讓三點(diǎn)共線，距離最短。讓學(xué)生理清問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)——找出A的對(duì)稱點(diǎn)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，提高運(yùn)算能力。

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念：“數(shù)”，屬于數(shù)學(xué)抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物;而“形”主要指幾何圖形，屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物。它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系;反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀的反映和描述。

情形一：“以數(shù)解形”

例1用一些完全相同的棋子按如圖所示的規(guī)律拜訪，第100個(gè)圖形有____個(gè)棋子

分析：這是一道典型的規(guī)律探究題，學(xué)生在解答時(shí)如果僅關(guān)注棋子的變化，解答是比較困難的，但如果將圖形的規(guī)律問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的規(guī)律問(wèn)題，根據(jù)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到有關(guān)棋子個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式，然后帶入數(shù)值計(jì)算即可。

根據(jù)第1個(gè)圖形有5個(gè)棋子，第2個(gè)圖形有11個(gè)棋子，第3個(gè)圖形有17個(gè)小圓，∴第n個(gè)圖形有：5+6（n-1）=6n-1個(gè)棋子，第100個(gè)圖有599個(gè)棋子。

情形二：“以形助數(shù)”

例2在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)，學(xué)生默寫公式及背誦口訣時(shí)都比較熟練，但在應(yīng)用公式時(shí)經(jīng)常認(rèn)為（a+b）2=a2+b2，究其原因是學(xué)生沒(méi)有真正的理解。如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)完全平方公式的時(shí)候更注重巧用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法來(lái)突破這個(gè)難點(diǎn)，就更直觀，更容易記住了。

三、利用數(shù)形結(jié)合，理解算理

初中數(shù)學(xué)是比較抽象的一門學(xué)科，無(wú)論定義，公理;還是法則，定理等知識(shí)都是具有一定抽象性。數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、法則等是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)，概念模糊、公式錯(cuò)誤、法則，性質(zhì)等含混不清，都會(huì)影響運(yùn)算的進(jìn)行和正確性，正確的運(yùn)算必須建筑在透徹地理解算理的基礎(chǔ)上?？梢?jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想在運(yùn)算中的實(shí)踐，不僅而體會(huì)到其中的算理，也展現(xiàn)了數(shù)與形的有序結(jié)合所產(chǎn)生的“美”與“妙”，更直接地反映出數(shù)形思想的結(jié)合能引導(dǎo)學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了審美觀念的滲透、聯(lián)想思維的檢測(cè)，培養(yǎng)了學(xué)生大膽而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，引導(dǎo)學(xué)生獲取知識(shí)、結(jié)論、方法的途徑及思維過(guò)程，教給學(xué)生有效的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的一種認(rèn)知能力，使學(xué)生的解題思路進(jìn)入一個(gè)理性的廣闊天地。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，是教師的教學(xué)藝術(shù)所在。比如解一元一次方程，不僅使得學(xué)生能掌握步驟，還要理解每一步的依據(jù)。如移項(xiàng)法則是由等量原理導(dǎo)出的。如合并同類項(xiàng)是由乘法分配律導(dǎo)出的，如果借助圖形學(xué)生就易于領(lǐng)悟其中之間的關(guān)系，那么就會(huì)加深對(duì)合并同類項(xiàng)的理解。例如整式加減中圖3-8的長(zhǎng)方形由兩個(gè)小長(zhǎng)方形組成，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。提問(wèn)：求這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積有幾種方法呢？通過(guò)例子中的兩部分面積得出8n和5n，將8n和5n拉出來(lái)分析，合并同類項(xiàng)：8n+5n=13n，使學(xué)生深刻理解運(yùn)算的算理。

四、利用數(shù)形結(jié)合，解決問(wèn)題

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！狈从车氖抢脭?shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，顯得直觀、方便，而且應(yīng)用也很廣泛。利用數(shù)形結(jié)合，也能更好地突破重難點(diǎn)。教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)是課堂教學(xué)的靈魂，如果把握好了教學(xué)重點(diǎn)，突破了教學(xué)難點(diǎn)，這節(jié)課基本就上好了。突破難點(diǎn)的方法有很多，比如演示實(shí)驗(yàn)法，動(dòng)手操作法，數(shù)形結(jié)合法等，但是根據(jù)教學(xué)實(shí)際，數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中是最經(jīng)常用到的方法。突破“一元不等式組”難點(diǎn)“找不等式解集的公共部分”，也是巧用數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)軸找到解集的公共部分，再把這個(gè)公共部分用不等式表示出來(lái)。

利用數(shù)形結(jié)合輕而易舉地解決了不等式解集的問(wèn)題。

五、利用數(shù)形結(jié)合，提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而數(shù)學(xué)知識(shí)又蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思想方法，二者相輔相成，密不可分。數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的這種辨證統(tǒng)一性，決定了教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。同時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法又是數(shù)學(xué)的靈魂，是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想和基本策略，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生提高思維水平，真正懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀，從而發(fā)展數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)，這也是現(xiàn)代教學(xué)思想與傳統(tǒng)教學(xué)思想的根本區(qū)別。

數(shù)形結(jié)合能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，掌握問(wèn)題的發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)從感性上升到了理性的層面，最終培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，需要結(jié)合具體內(nèi)容，將教學(xué)知識(shí)的“明線”與數(shù)形結(jié)合思想的“暗線”有機(jī)結(jié)合，將數(shù)形結(jié)合思想方法用在適當(dāng)處，使學(xué)生對(duì)知識(shí)、技能、思想的總結(jié)融為一體，使得“思想方法有載體，知識(shí)技能有靈魂”。

總的來(lái)說(shuō)，在中學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該緊密結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，不是為了單純的運(yùn)算而運(yùn)算，巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，這更是學(xué)生必備的一種高層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[ 參? 考? 文? 獻(xiàn) ]

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：2.

[2]張林華.數(shù)形結(jié)合思想引領(lǐng)下的“向量數(shù)乘運(yùn)算”教學(xué)設(shè)計(jì).上海中學(xué)數(shù)學(xué).2012（5）.