呂鑫

(六盤(pán)水師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院, 六盤(pán)水 553000)

近年來(lái), 隨著對(duì)相干性量化的發(fā)展, 相干與路徑信息間的互補(bǔ)關(guān)系漸漸引起人們注意.這樣的互補(bǔ)關(guān)系不僅在基礎(chǔ)量子力學(xué)方面有重要的理論意義, 同時(shí)也在量子信息技術(shù)中有實(shí)際應(yīng)用.本文從Bures距離和明確量子態(tài)區(qū)分出發(fā), 系統(tǒng)地研究了二路徑干涉儀中的相干與路徑信息, 并建立了一個(gè)全新的互補(bǔ)關(guān)系.與已知的類似工作相比, 本文的研究更為一般: 既考慮純態(tài), 也考慮混合態(tài); 既探討了干涉儀本身的路徑不對(duì)稱性所提供的路徑可預(yù)測(cè)性, 也探討了因路徑探測(cè)器而生的路徑可區(qū)分度.具體地說(shuō), 路徑可預(yù)測(cè)性的討論只依賴于密度矩陣的半正定性質(zhì), 而路徑可區(qū)分度的討論還需要利用保真度和Schur-Weyl不等式等工具.

1 引 言

波粒二象性作為玻爾互補(bǔ)性原則[1,2]最重要的例證, 在量子力學(xué)的理論發(fā)展中扮演著重要的角色.上世紀(jì)八十年代以來(lái), 隨著量子信息技術(shù)的涌現(xiàn)和發(fā)展, 人們開(kāi)始關(guān)注量化波粒二象性, 或更一般的互補(bǔ)性原則的量化問(wèn)題, 并建立了一系列不等式關(guān)系[3?17].其中, 最基本和最重要的是由 Jaeger等[5]和Englert[6]針對(duì)二路徑干涉儀建立的下面的關(guān)系

其中粒子性的量度 D 描述了路徑的可區(qū)分度, 而波動(dòng)性的量度 V 則描述了干涉條紋的強(qiáng)度.值得注意的是, (1)式中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)量子態(tài)為純態(tài)時(shí)達(dá)到.從量子態(tài)純化的角度, 任一混合態(tài)都可以看作某個(gè)更大空間的純態(tài).這樣對(duì)于混合態(tài), (1)式嚴(yán)格地小于1是由于約化過(guò)程中損失了部分信息.量化波粒二象性的理論框架在本世紀(jì)初已經(jīng)發(fā)展成形, 在文獻(xiàn)[8,9]中, 作者提出了合理的粒子性和波動(dòng)性量度所應(yīng)具有的歸一性和凸性等性質(zhì).目前,實(shí)驗(yàn)學(xué)家已經(jīng)進(jìn)行了許多關(guān)于二路徑干涉儀, 即波粒二象性的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)[18?29].值得注意的是, 在以上驗(yàn)證中, 出現(xiàn)過(guò)一次“違背”(1)式的情況[26], 具體的解釋和討論可以參閱文獻(xiàn)[28,29].

最近, 因?yàn)槔觅Y源理論量化相干性取得的一系列結(jié)果[30?43], 人們開(kāi)始試圖從相干性的角度重新審視量化波粒二象性的問(wèn)題.具體而言, 因?yàn)橄喔尚耘c干涉對(duì)比度密切相關(guān), 自然而然地可以作為波動(dòng)性的量度.由此出發(fā), 人們得到了一系列關(guān)于相干性和路徑可區(qū)分度的互補(bǔ)關(guān)系[14?17].在這些工作中, 量子態(tài)區(qū)分的概念開(kāi)始與量化互補(bǔ)性原理聯(lián)系起來(lái).但目前這方面的工作都缺乏一般性, 有的工作專注討論純態(tài)而忽略混合態(tài)[14,17], 而且大多只關(guān)心從路徑探測(cè)器(which-path detector)中獲取的路徑區(qū)分度[14?17], 而忽略干涉儀本身不對(duì)稱性中隱含的路徑可預(yù)測(cè)性.本文的目的即在于從最一般的角度研究二路徑干涉儀中相干與路徑信息的互補(bǔ)關(guān)系.為此, 我們利用 Bures距離[44?46]量化路徑信息, 并利用明確量子態(tài)區(qū)分[47?50], 賦予其清晰的物理意義.我們將看到, 干涉儀本身的互補(bǔ)性是密度矩陣半正定性質(zhì)的直接推論; 而路徑探測(cè)器的應(yīng)用并不能增大同時(shí)可能獲取的粒子性信息和波動(dòng)性信息, 二者此漲彼消, 體現(xiàn)出互補(bǔ)性.因此, 我們的工作是對(duì)已知結(jié)果, 特別是文獻(xiàn)[14,17]中關(guān)于互補(bǔ)性結(jié)果的推廣.

本文剩余部分安排如下: 第2節(jié)中將討論一般情況下的路徑信息和相干.針對(duì)干涉儀本身的路徑不對(duì)稱性, 我們得到一個(gè)全新的、類似于(1)式的量化波粒二象性關(guān)系.而討論路徑探測(cè)器的應(yīng)用所需的明確量子態(tài)區(qū)分的概念將在第3節(jié)中簡(jiǎn)要介紹, 該節(jié)也將提出并證明路徑可區(qū)分度與相干的互補(bǔ)關(guān)系.

2 二路徑干涉儀中的粒子性和波動(dòng)性

考慮一般的二路徑干涉儀中的量子自由度.以粒子性的基 { |1〉,|2〉} 作為計(jì)算基.其中 |i〉 表示粒子通過(guò)第i個(gè)路徑的態(tài).這樣, 以此表示的密度矩陣ρ的對(duì)角元便描述了量子態(tài) ρ 分別通過(guò)兩個(gè)路徑的概率, 即 ρ 中可能蘊(yùn)涵的所有路徑信息, 或路徑可預(yù)測(cè)性(Predictability)[4?9].所以在定義路徑信息的時(shí)候, 只需要考慮 ρdiag, 即可以人為地忽略所有的非對(duì)角元.參照文獻(xiàn)[17]中提到的種種優(yōu)點(diǎn), 我們希望利用Bures距離, 即

作為路徑可預(yù)測(cè)性的量度.注意到路徑的不對(duì)稱性是獲取路徑信息的資源, 因而(2)式中所比較的兩個(gè)態(tài) ρi應(yīng)直接反映出這種不對(duì)稱性.為此, 引入顛倒路徑的算符

并定義可預(yù)測(cè)性

簡(jiǎn)單的計(jì)算可以驗(yàn)證, 只有當(dāng) ρ11= ρ22, 也便是路徑完全對(duì)稱時(shí), 可預(yù)測(cè)性 P 才等于0; 也只有當(dāng)某個(gè) ρii=1 , 也便是路徑完全不對(duì)稱時(shí), P 才等于 1.這與我們物理上的考慮完全相符, 也符合文獻(xiàn)[8,9]中提出的粒子性量度歸一性的要求.

在波動(dòng)性方面, 如引言中所講, 可以直接利用相干來(lái)描述, 即干涉對(duì)比度(Visibility)[4?9]

從(5)式和(6)式容易看出, 密度矩陣的半正定性質(zhì), 即 ρ ≥0 可以推出

即針對(duì)干涉儀的量子自由度本身的量化波粒二象性關(guān)系, 或路徑可預(yù)測(cè)性與相干之間的互補(bǔ)關(guān)系.同時(shí), Bures距離和相干函數(shù)的凸性使(5)式和(6)式定義的路徑可預(yù)測(cè)性和干涉對(duì)比度為合理的粒子性和波動(dòng)性的量度.另外, 當(dāng)不等式(7)式得到上限 1時(shí)也正好對(duì)應(yīng)著純態(tài).因此, 關(guān)系式(7)式是一個(gè)合理的波粒二象性的表達(dá)式.事實(shí)上,也不難證明(7)式與經(jīng)典的(1)式等價(jià).只是這里我們利用了Bures距離, 為其更好地應(yīng)用在量子信息領(lǐng)域, 也為賦予其明確量子態(tài)區(qū)分的物理意義奠定了基礎(chǔ).

除了利用干涉儀本身的路徑不對(duì)稱性獲取路徑信息, 人們也可以利用路徑探測(cè)器, 即額外的量子自由度來(lái)增加對(duì)路徑的預(yù)測(cè)以獲取更多粒子性的信息.一般而言, 引入路徑探測(cè)器自由度后, 我們考慮的量子態(tài)變?yōu)閇7]

式中下標(biāo)Q表示原先的量子自由度, 而W則表示路徑探測(cè)器的量子自由度.這樣, 通過(guò)取偏跡, 可以獲得

以及

相干只與約化的密度矩陣 ρQ有關(guān), 所以

可以看到 | T rWχW| 的引入一般使相干變小, 這意味著部分波動(dòng)性信息被粒子探測(cè)器變作了粒子性信息.而為了量化新的粒子性信息, 即路徑可區(qū)分度[7,9],我們需要引入明確量子態(tài)區(qū)分的概念.

3 明確量子態(tài)區(qū)分 (unambiguous quantum state discrimination)

考慮一個(gè)量子體系(ensemble), 已知它分別以概率 p1,p2包含兩個(gè)量子態(tài) ρ1,ρ2, 對(duì)這樣的量子體系的明確量子態(tài)區(qū)分是指尋找一般的量子測(cè)量(POVM) { M1,M2,M3} , 滿足下面的要求

即當(dāng)?shù)趇個(gè)測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)時(shí)( i =1,2 ), 百分百確定量子態(tài)為 ρi; 但當(dāng)?shù)谌齻€(gè)測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)時(shí), 我們不對(duì)量子態(tài)做出預(yù)測(cè).于是第三個(gè)測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)的概率 pf便是明確量子態(tài)區(qū)分失敗的概率.明確量子態(tài)區(qū)分自然地與量子信息傳遞聯(lián)系在一起.比如對(duì)于圖1所示的有噪信道, 假設(shè)Alice把量子態(tài) ρ1, ρ2分別以 p1, p2的概率傳給Bob, 但是信道中的噪音會(huì)使信號(hào)失真, 于是在Bob處還出現(xiàn)了多余的 ρ3.在此, 明確量子態(tài)區(qū)分的成功概率 1?pf即是該有噪信道無(wú)錯(cuò)誤地傳遞信息的概率.

圖1 明確量子態(tài)區(qū)分在有噪信道中的體現(xiàn)Fig.1.Unambiguous quantum state discrimination in a noisy quantum channel.

事實(shí)上這樣的POVM有時(shí)候根本不存在.但是一般而言有下面的不等式關(guān)系[50]

其中保真度[45,51,52]定義為

于是Bures距離可以表示為

注意到如果明確區(qū)分量子體系 ( ρ+XρX?)/2 , 那么由定義式(5)式可以看出

于是路徑可預(yù)測(cè)性 P 可以看作對(duì)量子體系(ρ +XρX?)/2做明確量子態(tài)區(qū)分成功概率的上限.當(dāng)增加了路徑探測(cè)器后, 由(10)式我們需要區(qū)分的體系變?yōu)橹苯永貌坏仁?13)式, 得到

從而可以定義路徑可區(qū)分度 D (ρQW) 為明確量子態(tài)區(qū)分系統(tǒng)的成功概率上限

由(8)式可以看出 ρQW≥0 , 意味著[53]

其中(21)式是因?yàn)?19)式, 及半正定矩陣的性質(zhì)[53,54]

而(22)式是因?yàn)镾chur-Weyl不等式[55?58].

這樣將(11)式和(22)式代入(18)式便得到量子態(tài) ρQW的路徑可區(qū)分度和相干的互補(bǔ)關(guān)系

容易看出, 文獻(xiàn) [17]中關(guān)于互補(bǔ)性的結(jié)果是(24)式在 ρ11= ρ22=1/2 時(shí)的特例.同樣, 我們的結(jié)果也是文獻(xiàn)[14]關(guān)于純態(tài)結(jié)果對(duì)混合態(tài)自然的推廣.我們看到利用路徑探測(cè)器所獲得的更多路徑信息, 必然伴隨著干涉對(duì)比度的減弱; 而同時(shí)可獲取的粒子性信息與波動(dòng)性信息并不會(huì)因?yàn)槁窂教綔y(cè)器的使用而增加.

為了說(shuō)明上面抽象的計(jì)算, 我們來(lái)看幾個(gè)具體的例子.在文獻(xiàn)[10]中, 作者討論了利用非對(duì)稱分束器的Mach-Zehner干涉儀中的波粒二象性關(guān)系.如圖2 所示, 以 | mi〉,i=1,2 表示經(jīng)過(guò)鏡子 mi的路徑, 假設(shè)第二個(gè)分束器 B S2為非對(duì)稱, 整個(gè)干涉儀在路徑上的效果可以總結(jié)為下面的幺正矩陣

圖2 利用路徑探測(cè)器 (WPD)的 Mach-Zehnder干涉儀Fig.2.The Mach-Zehnder interferometer with a which-path detector.

而路徑探測(cè)器的效果利用幺正矩陣U表示.當(dāng)經(jīng)過(guò)第一個(gè)分束器 B S1的量子態(tài)為 ρ 時(shí), 而探測(cè)器的初 始 態(tài) 為 ρW時(shí), 最 后 通 過(guò) 分 束 器 B S2的 量 子 態(tài)即為

其中的 ρjk表示 ρ 在基矢量 { |m1〉,|m2〉} 下的矩陣元.按照第 2 節(jié)中的討論, 通過(guò)取偏跡, 得到

注意上面的矩陣是在基矢量 { B|m1〉,B|m2〉} 下的表示, 即第 2 節(jié)中定義的 | j 〉=B|mj〉.而 (10)式中所需區(qū)分的量子體系為

于是, 按照上文 (11)式和 (18)式的定義, 可以得到

這樣, 通過(guò)類似于(22)式的證明, 我們可以得到互補(bǔ)關(guān)系式 D +V≤1.

再看兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子, 從而更好地理解量子糾纏在(24)式中的體現(xiàn).首先考慮量子態(tài)

其中 | a1〉W,|a2〉W為不一定相互正交的歸一量子態(tài).可以得到

兩者之和為1, 這即是文獻(xiàn)[17]中所說(shuō)的信息守恒.但注意到這里的理論框架較之文獻(xiàn)[17]更為抽象,也因而更為簡(jiǎn)單和一般.

將上面的例子稍微復(fù)雜化, 我們考慮下面的量子態(tài)

式中下標(biāo)E表示無(wú)法控制的量子自由度.這樣, 可以得到

將(35)式與(8)式比較, 即得到

即需要區(qū)分的兩個(gè)量子態(tài)與第一個(gè)例子相同, 所以路徑可區(qū)分度與上例一樣; 而相干則變?yōu)?/p>

如果假設(shè) | 〈 b1|b2〉|1 , 即自由度E與自由度QW是糾纏的, 那么因?yàn)閷?duì)于自由度E無(wú)法控制, 部分有用的信息損失掉了, 而互補(bǔ)關(guān)系(24)式此時(shí)變成了嚴(yán)格的不等式.

4 結(jié) 論

本文利用Bures距離和明確量子態(tài)區(qū)分研究了二路徑干涉儀中相干與路徑信息的關(guān)系, 得到了兩個(gè)互補(bǔ)關(guān)系(7)式和(24)式.其中(7)式可以看作標(biāo)準(zhǔn)的量化波粒二象性關(guān)系, 同時(shí)粒子性的量度P也被賦予了明確的物理意義; 而(24)式可以看作對(duì)已知結(jié)果的一般性推廣.從信息的角度而言,兩個(gè)式子都意味著路徑信息和相干是互補(bǔ)的.同時(shí), 我們注意到這樣的互補(bǔ)關(guān)系與密度矩陣半正定的性質(zhì)密切相關(guān).