葉鵬

(中山大學物理學院, 廣州 510275)

在有對稱性保護的條件下, 拓撲能帶絕緣體等自由費米子體系的拓撲不變量可以在能帶結(jié)構(gòu)計算中得到.但是, 為了得到強關聯(lián)拓撲物質(zhì)態(tài)的拓撲不變量, 我們需要全新的理論思路.最典型的例子就是分數(shù)量子霍爾效應: 其低能有效物理一般可以用Chern-Simons拓撲規(guī)范場論來計算得到; 霍爾電導的量子化平臺蘊含著十分豐富的強關聯(lián)物理.本文將討論存在于玻色和自旋模型中的三大類強關聯(lián)拓撲物質(zhì)態(tài): 本征拓撲序、對稱保護拓撲態(tài)和對稱富化拓撲態(tài).第一類無需考慮對稱性, 后兩者需要考慮對稱性.理論上, 規(guī)范場論是一種非常有效的研究方法.本文將簡要回顧用規(guī)范場論來研究強關聯(lián)拓撲物質(zhì)態(tài)的一些研究進展.具體內(nèi)容集中在“投影構(gòu)造理論”、“低能有效理論”、“拓撲響應理論”三個方面.

1 引 言

在凝聚態(tài)物理中, 絕大多數(shù)金屬/絕緣體等凝聚態(tài)材料可以在朗道-費米液體理論框架下得到很好的解釋[1].相互作用的電子會形成十分豐富的對稱破缺序, 比如超導序、各種密度波序.數(shù)學上, 假設哈密頓量的對稱性G自發(fā)破缺到基態(tài)的對稱性H.“序參量” ? 是在實空間中的局域連續(xù)函數(shù)(從實空間到 G /H 的映射).對稱破缺序的低能有效拉格朗日量可以根據(jù)對稱性的要求表達成 ? 的泛函,比如: L [?]～ (??)2+ ?2+ ?4···.通過對該量子場論做重整化、線性響應等標準微擾計算, 我們可以系統(tǒng)地研究對稱破缺相與相變.

由于在解釋和預言實驗方面的巨大成功, 對稱破缺機制幾乎成了固態(tài)物理的“標準模型”.但是,上個世紀八十年代強關聯(lián)凝聚態(tài)實驗的重大發(fā)現(xiàn)—分數(shù)量子霍爾效應(FQH)—讓我們看到了超越此“標準模型”的可能性.FQH基態(tài)的拓撲性質(zhì), 比如拓撲激發(fā)“任意子”的統(tǒng)計性質(zhì)和基態(tài)簡并度[2],本質(zhì)上與對稱破缺毫無關聯(lián).我們甚至沒法定義一個局域函數(shù)作為序參量來刻畫與區(qū)分不同的FQH態(tài).同時, FQH的低能有效理論是拓撲量子場論—Chern-Simons理論[3].比如, 對于填充數(shù)ν=1/k的勞夫林(Laughlin)態(tài), 其低能有效理論是 U (1)kChern-Simons理論.作用量可寫為

其中場量 aμ是 U (1) 規(guī)范場.該規(guī)范理論在(2+1)維①本文的維度做如下約定: “ ( n+1) 維”是指 n +1 維的時空; “m維”是指m維實空間.閉合流形上的大規(guī)范不變性要求系數(shù)k必須量子化為整數(shù): k ∈Z.S是一個拓撲量子規(guī)范理論,明顯不同于 L [?].從傳統(tǒng)的微擾重整化技術來看,我們很難想象一個只含有電子算符的量子多體系統(tǒng)會“流動到”一個含有演生規(guī)范場的拓撲量子場論.需要注意的是, 這里的Chern-Simons理論是所謂的流體力學構(gòu)造[3], 具有嚴格的系數(shù)(即k)量子化要求, 不同于Zhang等[4]的復合玻色子場論、Lopez和 Fradkin[5]以及 Jain[6–8]的復合費米子場論.

作為拓撲序理論的先驅(qū), Wen[9,10]指出FQH不是簡單的“填能級+微擾”能夠解釋的費米子系統(tǒng)[11], 而是一種完全超越傳統(tǒng)固態(tài)物理框架的強關聯(lián)物質(zhì)形態(tài).他把FQH等一大類超越對稱破缺機制的量子多體態(tài)所含有的“剛性”、“序”稱為“拓撲序”[10](注: 為了與近年來出現(xiàn)的容易混淆的術語區(qū)分開, 本文暫稱之為“本征拓撲序”,intrinsic topological order, iTO).iTO的提出使我們對超越對稱破缺序的量子多體物理的理解有了飛躍式發(fā)展.同時, 拓撲量子場論和共形場論的引進, 極大地促進了凝聚態(tài)物理與數(shù)學物理等學科的交流.但是問題在于, iTO的確切的定義是什么?是不是有能隙的超越對稱破缺機制的多體態(tài)都是iTO? 比如, 霍爾丹 (Haldane)自旋鏈[12]是不是iTO呢? 當然現(xiàn)在我們已經(jīng)知道, 細究此類凝聚態(tài)物理的問題需要借助量子信息科學中的一些非常深刻的概念和方法.Chen等[13], Verstraete等[14]和Vidal[15]借助量子信息中的 “有限深度的量子電路”來重新認識有能隙的多體態(tài).首先, 自旋系統(tǒng)的每個格點上的自旋子空間提供了一個有限維度的“子空間”.比如, 自旋- 1 /2 的體系的每個格點上的子空間維度是 2.我們從具有這種希爾伯特空間的局域可分解的性質(zhì)的多體態(tài)出發(fā), 使用空間局域幺正算符(LU)將有能隙的多體態(tài)作絕熱幺正變換.如果多體態(tài)可以通過有限次數(shù)的LU操作變換成平凡的直積態(tài), 那么該多體態(tài)就是短程糾纏態(tài).否則, 該多體態(tài)是長程糾纏態(tài).在熱力學極限下,我們需要非常小心定義“有限次數(shù)”: 先取熱力學極限, 再取次數(shù)的極限.然后, 如果任意次數(shù)LU都無法連接到直積態(tài), 那么該多體態(tài)是長程糾纏態(tài).SPT和iTO①除非特別說明, 本文中單獨使用的術語“SPT”、“iTO”、“SET”均是玻色系統(tǒng).相應的格點模型應該是相互作用的玻色子系統(tǒng)或者量子自旋模型.與自由費米子SPT不同, 這些玻色系統(tǒng)必然是強關聯(lián)系統(tǒng).分別是短程糾纏態(tài)和長程糾纏態(tài).

在有限多次的LU操作下, 霍爾丹自旋鏈的基態(tài)波函數(shù)(比如AKLT嚴格可解模型的基態(tài)波函數(shù)[16])可以變換成平凡的直積態(tài), 因而霍爾丹相是短程糾纏態(tài).但是從對稱保護的意義上來看, 霍爾丹相仍然是“非平凡”的, 這是因為連接霍爾丹相與平凡的直積態(tài)之間的所有絕熱路徑(注: 路徑就是一連串LU操作)都破壞特定的對稱性, 比如自旋旋轉(zhuǎn)對稱性或者時間反演對稱性().像霍爾丹相這種非平凡的短程糾纏態(tài)被稱為“對稱保護拓撲態(tài)”(SPT)[17–19].因為體內(nèi)每個格點上的自旋都是整數(shù), 所以邊緣上出現(xiàn)的半整數(shù)自旋表明一維體內(nèi)有非平凡的SPT序.但如果自旋對稱性被破壞, 分數(shù)化的邊界自旋就不再存在.SPT的體態(tài)有能隙,體內(nèi)的激發(fā)都是系統(tǒng)本身的玻色子(及其組合)激發(fā)或者自旋翻轉(zhuǎn)等.這些激發(fā)被稱為平凡激發(fā).但是SPT邊界上會有非平凡的量子態(tài)出現(xiàn)(以量子反常體現(xiàn)).在不破壞對稱性的條件下, SPT的邊界態(tài)無法單獨成為一個可以被格點正規(guī)化的量子理論.除霍爾丹自旋鏈[12]之外, 與SPT序有關的具體模型已經(jīng)有很多研究, 比如摻雜的霍爾丹鏈[20]、二維CZX自旋模型[21]、二維玻色整數(shù)量子霍爾態(tài)[22–24]、二維萊溫-顧 (Levin-Gu)自旋模型[25]、二維自旋量子霍爾效應[26]、三維拓撲順磁體[27]、三維玻色拓撲絕緣體(BTI)②具有 U (1)? 的玻色型SPT, 軸子角 θ =2π mod 4π , 是 T2=1 的時間反演對稱性.除非特別說明, 本文中單獨使用的術語“拓撲絕緣體”是指三維費米系統(tǒng)的拓撲能帶絕緣體(TI), 對稱群為 U (1)? , 是 T2=?1 的時間反演對稱性.[28]等.

SPT研究領域的最重要的進展之一是文獻[29,30]提出的統(tǒng)一的分類與表征方法.具體來講,霍爾丹相只是SPT大家族的冰山一角.正如抽象數(shù)學“群論”被用于分析對稱破缺序, 代數(shù)拓撲里面的“群的上同調(diào)論”[29,30]被發(fā)現(xiàn)可以用來構(gòu)造SPT的嚴格可解模型的配分函數(shù), 并在給定空間維度D和對稱群G的條件下給出SPT的不等價類(亦即SPT的分類).具體來講, 給定G之后, 我們可以用G的上同調(diào)群 HD+1[G,U(1)]的群元 ω 來標記SPT的不等價類.在群上同調(diào)的框架下, 我們可以用定義在離散時空格點上的非線性西格瑪模型來研究SPT的體內(nèi)的基態(tài)和邊界的低能激發(fā)態(tài).正如物理其他領域一樣, 用不同的角度不同的方法去理解SPT物理是非常有價值的.群上同調(diào)的構(gòu)造辦法非常系統(tǒng)化.另一方面, 由于群上同調(diào)的格點模型代表SPT不動點的物理, 不動點模型的自旋之間的相互作用十分復雜(比如: 可能是六個相鄰自旋或者更多的相互作用).群上同調(diào)理論關于連續(xù)自旋幺正對稱群的計算非常復雜, 對反幺正對稱性的SPT的分類也不完全[28,31].然而這兩種類型的對稱性是實際量子自旋材料中常見的對稱性.另外, 給定一個“非不動點”的基態(tài)波函數(shù),群上同調(diào)方法不方便直接用于判斷出該基態(tài)是否是SPT、是哪一個SPT.

與SPT相反, iTO[10,32–35]具有長程糾纏, 不需要對稱性的保護, 支持非平凡的拓撲激發(fā)(比如二維iTO中的任意子).iTO的邊界上會有“引力反?！?比如一維手征流).iTO的典型例子是手征自旋液體[2]、toric code自旋模型[36]、Kitaev 蜂窩格子自旋模型[36]、萊溫-文(Levin-Wen)弦網(wǎng)自旋模型[37,38]、Dijkgraaf-Witten模型[39]等.iTO和SPT有重要的對偶關系[25,40]; 通過研究iTO序我們可以間接探索新的SPT序.當iTO具有某種對稱性G, 我們稱這種 iTO為 SET(symmetry-enriched topological phases, 對稱富化拓撲態(tài))[13].從這個定義上來看, 分數(shù)量子霍爾效應可以看成含有二維手征iTO和 U (1) 對稱群的SET序.SET的研究也與尋找拓撲量子自旋液體[41,42]緊密聯(lián)系: 通過研究任意子激發(fā)攜帶的分數(shù)化量子數(shù), 我們可以分類與刻畫不同的自旋液體態(tài).二維SET的張量范疇數(shù)學框架最近也有非常系統(tǒng)的研究[43–47].三維iTO含有圈激發(fā)(loop excitations), 因而有必要研究三維SET甚至無能隙的自旋液體態(tài)中對稱性如何分數(shù)化[48–60].

SPT, iTO和SET都是強關聯(lián)拓撲物質(zhì)態(tài).我們不可能通過能帶結(jié)構(gòu)的分析來實現(xiàn)完整的分類和表征.尋找這些拓撲物質(zhì)態(tài)的“拓撲不變量”需要新的思路.人們在研究銅氧高溫超導的過程當中已經(jīng)發(fā)展了許多非常有效的理論研究方法[11,61–63].規(guī)范場論就是其中一種.作為粒子物理標準模型的理論基礎, 規(guī)范場論在高能物理中占據(jù)著至關重要的地位.在凝聚態(tài)物理特別是強關聯(lián)物理中, 規(guī)范結(jié)構(gòu)通常以低能下的演生的動力學自由度出現(xiàn).在長波低能下, 我們可以構(gòu)造出具有動力學的阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu)甚至非阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu).近年來凝聚態(tài)物理中的拓撲物質(zhì)態(tài)為研究具有拓撲性質(zhì)的規(guī)范場論提供了一個非常重要的平臺.同時, 數(shù)學物理、高能物理里有許多與實際(3 + 1)維時空的粒子物理并無直接關系、但仍具有十分重要的理論價值的研究成果.令人振奮的是, 這些研究成果十分巧妙地應用到了凝聚態(tài)特別是強關聯(lián)拓撲物質(zhì)態(tài)中, 比如在研究拓撲物質(zhì)態(tài)的邊界態(tài)的量子反常、體內(nèi)的拓撲量子場論、編織統(tǒng)計、拓撲量子計算等方面的應用.

本文將簡要回顧近年來SPT，iTO和SET這些拓撲物態(tài)的規(guī)范場論的研究進展.本文具體內(nèi)容主要在“投影構(gòu)造理論”(第2章)、“低能有效理論”(第 3 章)、“拓撲響應理論”(第 4 章)這三大塊.在“投影構(gòu)造理論”中, 我們將物理自由度分成多個“部分子”, 這些部分子之間在紫外有強烈的規(guī)范漲落.在“低能有效理論”中, 我們使用流體力學方式的辦法來得到拓撲物質(zhì)態(tài)的低能有效規(guī)范場論.在這些場論里的規(guī)范場是有動力學的.在“拓撲響應理論”中, 我們通過施加外部規(guī)范場來探測拓撲物質(zhì)態(tài)中的對稱性的性質(zhì).這些拓撲響應理論里的規(guī)范場是靜止的，沒有動力學.第5章是簡短的總結(jié)與展望.

2 投影構(gòu)造理論

2.1 部分子之間的規(guī)范漲落與玻色型整數(shù)量子霍爾效應

“投影構(gòu)造”(projective/parton construction)已經(jīng)廣泛用于重費米子、高溫超導等強關聯(lián)問題[7,61,64–81].最近該方法也用在了構(gòu)造SPT態(tài)的問題上[27,82–86].在這種構(gòu)造當中, 玻色子/自旋算符可以分解成多個費米子(也可能是玻色型)算符(被稱為“部分子”, parton)的乘積.部分子形成各種平均場的量子態(tài)(常稱為“擬設”, ansatz).由于部分子形成的希爾伯特空間比原始玻色子/自旋空間的“物理希爾伯特”空間( Hphys.)大, 我們需要最后通過投影算符將部分子重新“粘”在一起, 恢復物理希爾伯特空間.

在這種構(gòu)造方法中, 一個難點在于如何處理部分子之間的規(guī)范漲落.實際上, 當我們在格點上寫下部分子的作用量時, 和部分子耦合的那些規(guī)范場并沒有麥克斯韋項(Maxwell項)出現(xiàn).這說明, 在格點上(紫外), 部分子之間的規(guī)范漲落的強度是無窮大的! 但是, 如果部分子形成的平均場量子態(tài)恰巧能給規(guī)范場一個能隙, 那么規(guī)范漲落就被壓制了①按照定義, SPT的體內(nèi)是有能隙的, 所以我們需要想辦法構(gòu)造一個有能隙的投影波函數(shù)..在二維SPT的投影構(gòu)造中, 我們可以假設部分子填充陳-能帶(Chern band), 從而自然地給規(guī)范漲落提供一個Chern-Simons能隙[87].即使陳數(shù)(Chern number)為零, 由于二維的純緊致化量子電動力學(QED)沒有庫侖相, 規(guī)范場耦合常數(shù)將始終流到強耦合區(qū)域的瞬子激增(instanton proliferation)態(tài), 導致無能隙的光子從激發(fā)譜中消失.所以, 在二維SPT的投影構(gòu)造中, 規(guī)范漲落是相對容易處理的.然而, 三維體系的部分子之間的規(guī)范漲落是一個復雜的問題.三維沒有陳氏能帶可以讓部分子填充, 同時三維QED可以處在庫侖相也可以處在磁荷凝聚(monopole condensation)相.為了讓體內(nèi)既有能隙也可能支持非平凡的SPT序, 我們在文獻[84,85]中使用了雙荷子(dyon)凝聚這種方式來做投影構(gòu)造.本文將在第2.5節(jié)中介紹三維的投影構(gòu)造.

文獻[83]研究了對稱群為 U (1) , S O(3) ,SU(2)的二維SPT的低能有效場論和基態(tài)波函數(shù)的投影構(gòu)造.這里的投影構(gòu)造的基本思路如下: 考慮部分子形成了各種各樣的陳-能帶, 然后通過投影算符恢復物理希爾伯特空間.文獻[86]對此投影構(gòu)造做了蒙特卡羅方法計算, 從多個角度驗證了投影后的態(tài)是非平凡SPT.如圖1所示, 投影后的態(tài)的拓撲糾纏熵為零, 說明沒有本征拓撲序.這種SPT也被稱為“玻色型整數(shù)量子霍爾態(tài)”(BIQH), 對稱群是U(1), 其霍爾電導量子化為偶數(shù)(單位為: e2/h ):σxy=0,±2,±4,···.為理解為什么 σxy量子化為偶整數(shù), Senthil和Levin[23]借助著名的“勞夫林論證”(Laughlin's argument)的基本思想[88]提供了一個十分簡單的圖像: σxy必須量子化為整數(shù), 以保證體內(nèi)沒有分數(shù)激發(fā); 而且 σxy必須是偶數(shù), 以保證體內(nèi)不存在費米子激發(fā).

圖1 蒙特卡洛驗證投影后得到的SPT波函數(shù)的拓撲糾纏熵為零, 摘自文獻[86]Fig.1.Monte Carlo verification of vanishing topological entanglement entropy of the SPT wave function obtained from the projective construction.

2.2 部分子的擬設與Hubbard相互作用

文獻[83,86]做了初步的投影構(gòu)造研究.本文將討論一些更加典型的例子, 澄清一些具體技術細節(jié).首先考慮兩種不同“味”(flavor)的自旋–1/2的費米子: f1σ和 f2σ.這里的“味”指標可以是雙層二維系統(tǒng)的層指標, 也可以代表不同最外層軌道.這些費米子可以看成上面所說的物理自由度分解開形成的部分子; 也可以將其直接看成是真實存在的費米子; 然后施加適當?shù)腍ubbard相互作用, 可以將這個費米子系統(tǒng)的希爾伯特空間投影到“物理自由度”組成的 Hphys..

首先, 我們假設兩個味的費米子以各種填充方式形成能帶絕緣體.考慮表1里的四種擬設(A1,A2,A3,A4).在該表格里, 每個元胞里的費米子填充數(shù)完全由陳-能帶數(shù)目決定.也就是說, 費米子不再填充其他任何能帶.這樣一來, 我們可以直接從該表格讀出每種費米子總的粒子數(shù)目.比如,擬設 A 1 里的費米子總粒子數(shù)分別為

其中 Ncell是總的元胞數(shù)目, Nlatt是總的格點數(shù)目,q是單個元胞對應的不等價格點個數(shù).擬設 A2 里的費米子總粒子數(shù)分別為:

擬設 A 3 里的費米子總粒子數(shù)分別為:

擬設 A 4 里的費米子總粒子數(shù)分別為:

在投影之前, 表1的任意一個擬設都可以用如下的Chern-Simons理論來刻畫[89]:

表1 二維投影構(gòu)造中的部分子的擬設.A 1,A2,···,A4 代表四種擬設.每條完全填充的能帶由箭頭和正負號標記.箭頭表示自旋方向, 正負號代表陳數(shù)為1或–1.A1一共有8條填滿的陳-能帶.A2和A3都有4條填滿的陳-能帶.A4只用到了f1, 一共有兩條陳-能帶被填滿.括號里成對的數(shù)字表示單個元胞里的費米子f1或f2的填充數(shù): (自旋向上的費米子數(shù)目, 自旋向下的費米子數(shù)目).Table 1.Parton ansatzes in the two-dimensional projective construction.A 1,A2,···,A4 stand for four different ansatzes respectively.Each fully occupied band is labeled by a pair of arrow and plus/minus sign.The arrow represents the spin eigenvalue of Sz , and ± represents Chern number ± 1.In A1, there are 8 fully occupied Chern bands; There are 4 fully occupied Chern bands in each of A2 and A3.In A4, flavor index is not involved, so only one flavor, say, f1 is taken into account.And there are two filled Chern bands.A pair of integers denote the filling number of either f1 and f2 in each unit cell: (fermion number with up spin, fermion number with down spin).

其中, 省略號包含所有含有比Chern-Simons項更高階的動量的作用量, 比如麥克斯韋項.要注意的是, 麥克斯韋 項一般情況下可以忽略.但是個別情況下, 我們需要保留麥克斯韋項.我們用指 標 I ,J=1,2,3,4,··· 表記第 I或第 J條完全被填滿的能帶.第I條能帶對應的粒子流用微分形式可以簡寫為:其中 ? 代表Hodge對偶算符.顯然,f1費米子的總粒子數(shù)流是所有由 f1占據(jù)的能帶貢獻的流的總和.比如擬設 A 1 中同樣, f2費米子的總粒子數(shù)流代表通常的外電磁場, 耦合到費米子流, 用于計算電磁響應.是外加的“自旋規(guī)范場”.該規(guī)范場耦合到自旋 Sz形成的流.電荷矢量和 自旋矢量分別決定每個能帶對應的 U (1)C(代表電荷守恒的對稱群)荷和 U (1)Sz (代表自旋z方向守恒的對稱群)荷.

具體來講, 對于 A 1 來講, 相應的K為:

其中, 能帶指標 I =1,2,···,8 與表1中的能帶從左到右依次對應.A 2 和 A 3 共享同一個矩陣K:

最后, 擬設 A 4 的K為:

表1里的費米子都是自由的.在這些自由費米子模型的基礎上, 我們考慮如下形式的Hubbard相互作用(腳標i代表空間格點):

其中的帶有各種腳標的算符n是格點i上相應費米子的粒子數(shù)算符.這些相互作用在強耦合的極限下將限制每個格點上低能下可容許的費米子占據(jù)狀態(tài).表2里列出了所有相互作用在強耦合極限下形成的低能希爾伯特空間, 亦即 Hphys..為了讓每個格點上都能夠同時處于該空間里然后做投影構(gòu)造, 我們需要要求實空間里各種費米子總的填充數(shù)也滿足一定要求.因此, 在選擇“擬設”和“相互作用”的時候, 一定要注意擬設里的晶格選擇和能帶填充設計是否自動滿足了該表格里的要求.如果沒有得到滿足, 則我們需要把部分高能態(tài)考慮進來.

表2 在大U極限下, 實空間每個格點上的不消耗U能量的占據(jù)狀態(tài)形成了物理希爾伯特空間.我們需要對費米子的總的填充數(shù)做限制.限制之后, 所有格點都能夠同時處于物理希爾伯特空間.Table 2.At large U limit, the physical Hilbert space is formed by those occupancy bases without energy cost.We should restrict the total particle number of each flavor properly such that Hilbert space of every site is always in the physical Hilbert space.

2.3 投影后的態(tài)的量子霍爾“電”導

在開始做投影之前, 我們需要小心定義各種霍爾“電”導來確定投影之后的態(tài)的拓撲性質(zhì).首先,我們這里需要同時考慮施加外電磁場和所謂的“自旋規(guī)范場”.前者最小耦合于電流, 后者最小耦合于自旋流(z分量).由于兩種外場和兩種響應流的出現(xiàn), 為了不產(chǎn)生歧義, 我們需要小心定義關于電導的術語.新定義的術語需要明確體現(xiàn)出外場和響應流兩個信息.最一般的響應理論由如下這個拉格朗日量給出:

其中, σc是“量子電荷霍爾電導”, 也就是通常意義下的“量子霍爾電導”, 相應的外場和響應流分別是外電磁場和電流; σcs在這里被稱為“量子電荷-自旋霍爾電導”, 也就是平常所說的Kane-Mele模型中的“量子自旋霍爾電導”, 相應的外場和響應流分別是外電磁場和自旋流(或者交換一下: 自旋規(guī)范場和電流).σs被稱為“量子自旋霍爾電導”, 但不是通常意義下的量子自旋霍爾電導, 這里相應的外場和響應流分別是自旋規(guī)范場和自旋流.對于非阿貝爾的版本的 σs, 讀者可以參見文獻[26]里的討論, 該文章作者將 S U(2) 的情形叫做自旋量子霍爾效應, 也是為了和通常意義下的量子自旋霍爾效應區(qū)別開.對于一個玻色SPT, σcs的量子化條件是σcs=k/2π, 其中 k ∈Z.對這個量子化條件的一個簡單的物理論證, 可參見文獻[51].

2.4 幾個投影波函數(shù)例子

例子1|A1U1〉

我們用“擬設+Hubbard相互作用”來標記一個投影波函數(shù).比如 A 1U1 表示在擬設 A 1 所對應的能帶絕緣體上加上 U1相互作用, 并考慮大 U1的極限下得到的態(tài).該多體態(tài)可以寫為:其中, | A 1〉 是擬設 A 1 的陳-能帶對應的基態(tài)波函數(shù).是投影算符, 定義為:其中, i是空間格點坐標.波函數(shù)定義為這里的“ | x xxx〉 ”對應表2中的費米子占據(jù)狀態(tài).為了理解這個投影波函數(shù)的性質(zhì), 我們應用Chern-Simons理論來分析.投影算符起的作用實際上是要求 f1與 f2的粒子數(shù)流處處相等, 亦即選擇合適的規(guī)范, 該約束條件可以改寫成因而, 這 8 個規(guī)范場中只有 7 個是線性獨立的.不失一般性, 我們可以將公式(2)中的替換掉, 得到新的Chern-Simons理論.新的K矩陣, 矢量 qc和矢量 qs分別為:

新的矩陣的行列式為零( d etK=0 ).為了更明顯看到零本征值, 我們做相似變換將 ( K,qc,qs) 變換到如下形式:

這里的變換矩陣 W ∈GL(7,Z).需要注意的是, 為了簡化符號, 在新的基底下, 我們?nèi)匀皇褂昧伺f的符號 ( K,qc,qs) 和 aI,I=1,2,3,···,7.在這個新的基底下, 第七個規(guī)范場沒有Chern-Simons項.因而我們需要考慮比Chern-Simons更高階的規(guī)范不變項, 亦即麥克斯韋項盡管不確定g的大小, 我們知道 ( 2+1) 維緊致量子電動力學的路徑積分中的瞬子構(gòu)型會導致一個有限大的光子質(zhì)量 (能隙)[90–92].所以, 一個單純的 ( 2+1) 維的緊致QED始終是有能隙的.但我們要十分小心地把這個結(jié)論用到我們的問題上來.首先, 如果 qc和qs的第7分量不為零, 那么 a7的磁通將會攜帶物理守恒荷—電荷和z方向的自旋.瞬子構(gòu)型使得磁通產(chǎn)生消失, 從而明顯破壞對稱荷的守恒律, 從而破壞在外加規(guī)范場(亦即 Ac和 As)規(guī)范變換下的不變性.這個圖像表明, 非零的物理守恒荷將修正瞬子產(chǎn)生算符的標度維度, 使得基態(tài)處于具有零質(zhì)量光子激發(fā)的庫倫相.正好, 現(xiàn)在正在計算的例子中的 qc和 qs的第7分量都為0, 所以, 在我們討論的具體問題里, a3的確是有能隙.我們可以把(K,qc,qs)的第7行第7列都去掉, 得到:

這個新的K矩陣的行列式絕對值為 1 , 因而|A1U1〉沒有iTO.對角元都是偶數(shù), 因而 | A 1U1〉 是一個玻色型的波函數(shù).該矩陣有三個正本征值和三個負本征值, 因而 | A 1U1〉 是非手征的, 手征中心荷 c =0.為了進一步判斷該態(tài)是平凡的玻色絕緣體, 還是非平凡的SPT, 我們需要計算量子霍爾電導:σc= σs= σcs=0.由于所有電導都為0, 我們可以判定 | A 1U1〉 是一個平凡的玻色絕緣體.

例子2|A2U1〉

下面我們討論 | A 2U1〉.同樣, 大 U1極限導致在選擇合適的規(guī)范下, 該約束條件等價于:因而四個規(guī)范場不是完全獨立, 我們可以把其中一個, 比如消掉.這樣一來, 我們得到新的 K、 qc和 qs:

我們可以看到, 在新的基底下, 3 ×3 的K-矩陣可以寫成泡利矩陣與零的直和: σx⊕0.在新的基底下, a1和 a2之間混合在一起.同時, a3分別與 a1和a2不混合, 而且 a3規(guī)范場沒有Chern-Simons項～ a3?a3.由于 qc和 qs的第三分量都為零, 所以, 在我們討論的具體問題里, a3是有能隙的.我們可以把 ( K,qc,qs) 的第三行第三列都去掉, 得到:K=σx,qc=(0 2)T,qs=(1 0)T.新的 K表 明|A2U1〉沒有iTO, 非手征, 玻色型.下一步, 我們可以計算各種霍爾電導:由于有非零的“量子電荷-自旋霍爾電導”,|A2U1〉是一個受到 U (1)C×U(1)Sz 對稱群保護的非平凡SPT.

例子3|A3U1〉

接下來我們討論一下 | A 3U1〉.注意到 擬設A3的自旋矢量 qs=(1/2?1/2?1/2 1/2)T, 在大U極限下, 我們可以得到與(11)一樣的 K矩陣和 qc,但是 qs=(1 0?1)T.在W的作用下, 我們得到與(12)式一樣的K和 qc, 但是 qs=(?1 1?2)T.我們注意到, qs的第三分量不再是零.這說明,a3的磁通將攜帶自旋自由度.從而, a3的光子仍然處于無能隙的庫倫相.接下來我們可以看到, 該無能隙的激發(fā)正好是投影之后得到的磁有序態(tài)的戈德斯通(Goldstone)模.為了看出這一點, 我們可以對與 a3有關的項, 亦即

這個有效理論正好是帶對稱性的凝聚體的有效理論, 其中 θ 是戈德斯通模式.需要強調(diào)的是, 這里的規(guī)范場 As是外加的、“非動力學的”自旋規(guī)范場,因而戈德斯通模不會消失.因而, | A 3U1〉 態(tài)的對稱性是 U (1)C×Z2.

除 了 a3之 外 , 與 a1和 a2有 關 的 項 由 Chern-Simons理 論 描 述: K =σx,qc=(0 2)T,qs=(?1 1)T.嚴格來講, 由于 U (1)Sz 已經(jīng)破缺到 Z2,qs應該理解為對稱破缺后剩余 Z2荷, qs與 qs+2 等價.為了刻畫這個態(tài), 我們可以計算拓撲不變量:需要注意的是, 我們引入了新的符號 Ks和 Kcs來替代 σs和 σcs.原因是現(xiàn)在自旋對稱性不再是 U (1)Sz , 無法定義與自旋有關的霍爾效應.但物理上, 我們?nèi)匀豢梢杂?Ks來描述外加的自旋 Z2磁通的“自統(tǒng)計”—自己繞著自己轉(zhuǎn)一圈的拓撲相位積累.Ks=2 說明這個外加的 Z2自旋磁通可以看成一個稱為“半子”(semion)的任意子(anyon).但要注意的是, 由于無能隙的戈德斯通激發(fā)的存在, 兩個 Z2磁通之間始終存在一個對數(shù)相互作用勢.因而, 兩個磁通的交換統(tǒng)計相位始終有一個非普適的動力學相位.我們需要指出的是, 以上討論的任意子及其非平凡的統(tǒng)計性質(zhì), 并不表示著 | A 3U1〉 有iTO.因為, 這些任意子都是外加的“非動力學的”自旋規(guī)范場 As產(chǎn)生的 Z2磁通的性質(zhì), 而不是 | A 3U1〉 態(tài)本身的激發(fā)的性質(zhì).的確, 在|A3U1〉中, 與 a1,a2有 關 的 項 組 成 的 Chern-Simons項的K矩陣的行列式絕對值是1.Z2磁通被稱為“monodromy缺陷”[25,93].

如果我們把 As視為動力學的規(guī)范場的話, 那么, 由于希格斯機制的緣故, 戈德斯通模就不再存在.此時的低能有效理論的K矩陣需要把 As也包括進來.同時, As是被 Higgs到 Z2規(guī)范群, 因而,我們可以引進另外一個1-形式的動力學規(guī)范場B來把 Z2放松到 U (1) , 從而我們可以在基矢(a1,a2,As,B)下, 寫出新的K矩陣:

該矩陣的行列式絕對值為 4 , 有拓撲激發(fā).

例子4|A4U6〉

如果考慮蜂窩格子的話, 擬設 A 4 正好滿足半填滿 (注意 q = 2)的條件.| A 4U6〉 可以看成是Kane-Mele-Hubbard模型[94–96]在半填滿時的強耦合極限下的基態(tài).在大 U6極限下,可以被代替.相應的低能有效理論對應的 K ,qc,qs分別為:

用與前面類似的分析辦法, 我們可以得到把低能有效理論對偶到一個攜帶自旋量子數(shù)的凝聚體.因而, 該投影波函數(shù)是一個自旋對稱性 U (1) 的自發(fā)破缺態(tài), 是一個自旋能隙為零的磁有序態(tài).qc=0說明激發(fā)都是電中性.

例子5|A3U4〉

大 U4極限導致規(guī)范場之間的約束條件:消掉我們得到新的K, 新的 qc, 和新的 qs:

這個矩陣正好是雙半子態(tài)(double-semion state)的K矩陣.行列式絕對值為 4 , 說明有iTO.對角元都是偶數(shù), 說明是玻色型波函數(shù).這個iTO有三個非平凡拓撲激發(fā): 半子s (拓撲自旋為i, 由準粒子矢量 ( 1 0)T標記), 反半子(拓撲自旋為? i , 由準粒子矢量 ( 0 1)T標記), 以及玻色復合粒子.半子和反半子分別攜帶 Sz的物理自旋 Sz=1/2 :

2.5 雙荷子凝聚和三維復合粒子理論

以上投影構(gòu)造均是二維的情形.正如第2.1節(jié)所述, 三維體系中關于部分子與部分子之間的規(guī)范漲落的處理將變得非常復雜.文獻[84,85]中提出的雙荷子(dyon)凝聚機制可以用來得到一些非平凡的SPT.這種雙荷子凝聚機制在構(gòu)造三維拓撲態(tài)中起的作用類似于復合費米子和復合玻色子理論在構(gòu)造二維分數(shù)量子霍爾效應中起的作用[4–8].所以, 我們把這個機制稱為“三維復合粒子理論”[84,85].基于該三維復合粒子理論, 我們可以構(gòu)造BTI、費米型和玻色型分數(shù)拓撲絕緣體(具有 U (1)?的費米型與玻色型SET)等拓撲態(tài), 也可以討論三維iTO中的一種拓撲對稱性—荷-圈激發(fā)對稱性(Charge-loop excitation symmetry, Charles)[85].這種對稱性是二維iTO中的討論[43,97–108]的三維推廣.我們將在第2.6節(jié)中簡單介紹一下Charles對稱性.

考慮一個費米子(比如電子)系統(tǒng)[85], 電子算符c可以寫成奇數(shù)個費米型部分子( fi, i = 1, 2,···,2n+1)的乘積: c =f1f2···f2n+1.因而, 電子算符 c是 S U(2n+1) 規(guī)范群的一個單態(tài).SU(2n+1)的極大環(huán)面子群(maximal torus)是緊致的阿貝爾群 ( U(1))2n.其規(guī)范變換定義為:這里的 { θi} ( i =1,2,···,2n )是空間格點和連續(xù)時間的任意標量函數(shù).這樣一來, 通過應用't Hooft規(guī)范投影[109], 電子體系的作用量在強耦合區(qū)域可以表示為相互作用的部分子與 2n 個緊致的、動力學的、阿貝爾規(guī)范場(i = 1, 2,···,2n).為了表述簡便, 我們稱這些規(guī)范場為“內(nèi)部規(guī)范場”.與之對應, “外部規(guī)范場”特指用于探測電磁響應而施加的非動力學的電磁場.圖2給出了 n =1 的情形.波浪線代表外部規(guī)范場 Aμ和兩個內(nèi)部規(guī)范場 aμ和 bμ(分別屬于緊致規(guī)范群 Ua(1) 和Ub(1)).部分子 f1和 f2分別攜帶 Ua(1) 規(guī)范群的一個單位的規(guī)范荷和一個單位的負規(guī)范荷.同時, 部分子 f3和 f2分別攜帶 Ub(1) 規(guī)范群的一個單位的規(guī)范荷和一個單位的負規(guī)范荷.部分子 f1, f2,f3分別攜帶電荷 e ,e,?e.

圖2 一種將電子分成三個部分子的投影構(gòu)造(即 n =1 ),摘自文獻[85]Fig.2.Parton decomposition of electron operators.

盡管考慮到規(guī)范場的強耦合性, 規(guī)范漲落的領頭效應仍然可以在考慮一些復合粒子的玻色-愛因斯坦凝聚之后做微擾計算得到.在強耦合區(qū)域, 凝聚的復合粒子可以攜帶規(guī)范場的磁荷.這個思路在3+1)維緊致QED、Georgi-Glashow模型、超對稱楊-米爾斯理論 (SUSY)中有所應用[90–92,109–117].對于緊致阿貝爾規(guī)范理論, Fradkin和Susskind[115]構(gòu)造了磁單極子產(chǎn)生算符及其非零的真空期望值.由于在磁荷凝聚相里, 試探電荷之間存在線性勢能, 因而磁荷凝聚相也被稱為: 禁閉相(confinement hase).然而, 如果我們直接假設部分子之間的規(guī)范場漲落處于磁荷凝聚相, 部分子將簡單地還原成電子, 我們將無法得到一個有趣的物質(zhì)態(tài)(iTO或者SPT).為了得到一個有能隙的、非平凡的拓撲態(tài), 文獻[84,85]考慮雙荷子凝聚相, 也就是所謂的傾斜禁閉相”(oblique confinement phase)[109].雙荷子指的是部分子和磁荷形成的復合粒子.這里的部分子攜帶內(nèi)部規(guī)范場的“電荷”①為了與外部電磁場的電荷區(qū)別開, 對于內(nèi)部規(guī)范場, 以下我們均用“規(guī)范荷”.; 這里的磁荷是內(nèi)部規(guī)范場形成的磁荷.但我們要強調(diào)的是, 為了得到一個局域場論, 凝聚的雙荷子攜帶的規(guī)范荷和磁荷不能屬于同一個規(guī)范群.因而, 嚴格來講, 這里的被凝聚的粒子針對具體一個規(guī)范子群來講, 并不是雙荷子.

整個系統(tǒng)的規(guī)范群是U(1)C×U(1)a×U(1)b.在沒有考慮規(guī)范漲落的時候, 存在包括部分子在內(nèi)的各種不同的粒子.每個粒子可以用三個“電荷”和三個“磁荷”來標記.盡管三維沒有陳氏能帶, 我們可以考慮新的擬設: 部分子處于三維拓撲絕緣體的狀態(tài)[118,119].圖2中使用了規(guī)范場A、a和b.在很多情況下, 我們需要變換一下基矢得到如下三個更加好用的規(guī)范場:如圖2 所示.按照定義,Afi是只耦合到 fi的規(guī)范場.在新的基矢下, 規(guī)范群可以寫為: U (1)f1×U(1)f2×U(1)f3.兩套規(guī)范場標記方案之間滿足如下變換關系:

這里的變換矩陣屬于 G L(3,Z) 群.由于規(guī)范場有兩種標記方案, 相應的規(guī)范荷和磁荷也應該滿足一定的變換關系.我們用 Na,b來標記 U (1)a,b規(guī)范群里的規(guī)范荷, 同時, 用來標記磁荷.我們用NA和M 來標記外電磁場響應下的“裸電荷”和“磁荷”.由于凝聚體有電荷屏蔽作用, 每個粒子實際攜帶的電荷Q需要在“裸電荷”上扣除掉類似Debye-Hückel的屏蔽電荷.在新的基矢下, 我們可以用 Nfi和分別標記規(guī)范荷和磁荷.根據(jù)變換公式(19), 我們可以得到兩個基矢下各種荷之間的變換:

其中兩個矩陣也屬于 G L(3,Z) 群.所有磁荷的定義域都在整數(shù)域:然而, 當考慮強規(guī)范漲落之后, 留在激發(fā)譜上的粒子的磁荷實際可以取到的整數(shù)區(qū)間要小于整個整數(shù)域.

根據(jù)威騰效應(Witten effect)的公式[118–120],規(guī)范荷 Nfi( i =1,2,3 )與磁荷有如下關系:其中, 整數(shù) nfi標記相應復合粒子內(nèi)粘附了多少部分子 fi.θ 由部分子的擬設決定.如果 θ =0 , 那么所有部分子處于平凡能帶絕緣體擬設; 如果 θ =π , 那么所有部分子均處于非平凡的拓撲能帶絕緣體擬設.取決于 θ , N f1,f2,f3 ,Na,Nb,NA既可以是整數(shù)也可以是半整數(shù).

考慮強規(guī)范漲落之后, φ1和 φ2兩個玻色型粒子發(fā)生凝聚②為了使得兩個凝聚體共存, 我們要求玻色子 φ 1 和玻色子 φ 2 之間交互統(tǒng)計為零.這種情況我們稱之為permissible condensates..由于希格斯(Higgs)機制, 兩個凝聚體提供兩個獨立約束條件.六個參數(shù)最終剩下四個自由參數(shù).比如, 消掉 Na和 Nb, 剩下通過分析這四個參數(shù)的取值, 我們可以判斷強規(guī)范漲落(亦即投影之后)得到的態(tài)是否保持時間反演對稱性、是否支持非平凡的威騰效應, 由此得到投影后的態(tài)的表征.

2.6 荷-圈激發(fā)對稱性與非阿貝爾線缺陷

文獻[85]提出三維拓撲態(tài)的“荷-圈激發(fā)對稱性”(簡稱為: C harles )的動機是推廣二維iTO中的“拓撲對稱性”(或稱之為“任意子對稱性”anyonic symmetry)[43,97–108].二維iTO中最簡單的一個例子就是Wen-plaquette格點模型[121]實現(xiàn)的Z2iTO里的激發(fā)e和激發(fā)m之間的交換操作.該操作就是任意子對稱群 Z2里的非平凡操作.在這個操作下, iTO的所有拓撲不變量(比如拓撲自旋、編織統(tǒng)計)保持不變.有趣的是, 對于這個具體的例子, 我們可以通過在格點上引入缺陷—位錯(lattice dislocation)來實現(xiàn)e-m之間的交換操作:當e穿過一條終止于位錯的割線(branch cut)的時候, e將變成m.更有趣的是, 正由于位錯起的這個作用, 位錯這個缺陷可以看成一個具有非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì)的點粒子.文獻里將這種缺陷稱為:extrinsic twist defect.需要注意的是, 該非阿貝爾粒子來源于外加的幾何缺陷, 并不是原 Z2iTO的激發(fā).

我們首先簡單介紹一下二維阿貝爾iTO里任意子對稱性.二維阿貝爾iTO的低能有效理論[89]是 K-矩陣 Chern-Simons理論 (K是 N ×N 整數(shù)對稱矩陣, D etK±1 ).所有拓撲性質(zhì)都由矩陣K決定.如果 K′=WKWT, 其中 W ∈GL(N,Z) ,那么 K′和K對應的iTO完全等價.如果選取的W使得 K =K′, 那么W生成了K的自同構(gòu)(automorphism).我們用符號 A uto(K) 來表示自同構(gòu).但要注意的是, 在所有這樣的W中, 有部分的W矩陣只是把所有非平凡的激發(fā)(任意子)上粘附平凡的局域激發(fā), 因而實際上激發(fā)譜的標記①在K-矩陣Chern-Simons理論中用一個N維整數(shù)矢量來標記[89].沒有任何本質(zhì)的改變.我們用符號Inner ( K) 來表示這類平凡的變換.因而, 刻畫“e-m交換”這類操作的“任意子對稱群”可以定義為:G≡Outer(K)=Auto(K)/Inner(K), 從而把所有平凡的變換去掉.

Outer(K)可以看成對N維超方晶格的點群操作; 同時, 該超方晶格每一個格點對應著一個激發(fā)(任意子).為了把二維的討論推廣到三維iTO, 我們基于第2.5節(jié)中的投影構(gòu)造, 定義一個六維的“電荷-圈格子”(charge-loop lattice), 格點坐標為:兩分量整數(shù)矩陣 L =(?,?′)T是純?nèi)ぐl(fā)的標記.如果所有坐標都不為零, 那么格點代表著一種點粒子激發(fā)和圈激發(fā)的復合.于是, 我們可以用類似二維iTO的任意子對稱群的定義方式來定義三維iTO 的“荷-圈激發(fā)對稱性”( C harles ).C harles 群是六維電荷-圈格子的點群的一個子群: Charles =這里的K是任意整數(shù)矩陣(注: 不一定是對稱的), 來自于(3 + 1)維多分量阿貝爾BF理論的系數(shù).這里的 A uto(K) 是K的自同構(gòu)的推廣, 由矩陣 G =W⊕? 生成.其中的兩個 G L(N,Z) 矩陣W和 ? 滿足 兩個條件: 第一, ? KWT=K ; 第二,Γ(···,Nm,···)= Γ(···,W?1Nm,···).第二個條件中的 Γ 是點粒子的自統(tǒng)計(要么是玻色子要么是費米子).I nner(K) 里的群元 除了滿足這兩個條件之外, 還需要滿足:W?1Nm?Nm=KT(n1,n2)T和??1L?L=K(n3,n4)T.其中, n1,···,n4∈ Z.

物理上, C harles 群的群元 G =W⊕? 對應著點群操作: ( Nm)new=W?1Nm,(L)new= ??1L.Charles群的操作不僅保證電荷-圈格子幾何性質(zhì)不變, 而且保證所有激發(fā)(電荷-圈的復合)的所有拓撲性質(zhì)不變.在我們考慮的具體投影構(gòu)造中, 這里的拓撲性質(zhì)包括點粒子的自統(tǒng)計、點粒子-圈激發(fā)之間編織統(tǒng)計(亦即Aharonov-Bohm相位)以及Debye-Hückel屏蔽電荷.類似于二維的做法, 我們在三維也可以引入extrinsic twist defect.通過計算發(fā)現(xiàn),點缺陷始終對應著 C harles 群的單位元.線缺陷可以生成非平凡的群元.類似二維的做法, 我們也可以討論線缺陷的非阿貝爾融合規(guī)則(non-Abelian fusion rule), 如圖3的(b)和(c)所示.

3 低能有效理論

3.1 三維對稱保護拓撲態(tài)

對于絕大多數(shù)阿貝爾對稱群, SPT的低能有效場論是一個兩分量的Chern-Simons理論:其 中 ,是兩個不同的 U (1) 規(guī)范場, 矩陣K是泡利矩陣 σx.K的行列式是?1 , 使得SPT的體內(nèi)沒有拓撲激發(fā), 也就沒有iTO.有趣的是, 這個Chern-Simons項正好是所謂的 level-1 的“ B F ”理論[122–126]在 (2 +1)維時空的實現(xiàn).按照 BF 項的標準寫法, 我們把其中一個規(guī)范場寫成b.那么上面這個Chern-Simons項就變成了:鹿芫明和Vishwanath[127]系統(tǒng)地研究了二維SPT的低能有效場論.從二維SPT的Chern-Simons理論出發(fā),通過研究Chern-Simons理論的邊界上的共形場論, 我們即可得到受阿貝爾對稱群保護的二維SPT的分類.對于絕大多數(shù)簡單的阿貝爾群, 他們的分類結(jié)果和群上同調(diào)[29,30]得出的結(jié)果是完全吻合的.后來人們進一步發(fā)現(xiàn), 單獨的Chern-Simons項是不夠的.比如, 對于對稱性為ZN1×ZN2×ZN3這種對稱性保護的SPT, 我們需要形式如[128]:這種twisted拓撲項[40].其中, 三分量的level-1 B F 拓撲項保證了SPT體內(nèi)沒有拓撲激發(fā).系數(shù)q滿足一定的量子化條件和周期性條件.而周期性條件給出了相應SPT的分類.但如果 B F 項的level是大于1的整數(shù), 那么該作用量可以看成DW格點模型[39]的連續(xù)場論.后者具有iTO, 有拓撲激發(fā).

圖3 “Twist缺陷和拓撲激發(fā)”的融合規(guī)則示意圖 (a) 二維iTO的任意子和點缺陷的融合.(b) 三維iTO的點激發(fā)與線缺陷的融合.(c) 三維iTO的圈激發(fā)與線缺陷的融合.摘自[85]Fig.3.Diagrammatic illustration of fusion rules among twist defects and topological excitations.(a) Fusions between an anyon(quasiparticle) and a point-defect in a two-dimensional iTO.(b) Fusions between a particle excitation and a line defect in a threedimensional iTO; (c) Fusions between a loop excitation and a line defect in a three-dimensional iTO.[85].

表3 受到幺正阿貝爾群保護的“不可約”的三維SPT態(tài)的低能有效理論及其分類.aI 和 bI 分別是1-形式 和2-形式U(1)規(guī)范場.系數(shù)p、 p1 、 p2 的取值滿足一定的量子化條件和周期性.系數(shù)的周期給出分類的結(jié)果.“( ZN12)··· ”表示相應的分類.其中, 符號 N IJ··· 表示 NI,NJ,··· 等整數(shù)的最大公約數(shù).受到 Z N 或 U (1)k 或 ZN×U(1)k 保護的SPT態(tài)都是平凡的, 因而沒有列入表中.“不可約”是指對稱群的所有子群都起著保護SPT的作用.其他SPT都可以通過表格里的結(jié)果構(gòu)造出來.具體摘自[129].Table 3.A brief summary of irreducible 3D SPT phases with unitary Abelian symmetry.aI and bI are 1-form and 2-form U(1)gauge fields, respectively.“( Z N12 ) · ·· ”denote the corresponding classifications, where N IJ··· are greatest common divisors of NI,NJ,···.SPT phases with either ZN or U (1)k or ZN×U(1)k are trivial and not included below.By “irreducible”, we means that all subgroups of symmetry group play nontrivial roles in protecting the nontrivial SPT phases.All other SPT's with unitary Abelian group symmetries can be obtained directly by using this table[129].

文獻[129]提出了三維SPT(其對稱性是幺正的阿貝爾幺正群; 時間反演對稱性摘自[130])的低能有效理論, 并詳細研究了對稱操作與規(guī)范變換的定義, 見表3.SPT的低能有效理論有如下兩個特點: 第一, 體內(nèi)激發(fā)必須是非分數(shù)化的(亦即局域算符即可產(chǎn)生的), 同時, 基態(tài)在任何閉流形上必須非簡并; 第二, 當且僅當對稱群G沒有被破壞的時候, 不同的SPT的拓撲規(guī)范場論是不等價的.要得到正確的場論描述, 我們需要正確定義規(guī)范變換和全局對稱變換, 以使得兩者不沖突.我們首先考慮如下作用量( I =1,2 ):

盡管該項破壞了作用量的拓撲不變性, 該項提供了一個有限大的體內(nèi)能隙, 可以正規(guī)化動量空間的積分.該項雖然破壞了作用量的拓撲不變性, 但是提供了一個有限大的體內(nèi)能隙, 可以用于正規(guī)化動量空間的積分.

公式(22)的第一項是兩個level-1的BF項.所有規(guī)范場滿足如下狄拉克量子化條件:其 中 , M2是 二維閉流形.所有規(guī)范場的規(guī)范變換定義如下:

其 中 , 規(guī) 范 參 數(shù) { χI} 和分 別 是 標 量 (1-形式)和矢量 (2-形式).注意到, 1-形式 d χI和 2-形式dVI都是閉合的(closed)但可以是非恰當?shù)?nonexact).具體來講, 閉流形上的積分

其中, { nI} 和 { kI} 代表四個獨立的整數(shù).非零的nI和 kI導致非恰當, 同時對應的規(guī)范變換通常被稱為“大規(guī)范變換”.當 p =0 時, bI的規(guī)范變換和一般的BF理論一致.p的出現(xiàn)改變了通常的2-形式規(guī)范變換: 多出了一個依賴于p的項.因而, 相應的Wilson算符(見圖4)為:

這里的 V3是一個三維流形, 其邊界是 M2, 亦即:?V3=M2.圖4(a)表示圈算符圖4(b)表示算符其中, 立方體表示某個任意的三維空間區(qū)域 V3; 立方體內(nèi)部的星代表來自的貢獻.

圖4 公式(26)中的規(guī)范不變的Wilson算符示意圖.摘自文獻[129]Fig.4.Illustration of gauge-invariant Wilson operators in Eq.(26).

在作用量(22)中, 2-形式規(guī)范場 bI的“電磁”通量給出了SPT的局域玻色子的粒子流:用微分形式可以寫為:其中, ? 表示 Hodge對偶操作.如果對稱性是 U (1) , 那么我們可以用 U (1) 的外電磁場AI來耦合粒子流:但我們實際考慮的對稱性是粒子數(shù)不嚴格守恒, 粒子數(shù)的變化可以是 NI的整數(shù)倍.為了使作用量在粒子數(shù)改變 NI的時候不變, 我們需要限制:其中 S1是一維閉流形.

為了同時使得規(guī)范變換與全局對稱性操作有良好定義, 我們要求系數(shù)p有如下量子化條件和周期 性 :是 N1和N2的最大公約數(shù).整數(shù)k的周期性表示, 一共有 N12種由作用量S刻畫的G保護的不等價的SPT相; 每個SPT對應著 ZN12群的群元.平凡的態(tài)對應著單位元, 其作用量由 k =0 mod N12標記.同時, 除了作用量(22), 我們也可以考慮 a2∧a1∧da1這個拓撲項, 因為 a1∧a2∧da2與 a2∧a1∧da1線性獨立①a1∧a2∧da3 、 a2∧a3∧da1 和 a3∧a1∧da2 之間線性相關, 只需要考慮其中兩個拓撲項, 如表3所示..相應的系數(shù)的量子化和周期性結(jié)果不變.于是, 總的分類是該結(jié)果和群上同調(diào)的結(jié)果是一致的:這里我們不再重復具體計算細節(jié).這里的計算的關鍵在于, 系數(shù)的量子化和周期性結(jié)果是規(guī)范變換與全局對稱性的要求, 同時都和對稱群G緊密相關.如果我們完全破壞對稱群, 那么p的取值結(jié)果可以通過形式上令 N1=N2=1 得到: p =k/(4π2).由于此時整數(shù)k的周期是1, 所有非零的整數(shù)k都和 k =0 等價.所以, 在沒有對稱群保護的時候, 作用量(無論添加的是 a1∧a2∧da2還是 a2∧a1∧da1)均描述的是平凡態(tài).

表3里的拓撲規(guī)范場論描述的是阿貝爾幺正對稱群保護的SPT.對于反幺正群—時間反演對稱性, 文獻[130]使用 b ∧b 來構(gòu)造拓撲場論:

其中, Λ 是 S O(8) 群的嘉當(Cartan)矩陣:

該場論描述的BTI不在“群的上同調(diào)”分類結(jié)果里[31].

3.2 AAB拓撲項與Borromean Rings編織統(tǒng)計

二維iTO[10,132]體內(nèi)的任意子激發(fā)的編織統(tǒng)計以及邊界態(tài)的手征中心荷c是iTO的核心拓撲不變量.相應的代數(shù)結(jié)構(gòu)是特定的模張量范疇(modular tensor category)[10,45,97].二維iTO的任意子的編織統(tǒng)計[32,33,133–135]由(2 + 1)維的拓撲量子場論—Chern-Simons規(guī)范理論來刻畫.任意子在(2 + 1)維時空中的世界線形成各種非平凡的紐結(jié), 物理上包含了拓撲激發(fā)的編織統(tǒng)計信息;Chern-Simons規(guī)范理論正好可以用于刻畫這些紐結(jié)的拓撲性質(zhì)[136].而三維iTO[34,35]不僅有點粒子激發(fā), 也有圈激發(fā).雖然我們知道三維拓撲態(tài)的點粒子的自統(tǒng)計只能有玻色和費米兩種選項[134,137],但是圈激發(fā)的存在使得編織統(tǒng)計及其拓撲場論十分豐富.圈激發(fā)甚至也可以有非平凡的紐結(jié)性質(zhì),見圖5.我們可以通過研究具有圈激發(fā)的拓撲糾纏熵來分辨具有相同規(guī)范群G但閉上鏈 ω 不同的Dijkgraaf-Witten模型[138].

我們考慮簡單的阿貝爾規(guī)范群可以描述的編織過程.點粒子-圈之間的編織過程比較簡單, 如圖6(a)所示.該編織過程生成一個Hopf環(huán)鏈.物理上, 我們可以用 ( 3+1) 維電荷-N的玻色子與U(1)規(guī)范場耦合來實現(xiàn)[63,139].除了該編織統(tǒng)計過程, 我們可以考慮更加復雜的規(guī)范群, 比如由于有多個 ZNI規(guī)范子群, 我們可以考慮“三圈編織過程”(three-loop braiding).該編織過程涉及到三個圈激發(fā)[140].它們的磁通必須屬于至少兩個不同的 ZNI規(guī)范子群.如果規(guī)范子群有四個或四個以上, 要完整刻畫iTO, 除了三圈編織,我們還需要考慮更加復雜的“四圈編織過程”(fourloop braiding)[141–143].所有這些編織過程及其編織統(tǒng)計可以統(tǒng)一用Dijkgraaf-Witten格點模型[39]來實現(xiàn).

圖5 三維iTO中的點激發(fā)和圈激發(fā)示意圖[138]Fig.5.Illustration of point-like excitations and loop excitations in three-dimensional iTO.

在連續(xù)時空中, 我們可以使用多分量的twisted BF 理論[40,48–50,129,130,140–156]來實現(xiàn)上面提到的編織過程和編織統(tǒng)計.作用量類似于(22)式,可寫為(大寫字母表示規(guī)范場):

圖6 (a) 點粒子-圈之間的編織: 點粒子激發(fā) ei (攜帶單位 Z Ni 規(guī)范荷) 繞著圈激發(fā) m i (攜帶單位 Z Ni 規(guī)范磁通)轉(zhuǎn)一圈.ei 的軌跡 γ ei 與靜止的圈 m i 形成一個Hopf環(huán)鏈.(b) 博羅梅安編織(點粒子-圈-圈編織): 點粒子 ek 繞著兩個 互 相 未 鏈 接 的圈激發(fā) m i,mj 轉(zhuǎn) 一 圈.ek 的軌 跡 γ ek 與mi , m j 一起形成博羅梅安環(huán)(Borromean Rings, 或更一般的Brunnian link)Fig.6.(a) Particle-loop braiding: a particle ei travels around a loop m i such that the braiding trajectoryγei and m i form a Hopf link.(b) Borromean-Rings braiding: a particle ek moves around two unlinked loops mi,mj such that m i , m j and the trajectory γ ek form the Borromean rings (or generally the Brunnian link).

文獻[157]提出了新的編織過程—“博羅梅安編織”(Borromean-Rings braiding), 如圖6(b)所示.在此編織過程中, 一個點粒子繞著兩個互相未鏈接的圈激發(fā)轉(zhuǎn)了一圈, 形成博羅梅安環(huán)或者更加一般的Brunnian link.因為該編織過程涉及到一個點粒子和兩個圈激發(fā), 所以我們也可以稱之為“點粒子-圈-圈編織”.該編織過程的拓撲不變量是Milnor三重鏈接數(shù)(Milnor's triple linking number,)[158,159].考慮 G =ZN1×ZN2×ZN3, 相應的低能有效理論包含形如 A AB 的拓撲項:

3.3 三維對稱富化拓撲態(tài)與對稱性分數(shù)化

前面我們介紹了SPT和iTO的一些低能有效場論的研究.當iTO含有對稱性, 對應的拓撲態(tài)就是對稱富化拓撲態(tài)(SET).文獻[48]提出三維SET的低能有效場論的構(gòu)造方案, 并研究了具體的例子.文獻[49]構(gòu)造了一類具有量子反常的三維SET.文獻[51]討論了部分具有反幺正對稱群的SET.文獻[160](見其附錄E)討論了同時含有空間群(比如空間旋轉(zhuǎn)對稱性)和內(nèi)部群(比如自旋旋轉(zhuǎn)對稱性)的SET的低能有效理論與拓撲響應理論.文獻[50]基于[48]提出了系統(tǒng)分類和表征三維SET的場論計算方法.部分例子見表4[50].符號 Gg代表iTO對應的規(guī)范群.體內(nèi)的iTO完全由規(guī)范群和twisted拓撲項決定.后者由一對整數(shù)標記: 比如對于規(guī)范群 Z2×Z2, ( q,) = ( 0,0) 、(2,0)或 ( 2,2) , 代表twisted拓撲項前面的系數(shù).如果標記為“–”, 那么該規(guī)范群沒有非平凡的twisted拓撲項.符號 Gs代表施加的全局對稱性.給定iTO和對稱性, 相應的SET分類標記為:C1⊕ C2⊕···.其中, 角標 i =1,2,··· 用于標記攜帶單位規(guī)范荷的點粒子的對稱性分數(shù)化(symmetry fractionalization).給定i, 即給定點粒子的對稱性分數(shù)化.同時, Ci表示“圈激發(fā)的對稱性分數(shù)化”的分類(一般標記為一個或多個循環(huán)群的直乘).符號⊕表示形式上把具有不同的粒子對稱性分數(shù)化的SET“放在一起”.符號 ( Zn)m定義為 m 個 Zn的直乘: ( Zn)m=Zn×Zn···Zn.同 時,k(Zn)m=(Zn)m⊕ (Zn)m⊕ ···⊕ (Zn)m, 其中, k 表示(Zn)m的個數(shù).“gcd”是最大公約數(shù)的縮寫.Z1表示有且僅有一種SET, 即把iTO和有對稱性的平凡SPT放在 (stack) 一起.例如, 當 Gg=Z2且 Gs=Z2n的時候, 分類結(jié)果是 ( Z2)2⊕Z1, 于是一共有 5 個SET.注意, 該表格的結(jié)果來源于阿貝爾規(guī)范場論計算,沒有考慮在對稱操作下容許出現(xiàn)的拓撲激發(fā)之間的輪換, 也未考慮非阿貝爾的對稱性分數(shù)化.

在具體計算中, 我們考慮一個有全局對稱性的規(guī)范場論(Symmetry-Enriched Gauge theory, SEG):

用于探測對稱性.外加規(guī)范場 Ai用于探測 U (1) 的ZKi子群.Qij是 k ×m 任意整數(shù)矩陣.要注意的是,所有外加規(guī)范場只是靜態(tài)背景場, 沒有動力學, 不是配分函數(shù)的組態(tài).Sint包括所有可能的twisted拓撲項(包括所有規(guī)范場)①表4中的twisted拓撲項不含level-1的規(guī)范場..作用量S的這些特點可以概括在示意圖7中.每個“l(fā)ayer”表示一個三維系統(tǒng).所有“l(fā)ayer”堆在一起并占據(jù)三維空間中同一個區(qū)域.在沒有考慮對稱性的時候, 亦即在形成SEG之前, 體系只含有type-I layers, 描述純iTO.type-II layers里面的規(guī)范場都是level-1, 是在施加對稱性之后加進來的.每一條黃色的虛線表示 Sint中的某個拓撲項涉及到的layers.需要說明的是, 圖中的虛線都是連接兩個layer, 實際上可以同時涉及到三個或四個.通過該場論, 我們可以計算攜帶規(guī)范荷的粒子的對稱荷, 從而確定粒子上的對稱性分數(shù)化.同時, 圈激發(fā)的對稱式分數(shù)化由“混合多圈統(tǒng)計”(mixed multi-loop, MML)來確定.要注意的是, type-II layers的層數(shù)是任意的,Qij也是任意的.也就是說, 給定規(guī)范群和對稱群之后, 作用量的寫法是無窮多個.文獻[48]在具體例子中選取了特定的作用量寫法, 來計算對稱性分數(shù)化.文獻[50]考慮了所有可能的Q和所有可能的twisted拓撲項, 并發(fā)現(xiàn)無窮個Q可以約化到有限個, 從而系統(tǒng)地得到表4中的結(jié)果.

表4 部分三維SET的分類, 摘自[50].Table 4.Classification of SET examples.

圖7 SEG的構(gòu)造圖.摘自文獻[48]Fig.7.Illustration of SEG.

對于含有反幺正對稱群的SET, 比如時間反演, 文獻[51]討論了部分例子, 見表5.U (1)C和U(1)Sz 分別是電荷和z方向自旋對稱群.Z2是指繞著 S y 自旋軸轉(zhuǎn)動 π.

表5 部分含有反幺正對稱群(時間反演)的SET的體內(nèi)理論與邊界理論, 摘自[51].Table 5.Bulk and boundary theories of SET with anti-unitary symmetry (e.g., time-reversal symmetry).

4 拓撲響應理論

4.1 分數(shù)化S-對偶、分數(shù)拓撲絕緣體與堆疊操作

三維拓撲能帶絕緣體[161,162](topological insulator, TI)是一種自由費米子系統(tǒng)的SPT.其對稱性是與普通絕緣體不同, TI的電磁響應理論[119,163,164]含有一個與軸子角 θ 有關的拓撲項:

其 中 軸 子 角 θ = πmod2π (TI體 內(nèi))或 者θ=0mod2π(在真空).F =dA 是 2 -形式的場張量.g是電磁耦合常數(shù).該響應理論的兩個參數(shù)可以統(tǒng)一寫成一個復數(shù): 模參數(shù)(modular parameter)威騰效應[119,118]正是由θ項產(chǎn)生的: 一個外加的磁單極子(攜帶單位磁荷)會攜帶 θ /2π 這么多的極化電荷.但如果S中的外電磁場A被視為具有動力學的場量, 那么S代表的物理變成了: 有 θ 的(3 + 1)維QED (QED4).該理論具有“S-對偶”[165–167]: 配分函數(shù) Z 在 S 和T操作下以模形式 (modular form)變換:通過T操作, 我們知道 θ 在費米子體系(考慮自旋結(jié)構(gòu)的流形)中周期是 2π.為了保持時間反演對稱性, θ 在TI體內(nèi)的取值必須取 π mod 2π.S-對偶最近用在了二維凝聚態(tài)物理中, 比如一系列推廣粒子-渦旋對偶的理論[168–174].其中一種推導這些新的粒子-渦旋對偶的方法就是在有邊界的4維時空上研究S-對偶[174–177].

在強關聯(lián)電子系統(tǒng)中, 盡管“電子填充能帶”的圖像失效, 我們?nèi)匀豢梢钥紤]受保護的有能隙的態(tài).強關聯(lián)的拓撲絕緣體有兩大類.第一類是SPT, 其體內(nèi)的激發(fā)仍然是平凡, 但是邊界上會有對稱性保護的“表面拓撲序” (surface topological order, STO)[28,130,178–181].STO 可以看成反常的二維SET, 只能存在于邊界上.第二類可以叫做“分數(shù)拓撲絕緣體”(fractional TI, FTI), 其體內(nèi)激發(fā)譜支持拓撲激發(fā).此類拓撲絕緣體可以看成三維的SET.FTI除了體內(nèi)有拓撲激發(fā)之外, 其θ在一定條件下可以取分數(shù)化的值(相對于 π 來講),而且不破壞時間反演對稱性.FTI的投影構(gòu)造、格點模型等方面已經(jīng)有不少的研究進展[84,85,182–188].文獻[189]提出并應用“分數(shù)化的S-對偶”來研究FTI中 θ 的周期與時間反演不變的取值.分數(shù)化S-對偶的 S 和 T 分別是

其中, 1 /t 表示體內(nèi)的拓撲激發(fā)攜帶的電荷最小單位.一旦考慮了, FTI中 θ 的取值規(guī)律就確定了:θ = π/t2mod 2π/t2.周期 ?θ=2π/t2.當 t =1 , 亦即體內(nèi)沒有電荷分數(shù)化, θ 的取值變成了大家熟知的TI的結(jié)果[119]: θ = π mod 2π.正如FQH里的復合費米子理論提供了理解Jain態(tài)[5–8]的思路, 這里的S-對偶理論也提供了一個理解FTI中 θ 的分數(shù)量子化的思路.注意到對于任意的t,S2=(ST)3=1, τ 的 所 有 的 模 不 動 點(modular fixed point)[175,190]等價 于: i /t2和前者在 S 的操作下不變, 而后者在 S T 聯(lián)合操作下不變.探索這些不動點的物理是非常有趣的, 比如當 t =1 時, 這些不動點物理上控制著TI表面的相圖有關[175,191].

除了得到FTI中 θ 的量子化規(guī)律之外, 我們還可以把FTI分成兩類: type-I FTI和type-II FTI.兩類FTI在所謂的“堆疊”(stacking)操作下(用符號 ? 表示)有著截然不同的性質(zhì).堆疊操作就是把兩個態(tài)放在同一個三維空間區(qū)域, 并容許施加局域算符.所有可以通過堆疊操作連接在一起的的拓撲態(tài)構(gòu)成一個幺半群(monoid)[45]—與真正的群的區(qū)別在于, 幺半“群”里不是所有元素都有逆.在我們要討論的(分數(shù))拓撲絕緣體這個具體例子中,真空或者平凡能帶絕緣體是幺半群的單位元(標記為: Vac), 自由費米子的拓撲絕緣體TI和它自己互為逆元素, 所有FTI(標記為: FTIt)都沒有逆元素.兩個TI堆疊在一起得到真空:

這個堆疊結(jié)果與TI的 Z2分類結(jié)果是相符的, 也說明了 TI是可逆的 (invertible).兩個純拓撲序iTO(其 θ 是平凡的, 取值是周期的整數(shù)倍)堆疊在一起得到新的iTO: i TOt1? iTOt2=iTOt?, 其中t?=Lcm(t1,t2)( L cm 是最小公倍數(shù)).FTI和TI堆疊在一起的結(jié)果是: F TIt?TI=iTOt(t∈Zodd) 或FTIt(t∈Zeven).這個堆疊結(jié)果說明, t為奇數(shù)的FTI實際上可以看成iTO和TI的堆疊(iTOt?TI=FTIt(t∈Zodd)), 其非平凡的 θ 是由于TI的存在.然而對于偶數(shù)t的FTI卻顯得更加基本.因而我們把奇數(shù)t的FTI稱為type-I, 而把偶數(shù)t的FTI稱為type-II.把兩個FTI堆疊在一起得到:FTIt1?FTIt2=iTOt?(t1,t2∈Zodd)或FTIt?(t1∈Zodd,t2∈Zeven).其中 t?=Lcm(t1,t2).如果 t1,t2都是偶數(shù), 假設那么FTIt1?FTIt2=iTOt?(k1=k2)或其 中 ,總 的 來 講 , 在 TI 、iTOt( t ∈Zodd)和type-II F TIt之間的各種堆疊操作可以產(chǎn)生所有其他的拓撲態(tài), 從而生成整個幺半群.所以, 我們可以把這三種態(tài)稱為“根態(tài)”(root phases).

4.2 推廣的Witten效應和表面量子霍爾效應

三維拓撲絕緣體(TI)中兩個重要的響應現(xiàn)象是體內(nèi)的威騰(Witten)效應和邊界上的半整數(shù)霍爾電導.TI需要的對稱群是相應的拓撲響應作用量是(34)式.文獻[51]討論更多對稱群保護的三維SPT態(tài), 推廣了威騰效應, 見表6.qi=s,s? 1,s?2,···, 其中, s是總自旋量子數(shù):S2=s(s+1).表格中的各種量子霍爾效應的名稱及其電導的定義已經(jīng)在第2.3節(jié)中有所介紹.如果恢復量綱, 霍爾“電”導 σc、 σs和 σcs的單位分別是:e2/? 、 ? 和 e.U (1)C和 U (1)Sz 分別是電荷和 z 方向自旋對稱群.Z2是指繞著 Sy自旋軸轉(zhuǎn)動 π.響應作用量可以統(tǒng)一寫為:

系 數(shù) 矩 陣 ΘIJ是 對 稱 的, 定 義 為: Θ11= θc,Θ22= θs, Θ12= Θ21= θ0.表格里第一行是BTI;第二行是拓撲順磁體.下面簡單介紹一下第三行的物理, 亦即作用量S的非對角元

表6 帶整數(shù)自旋和電荷的玻色SPT的電荷和自旋響應理論[51].Table 6.Charge and spin response of spin-1 and charge-1 boson systems.

這種 dAcdAs的項在文獻[192?194]中作為電流4-矢量的不守恒量“ ? J ”的期望值.

用于保護非對角元拓撲項的最小對稱性要求是 U (1)C×[USz(1)?Z2].在 Z2的非單位元的操作下,規(guī)范場 As相應的所謂的“電場”Es和 “ 磁 場 ” Bs作 如 下 變 換: Es→?Es,Bs→?Bs→Ec→Ec,Bc→Bc.從這些變換我們可以得到作用量的變換規(guī)則:

盡管有負號產(chǎn)生, θ0的周期性可以讓? S0變回 S0.下面我們考察一下 θ0的周期.考慮SPT態(tài)定義在三維區(qū)域 Σ3, 其邊界(或稱為“表面”, 定義在z=0的平面, x和y坐標有周期性邊界條件)是 ? Σ3.假設該邊界上 Z2對稱性被破壞, 該表面的響應理論是一個交互(mutual)Chern-Simons拓撲項:最近, 類似交互Chern-Simons拓撲項已應用于其他不同問題上, 比如摻雜莫特絕緣體[76–78,195,196]和阻挫量子反磁體[197].自旋和電荷響應流(response current)分別定義為:

他們分別由外電場 Ec和自旋規(guī)范場的“電場”矢量Es誘導.從響應流的表達式, 我們可以讀出相應的自旋-電荷 和電荷-自旋 霍爾電導:假設θ的最小周期為P, 物理上, 我們可以通0過在表面態(tài)上堆疊一層正常的二維霍爾態(tài)[51,198,199].正常的霍爾態(tài)對應的霍爾電導的量子化條件是因而,令k=1, 則 P =2π.滿足 Z2操作下不變的 θ0的最小值是周期的一半, 所以 θ0= π mod 2π.

為了理解表6中的交互威騰效應, 我們首先寫下三維體內(nèi)( Σ3)的響應流方程:

一般來講, 磁場是沒有散度的.但是考慮磁單極子的組態(tài)之后, 磁場是可以有散度的:其中,是磁荷 (亦即, 磁單極子個數(shù)).同樣, 我們也可以寫出自旋規(guī)范場對應的“磁單極子個數(shù)”.根據(jù)零分量的響應方程我們可以計算出響應自旋總量和響應電荷總量:這個響應自旋和電荷均是極化自旋云和極化電荷云, 不攜帶量子統(tǒng)計信息[200].Ns/c的表達式表明, 磁單極子會誘導分數(shù)化的電荷和自旋.但原則上, 磁單極子上還可以粘附整數(shù)個電荷( nc∈Z )和整數(shù)自旋(和)(因為SPT是由攜帶整數(shù)自旋和整數(shù)電荷的玻色子構(gòu)成).所以, 加上這些整數(shù)貢獻, 我們就可以得到如表6中所示的交互威騰效應的表達式:其中,θ0的周期貢獻可以吸收到粘附的電荷和自旋中去.在 Z2的操作下, 我們有以下變換規(guī)律: Ns→?Ns,

表7 推廣的Wen-Zee拓撲項, 摘自[160].Table 7.Generalized Wen-Zee terms.

4.3 推廣的Wen-Zee拓撲項

SPT的對稱性除了可以是自旋旋轉(zhuǎn)這種作用在內(nèi)部空間的情形, 還可以是空間對稱性.比如自由費米子體系里的拓撲晶體絕緣體[201,202].過去幾年里, 對點群保護的SPT(縮寫為pgSPT)的研究有了許多進展, 比如:[203–208].其中一個思路是通過局域幺正變換把SPT變成低一維空間的SPT, 使得原SPT的空間對稱性變成了低一維SPT的通常的內(nèi)部對稱性.通過這種映射關系, 我們可以得到點群對稱性保護的SPT的分類和表征.這個方法的結(jié)果與更加數(shù)學化的方法[207]相符.文獻[28]構(gòu)造了包括晶體對稱性在內(nèi)的SPT的波函數(shù).該文獻[160]研究了同時受到空間群和內(nèi)部群保護的SPT: 兩種對稱群其中一個被破壞, SPT序就會被破壞.文獻[160]推導了這種SPT的拓撲響應理論: 一種推廣了的Wen-Zee拓撲項[209].最簡單的幾個例子見表7.

Wen-Zee拓撲項的基本特征是, 此類拓撲項是由通常的規(guī)范場與空間的規(guī)范場(比如自旋聯(lián)絡)的楔積(wedge product)混合形成的.文獻[209]在FQH態(tài)里討論并提出了Wen-Zee拓撲項.在一個最簡單的例子, 比如整數(shù)量子霍爾態(tài)里, 我們可以從以下拉格朗日量出發(fā):

其中A是外加電磁場(扣除霍爾系統(tǒng)的原均勻磁場之后).tI和 sI分別是電荷矢量分量和自旋矢量分量.ω 是 S O(2) 自旋聯(lián)絡.“ ω ∧da ”就是最原始的Wen-Zee拓撲項, 描寫的是外場如何耦合到每個拓撲流的自旋.通過路徑積分積掉 aI, 我們可以得到拓撲響應理論:

其中, A和 ω 的混合項也可以稱為Wen-Zee拓撲項.從而我們可以得到響應電流和響應自旋流:

假設霍爾系統(tǒng)定義在一個二維閉流形上, 對響應電流的零分量作積分就得到了響應電荷總量:其中, 總的磁通量子數(shù)和歐拉示性數(shù)是二維閉流形的虧格.霍爾態(tài)的填充數(shù) ν =tTK?1t.N?的第一項是霍爾態(tài)里 N?與 Ne的標準關系.但由于s矢量的存在, N?的第二項給出了一個新的貢獻, 被稱為“shift”: S =(tTK?1s)ν?1NR.

注意到, 自旋聯(lián)絡可以看成對空間旋轉(zhuǎn)對稱性的“gauging”.我們發(fā)現(xiàn), Wen-Zee拓撲項可以推廣到更加復雜的情形, 并且可以作為SPT的拓撲響應理論.在表7中, A、 AI代表內(nèi)部對稱群對應的外加規(guī)范場.如果對稱群是 U (1) , 那么外加規(guī)范場的規(guī)范群也是 U (1) ; 如果對稱群是 ZN, 那么外加規(guī)范場的規(guī)范群形式上仍然是 U (1) , 但其Wilson loop 取 值 只 在 ZN里 面.Nij·k是Ni,Nj,·,Nk的最大公約數(shù).推廣的Wen-Zee拓撲項的整系數(shù)k用于標記不同的SPT態(tài).對于實際材料, 阿貝爾空間轉(zhuǎn)動群 Gs限于 C2,C3,C4和 C6.需要注意的是, 最后三行(用星號特別標記)含有 2 -形式的規(guī)范場B.拓撲響應理論里含有 2 -形式的規(guī)范場, 說明相應的SPT的對稱群含有1-形式的對稱性[210].而一般情況下, 內(nèi)部對稱性都是 0 -形式, 比如自旋旋轉(zhuǎn)對稱性.文獻[157]也討論了有高形式對稱性的拓撲態(tài), 摘自 [157]的附件 (Supplemental Materials).表7里的角動量/自旋 J 是響應荷:(當 Gs=CN0)和(當 Gs=SO(2) ).

物理上, 我們可以通過“旋錯”(disc∫lination)這種晶格缺陷來實現(xiàn) ω 的非平凡磁通 dω.在黎曼-嘉當 (Riemann-Cartan)幾何[211–214]里, 撓率(torsion)和黎曼曲率分別可以用位錯和旋錯兩種晶格缺陷來實現(xiàn).對于表7中的SPT, 空間群均是沿著某個固定軸的空間旋轉(zhuǎn), 因此在探測這種SPT序的時候, 旋錯將會起到重要的作用.下面我們詳細計算一個例子來理解表7.

我們考慮對稱群為 G =CN0×ZN1×ZN2的二維SPT.拓撲響應理論的作用量是:

其中,Nij...k≡gcd{Ni,Nj,...,Nk}.整數(shù)k∈ZN012與SPT態(tài)一一對應.從該作用量我們可以得到響應角動量:

圖8 (a) 公式(42)代表的拓撲響應現(xiàn)象的示意圖.ZN1的對稱性疇壁 D 1 和 Z N2 的對稱性疇壁 D 2 的交點攜帶分數(shù)角動量 J.A 1 和 A 2 分別是垂直于疇壁 D1 和 D2 的規(guī)范聯(lián)絡.(b) 公式(44)代表的拓撲響應現(xiàn)象的示意圖.旋錯線與 Z N2 對稱性疇壁 D 2 的交點攜帶 A 1 規(guī)范場的分數(shù)規(guī)范荷 Q 1.ω 和 A 2 分別是垂直于旋錯線和疇壁的規(guī)范聯(lián)絡[160]Fig.8.(a).Topological response for Eq.(42).The intersection of Z N1 and Z N2 symmetry domain walls D 1 andD2 carries the angular momentum J.A1 and A2 are the gauge connections normal to the domain walls.(b).Topological response of Eq.(44).The intersection of disclination line and Z N2 symmetry domain walls D 2 carries theA1 charge Q1.ω and A2 are the gauge connections normal to the disclination line and domain wall, respectively.

這個響應荷由被束縛在 D1和 D2的交點處的無能隙模式攜帶, 見圖8(a).對于給定的k, 該角動量取值的最小單元是:

當k增加一個周期, Jmin只會改變整數(shù)大小, 因而其分數(shù)部分可以用來刻畫非平凡的SPT序.假設N0=4,N1=N2=8, 亦 即 Gs=C4和Gi=Z8×Z8.那么 k的最小周期是4: k ～k+4.k=0,1,2,3可以用于標記四種不同的SPT序.它們的最小的正的角動量取值分別為: Jmin=?,(k=0,平凡態(tài)) 、(k = 3).我們也可以從拓撲響應理論的作用量中得到 A1的規(guī)范荷, 見圖8(b):

Q1取值是分數(shù)化的:

表里其他例子可以用類似的方法來理解.比如G=CN0×ZN1×U(1).我們可以考慮作用量響 應 角 動 量 J 可寫為:其最小可取的分數(shù)值為: Jmin=k/N01.如圖9(a)所示,在 Z N1對稱性疇壁 D 1 和 A 2 的磁力線的交點會有分數(shù)化的 J.

圖9 兩個三維SPT拓撲響應現(xiàn)象示意圖.摘自文獻[160]Fig.9.Illustration of two examples of SPT topological response phenomena in three dimensions.

另外, 我們考慮G=SO(2)×ZN1×ZN2.對于作用量我們可以計算出該電荷最小可取的分數(shù)值是 Qmin=k/N12.如圖9(b)所示, 在旋錯線(disclination line)與 ZN2對稱性疇壁 D2的交點上會有分數(shù)化的 A1電荷.

4.4 SPT拓撲響應的gauged Wess-Zumino理論

在第3.1節(jié)中, 我們介紹了SPT的低能有效理論, 主要方法是規(guī)范場論.除此之外, 還有一種非常有效的辦法: 用有約束的玻色場寫下的非線性西格瑪模型(NL σ M)[215–220].下面我們將介紹NLσ M中的對稱性如何被直接gauge掉, 特別是如何在Wess-Zumino(WZ)①本文只將“Wess-Zumino”縮寫為WZ, 而第4.3節(jié)的“Wen-Zee”不縮寫.拓撲項里對全局對稱性直接gauge②此處的“gauge”當動詞用, 意思是通過添加規(guī)范場把全局對稱操作變成規(guī)范變換., 從而得到邊界態(tài)的微擾 U (1) 量子反常和體內(nèi)的拓撲響應理論.詳細介紹可參考文獻[163].我們主要介紹所有奇數(shù)時空維度的玻色整數(shù)量子霍爾態(tài)(BIQH)的體內(nèi)和邊界的構(gòu)造過程.

在NL σ M理論中[216], d維SPT的體內(nèi)理論的作用量(定義在Minkowski時空 Rd,1里)可寫為一個包含 θ =2πk 的 θ 項的 O (d+2) NL σ M:

其中, 拓撲項是如下 θ 項(注意: 不要和公式(34)中的 θ 項混淆):

時空坐標定義為 xμ, μ =0,...,d ( x0=t 是時間坐標).θ =2πk , k ∈Z.單位向量 n ∈O(d+2) , 其組態(tài)空間是(d + 1)維超球面 Sd+1.微分形式ωd+1定義為:

另一方面, ( d?1) 維的邊界的作用量(定義在垂直于 xd坐標軸的邊界 Minkowski時空 Rd?1,1上)可寫為一個包含level-k WZ拓撲項的 O (d+2) NLσ M:

為了將上面這些理論用于理解受對稱群G=U(1)保護的SPT, 亦即BIQH態(tài), 我們需要定義 U (1) 對稱操作.我們考慮 2 m?2 維的 BIQH, 體內(nèi)由包含 θ 項的 O (2m) NL σ M刻畫.盡管選擇不唯一, 我們可以選擇如下的組合來定義一系列玻色子場:

有了常見的玻色子場, 我們就可以方便地把U(1)對稱操作定義為: b?→ eiξb?,?? , 其中 ξ ∈R 是不依賴于時空坐標的群參數(shù).物理上, 我們可以將玻色子 b?理解為m個帶單位電荷的復標量場.由于n·n=1, 玻色子場也受到一個約束條件:有了對稱操作的定義之后, 我們需要施加 U (1) 電磁場A來探測SPT的拓撲響應現(xiàn)象.對于 Sbdy的第一項, 我們可以根據(jù)常用的“Peierls substitution”原則, 將其改寫為:

其中, Dμ=?μ?iAμ是通常的協(xié)變導數(shù).對于WZ項, gauge的過程需要新的思路.在WZ項里正確添加規(guī)范場之后可以得到新的拓撲項, 我們稱之為“gWZ項”(gauged WZ).由于體內(nèi)SPT是非平凡的, 邊界理論應該不是 U (1) 規(guī)范不變的.由于Sbdy的第一項是規(guī)范不變的, 我們需要考察WZ項在規(guī)范變換下如何發(fā)生變化.文獻[163]指出, 在規(guī)范變換 b?→ eiξb?, A →A+dξ ( ξ 依賴于時空坐標)下, 正確的gWZ項 SgWZ[n,A]應作如下變化:

其中, δξSgWZ[A,ξ]表示gWZ項在規(guī)范變換下多出來的項.多出來的這一項被要求只和A、 ξ 有關, 與n無關.

根據(jù)這個要求, 我們來推導正確的gWZ項.首先, WZ項中的volume form可以分解為:ω3=J1∧K2+J2∧K1.其 中,J?=n2??1dn2??n2?dn2??1, K?=dn2??1∧ dn2?.在 規(guī) 范 變 換

b?→ eiξb?下, ω3的 改 變 量 δξω3是 一 個 全 微 分:因而,

為了抵消 δξSWZ[n], 我們添加一個抵消項(counter term):

規(guī)范變化使得 A →A+dξ , 從而抵消掉 δξSWZ[n].考慮了抵消項之后, 總的gWZ項變成:

但是, 規(guī)范變換同時也改變了 J1+J2( A3=2π2,我們發(fā)現(xiàn),加了抵消項之后, δξSgWZ[n,A]就不再依賴于 n , 只與 ξ 、A有關.所以, (56)式是正確的gWZ作用量.為了計算體內(nèi)的拓撲響應理論, 我們知道體內(nèi)的響應作用量應該是Chern-Simons理論.Chern-Simons理論在有邊界的時候不是規(guī)范不變的.在規(guī)范變換下, 體內(nèi)Chern-Simons理論多出來的項將會被邊界的gWZ多出來的項完全抵消.只有完全抵消, “體內(nèi)+邊界”作為整體才是一個自洽地、可以在格點上定義的局域模型.從而我們得到正確的體內(nèi)拓撲響應理論:

以上是通過計算邊界的gWZ理論來確定體內(nèi)的拓撲響應理論.對于更高維度(所有偶數(shù)實空間)的BIQH, 我們需要添加更多抵消項才能得到正確的gWZ作用量, 進而得到體內(nèi)Chern-Simons理論(A∧dA∧dA···)的正確的系數(shù).

5 總結(jié)與展望

本文簡要回顧了SPT、iTO和SET的規(guī)范場論的研究進展, 包括“投影構(gòu)造理論”、“低能有效理論”和“拓撲響應理論”三方面的內(nèi)容.本文僅討論了玻色系統(tǒng), 費米系統(tǒng)具有更加復雜的數(shù)學結(jié)構(gòu)和豐富的物理現(xiàn)象, 見最近的費米子SPT的分類進展[221].另外, 對于高對稱性(higher symmetry)/高形式對稱性(higher-form symmetry)保護的SPT也是一個非常有趣的方向[222].

作者特別感謝下列合作者在強關聯(lián)物理和拓撲物理方面的討論: 翁征宇、田矗舜、祁曉亮、張龍、王晴睿、馬遙、劉朝星、文小剛、王浚帆(Juven Wang)、劉正鑫、梅佳偉、顧正澄、Eduardo H.Fradkin、Taylor L.Hughes、Joseph Maciejko、Matthew Lapa、簡超明、寧上強、程蒙、王宇軒、陳伯安 (AtMa Pak On Chan)、Shinsei Ryu(笠真生)、王華嘉、韓博、溫學達、Apoorv Tiwari、何歡、鄭云欽等.本文的寫作也得益于國家自然科學基金委員會資助(批準號:11847608)的中山大學理論物理講習班(2019.11)的所有專家?guī)淼木始姵实恼n程, 在此一并致謝!