王福華 ，劉玉旺

（1.中國科學(xué)院沈陽自動化研究所，遼寧 沈陽 110016；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

欠驅(qū)動機構(gòu)是近代研究發(fā)現(xiàn)的一種新型機構(gòu)，因其驅(qū)動元件數(shù)小于機構(gòu)的自由度而得名。欠驅(qū)動機械手作為欠驅(qū)動機構(gòu)的衍生物，其不僅驅(qū)動元件少，且能夠自適應(yīng)抓取不同形狀和尺寸的物體。同時與傳統(tǒng)的靈巧手相比較，其生產(chǎn)加工制造成本便宜，結(jié)構(gòu)輕巧，控制簡單[1-3]。目前國內(nèi)外研究學(xué)者對于欠驅(qū)動機械手的理論研究和實踐探索都取得重大的成果。對于連桿欠驅(qū)動手爪影響其抓取穩(wěn)定性的主要因素是連桿結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)。因此在連桿欠驅(qū)動手爪的設(shè)計階段，合理地選擇設(shè)計參數(shù)是至關(guān)重要的[4-5]。然而，考慮到拓撲優(yōu)化許多設(shè)計參數(shù)，例如關(guān)節(jié)的數(shù)量，關(guān)節(jié)的長度，作用在關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)點的扭矩以及在接觸點出的接觸力等。不能直接簡單地用傳統(tǒng)的方法來分析設(shè)計各個連桿關(guān)節(jié)的參數(shù)[6]。目前大多數(shù)研究的文獻和成果不能直接應(yīng)用推廣到設(shè)計階段[7-8]。一方面由于設(shè)計優(yōu)化重點在于驅(qū)動參數(shù)是基于制造和擬人化方面的考慮。另一方面，其理論研究大部分是關(guān)于兩個關(guān)節(jié)的簡單欠驅(qū)動手爪。此外，大多參數(shù)設(shè)計研究僅限于特定的欠驅(qū)動手爪的驅(qū)動機構(gòu)[9-10]。針對三個關(guān)節(jié)的欠驅(qū)動手爪，采用等接觸力方法，以傳動角和傳動比作為參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的約束條件，確定欠驅(qū)動連桿幾何設(shè)計參數(shù)。該方法不僅可以作為參數(shù)優(yōu)化的方法確定欠驅(qū)動連桿幾何設(shè)計參數(shù)，同時也適用于多種驅(qū)動系統(tǒng)的欠驅(qū)動手爪。

2 連桿欠驅(qū)動手爪的接觸力

在連桿欠驅(qū)動機構(gòu)中，各個關(guān)節(jié)在接觸點處的接觸力的大小直接影響其抓取的穩(wěn)定性和可靠性，同時也是參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的一個重要的約束條件。接觸力分析的目的是計算平衡關(guān)節(jié)外力所需的驅(qū)動力，力矩以及各連桿的受力情況。此處分析忽略各關(guān)節(jié)的重量和各關(guān)節(jié)運動副間的摩擦。連桿欠驅(qū)動手爪的抓取過程一個連續(xù)不間斷的過程，各個關(guān)節(jié)與被抓取物體接觸是連續(xù)的，為了保證抓取的可靠性。在抓取過程關(guān)節(jié)與物體全接觸。抓取過程中的機構(gòu)整體受力分析與各個關(guān)節(jié)受力分析，如圖1、圖2所示。

圖1 抓取過程整體受力分析圖Fig.1 Overall Force Analysis of the Grasping Process

圖2抓取過程局部受力分析圖Fig.2 Partial Force Analysis of the Grasping Process

圖1 和圖2中首端關(guān)節(jié)，中間關(guān)節(jié)，末端關(guān)節(jié)的力矩分別為T11，T12，T13；R1，R2分別為傳動比。

傳動比R1，R2不是一個固定的常數(shù)值，它是由實際的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)所決定的。對于抓取平衡，各個關(guān)節(jié)施加在被抓物體對象上的接觸力為正壓力。各個關(guān)節(jié)的受力圖，如圖2所示。

首端關(guān)節(jié)在接觸點的接觸力F11，首端關(guān)節(jié)在旋轉(zhuǎn)點O11處的力矩靜態(tài)平衡方程如下：

中間關(guān)節(jié)在接觸點的接觸力F12，首端關(guān)節(jié)在旋轉(zhuǎn)點O13處的力矩靜態(tài)平衡方程如下：

末端關(guān)節(jié)在接觸點的接觸力F13，首端關(guān)節(jié)在旋轉(zhuǎn)點O13處的力矩靜態(tài)平衡方程如下：T13-F13P13=0 （3）

聯(lián)立式（1）～式（3）可得：

全接觸抓取過程中，在各個接觸點處的接觸力F11，F(xiàn)12，F(xiàn)13必須為正值，即 F11＞0，F(xiàn)13＞0。

超高壓萃取法又叫超高冷靜壓法，它是指在常溫條件下，將高壓作用于料液中，保持一定的壓力后再迅速將該壓力卸除，從而達到萃取目的的方法。此法因為十分有效地增大了成分的收率，而被廣泛應(yīng)用于植物和食品有效成分的萃取中。賈春曉等通過正交試驗優(yōu)化了超高壓提取法從花椒中提取精油的提取條件，最后得出用超高壓法提取花椒精油的最優(yōu)工藝條件：壓力為300 MPa，固液比為1∶40，加壓時間為3 min，在此條件下得到的提取率為24.16%，配合GC-MS聯(lián)用法進行分析，確認了花椒精油中包含67種成分。

末端關(guān)節(jié)與中間關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩的傳動比R2與參數(shù)L10，L11，L12，P11及r有關(guān)。對于給定的L10，P11值時，穩(wěn)定狀態(tài)半徑r是僅與L11，L12有關(guān)。對于給定值 L10=20mm；P11=30mm 時。R2隨 L11，L12，r變化的曲面，如圖3所示。

由圖3所示，被抓取物體的半徑r取不同值時。R2隨r的增大而減小的，同時R2max≤0.5。

圖3 傳動比R2與L11，L12關(guān)系Fig.3 Relationship Between Transmission Ratio R2and L11，L12

首端關(guān)節(jié)與中間關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩的傳動比R1與參數(shù)L10，L11，L12，P11及r有關(guān)。對于給定的L10，P11值時，穩(wěn)定狀態(tài)半徑r是僅與L11，L12有關(guān)。對于給定 L10=20mm；P11=30mm，同理可得 R1max≤1。

3 抓取關(guān)節(jié)的運動學(xué)分析

三關(guān)節(jié)連桿欠驅(qū)動手爪的抓取機構(gòu)可以看成是由兩個四連桿串聯(lián)構(gòu)成的。整個機構(gòu)等價于六桿機構(gòu)。其機構(gòu)幾何模型示意圖，如圖4所示。

對于四連桿機構(gòu)，傳動比R1，R2與四連桿的設(shè)計參數(shù)有關(guān)，其中 R1是下部四連桿設(shè)計參數(shù) a1，b1，c1，Ψ，θ12的函數(shù)；R2是下部四連桿設(shè)計參數(shù) a2，b2，c2，Ψ，θ13的函數(shù)，如表 1 所示。

圖4 欠驅(qū)動機構(gòu)的幾何模型Fig.4 Geometric Model of Underactuated Mechanism

表1 R1，R2與設(shè)計參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式Tab.1 Relationship Between R1，R2and Design Parameters

其中，下部四連桿機構(gòu)中的關(guān)節(jié)長度為b1，上部四連桿機構(gòu)中關(guān)節(jié)的長度為b2；下部驅(qū)動桿的長度為a1，上部驅(qū)動桿的長度為a2；上部連桿的長度為d2，下部連桿的長度為d2；下部四連桿機構(gòu)中的被驅(qū)動桿的長度為c1，上部四連桿機構(gòu)中的被驅(qū)動桿的長度為 c2。角度 θ10、θ20、θ30和 θ40分別是 B1O11、O11O12、O12A1、A1B1與X1軸的夾角;角度 θ12、θ22、θ32和 θ42分別是 B1O12、O12O13、O13A2、A2B2與X2軸的夾角。ψ1為中間關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角相對于首端指節(jié)轉(zhuǎn)過的角度，ψ2為末端關(guān)節(jié)相對于首端關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)過的角度。

4 抓取機構(gòu)關(guān)節(jié)的參數(shù)優(yōu)化

夾緊機構(gòu)關(guān)節(jié)研究的重點和難點就是要進一步確定連桿機構(gòu)中各個連桿的長度參數(shù)，使得欠驅(qū)動夾緊機構(gòu)能夠更好地實現(xiàn)夾緊過程，優(yōu)化夾緊的工作空間。機構(gòu)參數(shù)優(yōu)化主要包括兩方面的內(nèi)容：（1）建立機構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；（2）數(shù)學(xué)模型的求解。而數(shù)學(xué)模型的建立是整個優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵。

圖5 欠驅(qū)動上四連桿Fig.5 Upper Four Links of Under-Actuated Mechanism

圖6 欠驅(qū)動下四連桿Fig.6 Lower Four Links of Under-Actuated Mechanism

如圖5、圖6所示，上、下部四連桿機構(gòu)的各個關(guān)節(jié)間的轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系推導(dǎo)，如表2所示。

表2 四連桿機構(gòu)運動學(xué)Tab.2 Kinematics of Four-Bar Linkage

對于下部四連桿機構(gòu)需要確定的設(shè)計參數(shù)為 a1，b1，c1，d1，a2，b2，c2，d2，Ψ1，Ψ2。式中：b1，b2—首端關(guān)節(jié)和中間關(guān)節(jié)的長度；Ψ1，Ψ2—各個關(guān)節(jié)間的夾角。b1，b2，Ψ1，Ψ2作為設(shè)計常量，而其它的機構(gòu)尺寸參數(shù) a1，c1，d1，a2，c2，d2為待求參數(shù)，是設(shè)計變量，可表示為x1，x2，x3，x4，x5，x6，六桿機構(gòu)中優(yōu)化設(shè)計中的六個參數(shù)有一個矢量x來表示。

確定設(shè)計變量后，然后建立目標函數(shù)，優(yōu)化設(shè)計的任務(wù)就是要按所求的設(shè)計目標，尋求最優(yōu)的方案，而設(shè)計目標一般表達為設(shè)計變量的函數(shù)即目標函數(shù)。由上節(jié)可知，為了保證夾緊關(guān)節(jié)的在接觸點處的接觸力不為0，同時保證三個關(guān)節(jié)在接觸點處的接觸力盡可能的相等。優(yōu)化的目的使各個接觸力之間的差值盡可能的小。因此確定六桿機構(gòu)的目標優(yōu)化函數(shù)：

確定傳動角的約束條件 在機構(gòu)優(yōu)化中，設(shè)計變量取值的限制范圍以及應(yīng)滿足的運動性能或動力性能要求等限制條件。欠驅(qū)動夾緊機構(gòu)的上，下部四連桿的傳動角γ1和γ2，如圖7、圖8所示。在四連桿機構(gòu)中，傳動角γ越大，對機構(gòu)的傳力越有利。在機構(gòu)運動過程中，傳動角γ的大小是變化的，為了保證機構(gòu)傳力性能良好，應(yīng)使 γmin≥（40～50）°，在受力較大的四桿機構(gòu)中，應(yīng)使機構(gòu)的最小傳動角具有最大值。一般來說，選擇四連桿機構(gòu)的傳動角范圍為（45°，135°），在這個范圍內(nèi)機構(gòu)的傳動效率比較高。下面以下部四連桿機構(gòu)為例推導(dǎo)傳動角約束。下部四連桿的傳動角為γ1，如圖7所示。

圖7 欠驅(qū)動上四連桿傳動角Fig.7 Transmission Angle of Upper Four Links of Under-Actuated Mechanism

圖8 欠驅(qū)動下四連桿傳動角Fig.8 Transmission Angle of Lower Four Links of Under-Actuated Mechanism

由圖7和圖8中的幾何關(guān)系可知：

由上式可知∠B1A1O12隨著B1O12的增大而增大，隨著B1O12的減小而減小。當(dāng)θ10-θ40=90°時，B1O12的值達到最大，同時∠B1A1O12值也最大。因此當(dāng) θ10-θ40=90°時，B1O12化簡為：

可得：

因此得到下部四桿機構(gòu)的最大傳動角約束為：

即：

當(dāng) θ10-θ40接近 0°或者 180°時，∠B1A1O12越小。對于一個給定的四連桿機構(gòu)，θ10的值是確定的（且 θ10∈（0，π/2）），而 θ40在區(qū)間（0，π/2）內(nèi)取值。所以，當(dāng)θ40=0，∠B1A1O12最小。

當(dāng)θ40=0時：

由于上部四連桿在構(gòu)型上和下部四連桿基本相同，所以上部四連桿的傳動角約束可以參照下部四連桿。

確定傳動比約束，由上節(jié)驅(qū)動參數(shù)的關(guān)系可知傳動比0＜R1＜1，0＜R2＜0.5.由幾何參數(shù)的關(guān)系可知傳動比R1，R2與連桿長度各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，如表3所示。

表3 優(yōu)化函數(shù)的約束條件Tab.3 Constraints of Optimization Function

在Matlab中建立優(yōu)化設(shè)計模型，利用目標優(yōu)化函數(shù)fminunc求解在約束條件下的最優(yōu)解，如圖9所示。

圖9 六桿機構(gòu)的設(shè)計參數(shù)最優(yōu)解Fig.9 Optimal Solution of Design Parameters for Six-Bar Mechanism

表4 Fminunc函數(shù)優(yōu)化參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Optimization Results by Function Fminunc

5 結(jié)論

（1）利用力均等原則，保證關(guān)節(jié)在不同接觸點處的接觸力保持相等。以力均等為優(yōu)化目標函數(shù)。

（2）在設(shè)計三關(guān)節(jié)欠驅(qū)動手爪時，建立六桿機構(gòu)的運動學(xué)方程，以連桿傳動角的范圍為約束條件對設(shè)計參數(shù)的取值范圍進行約束。

（3）利用Matlab進行目標函數(shù)的參數(shù)優(yōu)化，確定設(shè)計參數(shù)的最優(yōu)解，得到六桿機構(gòu)的具體設(shè)計參數(shù)。