孫敏 陸世奇

【摘 要】估算作為貫穿整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，是教師教學(xué)的一大重點(diǎn)。由于其內(nèi)容的復(fù)雜性和多樣性，教師的教學(xué)也自然會出現(xiàn)各種誤區(qū)。從估算教學(xué)的本質(zhì)、過程、關(guān)系與價值這四個層面出發(fā)進(jìn)行探討，可以更好地針對教師對估算、估算教學(xué)的認(rèn)識誤區(qū)進(jìn)行分析，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】估算;估算教學(xué);估算本質(zhì);估算過程;估算類型;估算價值

【中圖分類號】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）17-0024-05

【作者簡介】1.孫敏，江蘇省常州市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇常州，213026）副校長，高級教師，常州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，常州市中小學(xué)名教師工作室領(lǐng)銜人，常州市優(yōu)秀教育工作者，江蘇省教科研先進(jìn)個人;2.陸世奇，南京師范大學(xué)（南京，210097）課程與教學(xué)研究所博士研究生，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

隨著新課程改革的推進(jìn)，教師對估算教學(xué)內(nèi)容的教材安排逐漸熟悉，對估算價值和估算方法有了一定認(rèn)識，形成了自己的估算教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，由此我們可以看到一些精彩的估算單課教學(xué)實(shí)例。然而，估算教學(xué)具有十分豐富的育人價值，僅從這種著眼于一個單元或一節(jié)課的微觀視角出發(fā)進(jìn)行教學(xué)，并不能充分展現(xiàn)它的價值。因此，需要從宏觀視角來重新審視估算教學(xué)。所謂宏觀視角，指的是把估算作為小學(xué)數(shù)學(xué)的一個主題，貫穿整個小學(xué)階段，以課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為基礎(chǔ)，從估算的本質(zhì)、過程、關(guān)系與價值等方面出發(fā)，整體地考慮估算教學(xué)?；诖?，本文試從教師對這幾個方面的認(rèn)識誤區(qū)出發(fā)，在深度剖析的基礎(chǔ)上厘定其應(yīng)有的意義與價值。

一、估算本質(zhì)的認(rèn)識：“離散性”還是“連續(xù)性”

（一）“離散性”認(rèn)識導(dǎo)致對估算本質(zhì)的理解偏差

有研究指出，某些學(xué)生認(rèn)為估算得到的都是不正確的答案，所以他們在估算時往往只是隨意地猜測。某些教師則因?yàn)榕c估算相關(guān)的筆試較少，難以真正檢測學(xué)生的估算水平，而對估算教學(xué)抱著點(diǎn)到即止的態(tài)度，缺乏深入的理解和認(rèn)識。

這一現(xiàn)象引出了一個本體性的問題：估算作為一種心理運(yùn)算的過程，它在本體上是一個連續(xù)的范圍還是一個個離散的點(diǎn)？隨意的猜測是不是一種估算？如何判斷估算的好壞？等等。我們由此可以得到兩種理解估算的模式：一種是“離散性”的估算，即在二元思維主導(dǎo)下的一種“是與否”的離散模式，沒有對估算性質(zhì)的判斷，此時隨意的猜測就不是一種估算;另一種是“連續(xù)性”的估算，是一種具有性質(zhì)判斷的估算，即對心理運(yùn)算過程進(jìn)行帶有價值分析的判斷，是對“好”與“壞”的分析。相應(yīng)地，隨意的猜測可以看成是一種消極的估算。

（二）“連續(xù)性”指向估算的性質(zhì)

“連續(xù)性”的估算更符合估算的本質(zhì)，體現(xiàn)了估算的性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)一種對合理性的追求，要求學(xué)生投入足夠的思維精力去完成一個盡可能合理的估算過程，也要求教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生追求“好”的估算。當(dāng)然，這里的“好”與“壞”沒有一個一般性的規(guī)定，更多需要在具體的估算情境下去判斷。這些估算的特征也反映出估算教學(xué)中內(nèi)隱地存在著批判性思維、分析性思維等思維成分。

（三）從“離散性”轉(zhuǎn)向“連續(xù)性”

在一線教學(xué)中，教師往往是在教一個個“離散性”的估算方法，學(xué)生往往很熟練地掌握了各種方法，但不會合理地運(yùn)用，不能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈテヅ湎鄳?yīng)的估算問題。教學(xué)需要從“離散性”的估算轉(zhuǎn)向“連續(xù)性”的估算，即將教授估算方法層面的估算教學(xué)上升為培養(yǎng)估算素養(yǎng)層面的估算教學(xué)，在估算教學(xué)中反思估算的本體價值，追求好的、合理的估算，使各種估算方法聯(lián)系在一起，并最終形成學(xué)生穩(wěn)定的、靈活的估算素養(yǎng)。

二、估算過程的認(rèn)識：“操作性”還是“綜合性”

（一）“操作性”估算過程帶來價值的缺失

在實(shí)際教學(xué)中，教師往往會將估算更多地定位為一種技能，從操作層面進(jìn)行指導(dǎo)，如先轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，再代入進(jìn)行計算，最后比較，要求學(xué)生按程序一步一步模仿學(xué)習(xí)。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以憑借習(xí)得的技能完成相關(guān)練習(xí)要求，但對于為什么估算、估算的情境性、用什么方法估算、估算的適切性、估算的結(jié)果如何運(yùn)用、估算的靈活性等問題缺乏認(rèn)識和把握。

（二）“綜合性”估算過程的三層次分析

事實(shí)上，對估算過程的理解是一個復(fù)雜的綜合體，可以從事實(shí)層面、操作層面和概念層面這三個方面進(jìn)行闡述。

就事實(shí)層面而言，估算是一種數(shù)學(xué)活動，估算本身就是估算方法的具體展開，是基于具體情境進(jìn)行的情境條件的抽象和估算方法的抽象。由于估算方法的多樣性，估算并沒有一般性的形式，因而學(xué)生并不能直接將估算作為一種文字或符號的事實(shí)記在腦海里?？梢哉f，估算的事實(shí)層面并不能獨(dú)立于其操作層面或概念層面而存在，但這并不意味著它是低層次的估算知識，可以表述為“在怎樣的情境下，可以運(yùn)用這種估算的方法”。

就操作層面而言，估算預(yù)設(shè)了兩種運(yùn)算前提：一種是無法做準(zhǔn)確計算;另一種是不必做準(zhǔn)確計算。估算的精確程度并不是無條件可控的，它往往被情境條件限制在一定的范圍之內(nèi)。即使在同一情境條件下，所能運(yùn)用的估算方法也不止一種。操作層面也是一個不斷發(fā)展的過程，從僅僅把估算當(dāng)作一種直覺或一種隨意的猜測，到把估算作為一種有條件、有目的的數(shù)學(xué)活動，其間經(jīng)歷了多方面、多層次的發(fā)展，是對估算情境的多方面要素綜合考慮之后的一種估算方法的籌劃，是一項(xiàng)“估算工程”。

就概念層面而言，可以對估算有一個整體理解：概念層面的估算通過事實(shí)層面得到表述，并作為操作層面的依據(jù)去解決具體的估算問題。抽象是概念的必然要求，概念是解決估算問題所依賴的理論工具。學(xué)生掌握的抽象的估算概念越豐富，就越能合理地解決估算問題。在數(shù)學(xué)上，估算概念是一種條件與方法都明確的算法語句。從這方面來說，估算概念是基礎(chǔ)的、封閉的。

（三）基于“綜合性”的估算過程建構(gòu)

綜合估算的事實(shí)、操作與概念這三個層面，就可以得到一般性的估算過程：從估算條件出發(fā)，根據(jù)估算目的和估算概念得到估算方法，從而得到估算結(jié)果。

在具體教學(xué)中，有兩種可能的教學(xué)進(jìn)程。一種是“事實(shí)—操作—概念”的線性進(jìn)程。首先，掌握估算的事實(shí)方面，即通過范例讓學(xué)生記住一些具體的估算指令;其次，在變式練習(xí)下鞏固對一系列估算事實(shí)的掌握，從而讓學(xué)生可以熟練地運(yùn)用各種估算方法;最后，通過熟練的操作將估算的各種事實(shí)描述內(nèi)化為概念，學(xué)生可以自如地運(yùn)用各種估算方法，甚至合理地創(chuàng)造新的方法。

另一種教學(xué)進(jìn)程是通過情境同時進(jìn)行三個層面的教學(xué)，依據(jù)不同復(fù)雜程度的情境，將估算的各個步驟都交給學(xué)生自由地進(jìn)行取舍和運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地理解估算過程，使他們在此過程中不斷加深對估算目的、估算概念、估算方法、估算結(jié)果的理解和內(nèi)化，形成對估算過程的整體認(rèn)識。

上述兩種思路都是教學(xué)的可能路徑，在實(shí)踐中產(chǎn)生第三、第四種思路也是必然。無論何種教學(xué)進(jìn)程，都需要綜合考慮估算的事實(shí)、操作和概念這三個層面，如此，才可以使學(xué)生真正掌握估算的過程。

三、估算關(guān)系的認(rèn)識：“孤立的”還是“聯(lián)系的”

（一）“孤立的”估算關(guān)系帶來教學(xué)的割裂

估算教學(xué)中普遍存在的一個誤區(qū)，就是忽視了各領(lǐng)域中多種估算類型的內(nèi)在聯(lián)系。不少教師都認(rèn)為它們幾乎是不相關(guān)的，有著不同的估算方法和思路。從心理學(xué)研究的角度來看，國外主要將估算分為三種類型——數(shù)量估算、測量估算、計算估算，每一種估算都有豐富的研究成果，這表明各種類型的估算之間確實(shí)具有較大的差異性——有著不同的心理機(jī)制和心理運(yùn)算路徑。教師的認(rèn)識割裂進(jìn)而造成學(xué)生的學(xué)習(xí)孤立，使得學(xué)生將估算的學(xué)習(xí)看作一個個點(diǎn)狀的知識，難以形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更不用說進(jìn)行估算策略之間的融合和靈活運(yùn)用了。

（二）基于四大領(lǐng)域的估算類型分析

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》四大內(nèi)容領(lǐng)域的編排，我們對數(shù)量估算、測量估算、計算估算以及統(tǒng)計估算分別進(jìn)行闡述。

1.數(shù)量估算。

數(shù)量估算可以作為整個估算體系的基礎(chǔ)，它可以看作最簡單的估算類型。當(dāng)你在估計有幾只小鳥、幾個凳子、幾個人時，就是在進(jìn)行數(shù)量估算。對數(shù)量估算研究最為重要的結(jié)論，是兒童具有多種數(shù)量估算的模式，整體上是從對數(shù)模式向線性模式發(fā)展。顯然，線性模式是更準(zhǔn)確的數(shù)量估算模式。

2.測量估算。

測量估算是數(shù)量估算的自然延伸，它們的區(qū)別主要是估算對象的改變。數(shù)量估算的對象主要是離散的;測量估算關(guān)注的則是對象的連續(xù)性，或者說關(guān)注對象某種可以量化的屬性，如長度、面積、重量等。量的感覺是內(nèi)在的，而量的概念是外在的，這種內(nèi)外聯(lián)結(jié)是一個復(fù)雜的過程，它既要求具有對象各種屬性的背景知識，又要求具有關(guān)于對象的深入認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)，是以單位量為前提、以數(shù)系統(tǒng)為條件進(jìn)行測量估算。這實(shí)際上是一種內(nèi)在樸素的推理過程。這兩種估算最大的特點(diǎn)，就是它們都要求學(xué)生兼顧數(shù)感和一般的感覺，這種一般的感覺包括視覺與空間感、觸覺與重量感等（與估算的對象有關(guān)），并且最終形成量感。

3.計算估算。

計算估算是從具體數(shù)字到數(shù)字的估算，不涉及具體的現(xiàn)實(shí)對應(yīng)物，它也是真正需要計算的一種估算。計算估算可以概括為兩個步驟：一是將已有算式進(jìn)行簡化，包括改變數(shù)字或運(yùn)算;二是進(jìn)行運(yùn)算，這是計算估算的核心問題，但這一核心問題還需要目的性這一估算原則的引導(dǎo)。在計算估算中，我們需要為其找到動力機(jī)制：為何需要進(jìn)行估算？為何用某種方式進(jìn)行估算？估算的目的可能有如下幾個：一是檢驗(yàn)算式的正確性，可以用估算作為一種簡約方法;二是精算的不必要性，現(xiàn)實(shí)生活中大量使用計算估算，因?yàn)榫_的答案是不必要的，人們追求用更短的時間得到模糊、大概的答案;三是學(xué)習(xí)新的運(yùn)算，如在學(xué)習(xí)小數(shù)的運(yùn)算時，可以借助估算先知道大概的答案，以加深對小數(shù)的理解;四是促進(jìn)對運(yùn)算律的理解，在改變運(yùn)算時通常都包含著運(yùn)算律的影響。

4.統(tǒng)計估算。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，把統(tǒng)計的過程作為一種估算的過程是一種大膽但很有價值的嘗試。它們之間具有豐富的相似性，都是過程與結(jié)果的綜合，過程都具有多樣性，結(jié)果都具有不確定性，并且都追求合理性?？梢哉f，估算視角給予統(tǒng)計教學(xué)重要的啟示，統(tǒng)計視角反過來拓展了估算教學(xué)的內(nèi)涵。

具體來看，我們可以把統(tǒng)計估算分為兩個部分——估算的準(zhǔn)備和估算的進(jìn)行。以教材的安排來看，統(tǒng)計部分都是估算的準(zhǔn)備，只有概率部分才是估算的進(jìn)行。但是，估算本身是一個完整的過程，需要兼顧準(zhǔn)備過程與進(jìn)行過程。

與其他三種估算相比，統(tǒng)計估算的過程更加復(fù)雜，其中包含定量與定性的因素，要求學(xué)生綜合考慮多方面因素。但歸根結(jié)底，它仍然是一種估算，且最能體現(xiàn)估算的“連續(xù)性”，整個統(tǒng)計過程都是為了估算本身能夠盡可能地成為“好”的估算。需要補(bǔ)充的是，統(tǒng)計估算總是面向一個具體的現(xiàn)實(shí)問題，它的操作過程總是或多或少地包含著其他三種估算，因而可以把它作為估算教學(xué)的一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)。即，在學(xué)習(xí)了數(shù)量估算、測量估算和計算估算之后，學(xué)生才算有了一定的、抽象的估算概念，也就是有了對具體情境要素進(jìn)行分析的依據(jù)，此時，統(tǒng)計估算往往提供了情境，讓學(xué)生體會完整的估算過程。這樣，再回到其他任何一種類型的估算時，學(xué)生都可以審慎地思考問題，并能作出合理的回答。

（三）用“聯(lián)系的”視角重新認(rèn)識四種估算類型

區(qū)別于作為心理科學(xué)的一般性估算類型研究，作為教育教學(xué)內(nèi)容的估算要求學(xué)習(xí)者不僅要學(xué)習(xí)估算，更要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并從中培養(yǎng)知識、技巧、思維、情感等多方面的能力。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系及課程標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)給予各種估算教學(xué)一種融合的可能。

綜合來看，我們可以從對象、教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)和教學(xué)共同點(diǎn)這三個方面來整體審視上述四種估算類型（如表1）。

四、估算價值的認(rèn)識：“知識的”還是“素養(yǎng)的”

（一）“知識的”價值認(rèn)識無法面向未來

長期追求具有精確性、封閉性、唯一性的標(biāo)準(zhǔn)化答案，使得教師和學(xué)生都習(xí)慣于線性思維，習(xí)慣于算法思維，將估算看作固定的知識去教授或運(yùn)用。這種思維方式和學(xué)習(xí)方式不足以幫助學(xué)生應(yīng)對瞬息萬變、充滿挑戰(zhàn)的未來。

（二）“素養(yǎng)的”價值認(rèn)識引發(fā)對可能性思維的關(guān)注

估算作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最為常見的一個知識點(diǎn)，幾乎貫穿于整個小學(xué)階段。而估算活動本身又是人類認(rèn)識世界、理解世界的一種重要方式。在日常生活中，估算甚至比精算更為常用，更多地涉及開放性、多樣性和不確定性等。在大多數(shù)情況下，估算并沒有一個唯一的答案，而是追求一個合理的答案、一個合理的估算過程，這個過程可以有多種選擇，依據(jù)不同的目的可以有多種不同的呈現(xiàn)方式和解釋。綜合來看，估算是一個更為復(fù)雜的心理運(yùn)算過程，需要更多的思維投入。這就要求教師把握住每一次估算教學(xué)的機(jī)會，把它們看作促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的一種重要渠道。

首都師范大學(xué)郜舒竹教授認(rèn)為，可能性思維在估算教學(xué)中十分重要。所謂可能性思維，就是針對不確定事物或現(xiàn)象進(jìn)行列舉、比較、篩選與判斷的思考過程。其基本模式是在對諸多可能性列舉的基礎(chǔ)上去尋找證據(jù)，通過對這些可能性及其證據(jù)進(jìn)行比較，形成對可能性大小的判斷。因此，在課程內(nèi)容中挖掘可能性思維的因素就顯得十分必要。當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動中出現(xiàn)多種答案時，教師需要容忍并鼓勵不同，寬恕并理解錯誤，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷列舉、比較和判斷的過程。

（三）對立統(tǒng)一中的估算精神培育

雖然可能性思維在估算教學(xué)中十分重要，但算法思維并沒有被估算所拋棄。當(dāng)條件確立以后，方法同時被確立，就可以得到一個唯一的結(jié)果，這是估算過程中的重要環(huán)節(jié)。也就是說，估算的可能性不是一種猶豫不決的轉(zhuǎn)換過程，而是對問題條件的多種解讀，是對估算方法的分析與選擇，在此之后就需要以一種確定性的運(yùn)算程序解決問題。如果缺少這最后一個步驟，那估算活動就只能在無意義的各種可能性之間徘徊，讓學(xué)生形成估算就是任意的猜測或者估算就是錯誤答案的誤解。

可能性思維與算法思維的兼顧也自然引出一種估算精神。它作為一種情感，可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不總是追求精確的答案，也需要我們深入不確定、可能性之中，去分析多樣的問題情境，在多種不同的方法之間進(jìn)行選擇，數(shù)學(xué)在此不再要求絕對正確的答案，而要求更合理的答案。但兩者擁有共同的思想源泉，即數(shù)學(xué)地思考。可見，在情感層面，估算的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生形成一種估算觀，同時也能豐富他們的數(shù)學(xué)觀，拓展他們自我數(shù)學(xué)觀的外延。

以上，是我們對現(xiàn)實(shí)教學(xué)中教師因?qū)浪惚举|(zhì)、估算關(guān)系、估算過程、估算價值認(rèn)識不到位而產(chǎn)生的諸多問題的呈現(xiàn)、分析和思考。帶著這些認(rèn)識和思考，我們將付諸實(shí)踐，在整體、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)化的視野下形成對估算教學(xué)新的研究。

【參考文獻(xiàn)】

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