李 爭，楊 凱，劉令旗，杜 磊

(河北科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 石家莊 050018)

0 引 言

近年來，隨著多自由度電機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，因其在三維運(yùn)動時存在摩擦大且易發(fā)生機(jī)械碰撞的原因，使得傳統(tǒng)的關(guān)節(jié)軸承已無法滿足當(dāng)前應(yīng)用的需求[1-3]。因此，多自由度電機(jī)軸承的研究顯得尤為重要。

因其無摩擦、可靈活實(shí)現(xiàn)空間三自由度運(yùn)動等優(yōu)點(diǎn)，氣體靜壓球軸承在多自由度電機(jī)的應(yīng)用方面表現(xiàn)出了其優(yōu)異的性能。法國學(xué)者HIRN G[4]最早在1854年提出了以空氣作為潤滑介質(zhì)的想法，之后由美國學(xué)者建立了流體潤滑的數(shù)學(xué)模型[5]。雖然許多學(xué)者一直致力于氣體潤滑軸承的研究，但受限于當(dāng)時的工藝水平，一直無法加工出高精度的氣體潤滑軸承，所以氣體潤滑軸承的研究進(jìn)展一直緩慢。隨著20世紀(jì)60年代計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和航天原子能等高新技術(shù)的需求，制造業(yè)水平獲得了飛速提升。隨之而來的是氣體潤滑軸承的研究也得到了迅猛發(fā)展，氣體潤滑軸承開始被逐漸應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)當(dāng)中。20世紀(jì)80年代以來，氣體靜壓設(shè)備開始商用于納米級機(jī)床及超精密車床當(dāng)中。近年來，BELFOR G等學(xué)者[6]開始研究氣體靜壓軸承的節(jié)流孔及結(jié)構(gòu)對軸承的影響，一些學(xué)者開始嘗試將氣體靜壓軸承應(yīng)用于自由活塞式斯特林發(fā)電機(jī)[7]。

氣體靜壓球軸承不僅近似無摩擦力，且可以實(shí)現(xiàn)空間三自由運(yùn)動，因此，本文對氣體靜壓球軸承在多自由度電機(jī)的應(yīng)用方面進(jìn)行理論分析。

相對于傳統(tǒng)的關(guān)節(jié)軸承和液質(zhì)潤滑軸承，氣體靜壓球軸承在多自由度電機(jī)的應(yīng)用方面表現(xiàn)優(yōu)異。因其特殊的潤滑方式和結(jié)構(gòu)，不僅摩擦極小，甚至可近似無摩擦，在三自由度電機(jī)運(yùn)行時極為穩(wěn)定，不易發(fā)生機(jī)械碰撞[8-10]；此外，采用空氣或惰性氣體為潤滑介質(zhì)，不僅環(huán)保無污染，而且氣體流動較快，相對液質(zhì)潤滑軸承溫升較小，解決了油、脂軸承在電機(jī)高速運(yùn)轉(zhuǎn)中產(chǎn)生的溫升及黏性較大的問題。因此，對氣體靜壓球軸承在多自由度電機(jī)當(dāng)中的應(yīng)用研究顯得十分有必要[11-12]。

本文將通過推導(dǎo)公式，建立氣體靜壓球軸承的數(shù)學(xué)模型，并用Matlab建立解析法計(jì)算程序，通過與有限元軟件COMSOL的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證解析法的正確性；并進(jìn)一步使用解析法，分析不同參數(shù)對氣體靜壓球軸承的性能影響[13-16]。

1 多自由度電機(jī)氣浮軸承的結(jié)構(gòu)

1.1 電機(jī)整體結(jié)構(gòu)及靜壓氣體球軸承結(jié)構(gòu)

本文研究的是一種新型的基于氣體靜壓球軸承的多自由度電機(jī)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于氣體靜壓球軸承的多自由度電機(jī)結(jié)構(gòu)圖

圖1中，基于氣體靜壓球軸承的多自由度電機(jī)具體結(jié)構(gòu)為：球形轉(zhuǎn)子上端為輸出軸，內(nèi)部鑲嵌有4排8列32個永磁體，按N、S極交替分布；定子部分設(shè)有進(jìn)氣口、供壓槽和節(jié)流孔，設(shè)有2排8列16個定子。

該電機(jī)采用混合驅(qū)動控制方式，可實(shí)現(xiàn)空間90°范圍內(nèi)大偏轉(zhuǎn)，對多自由度電機(jī)輸出實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。相對于傳統(tǒng)的多自由度電機(jī)，該電機(jī)可實(shí)現(xiàn)無摩擦，及空間內(nèi)大范圍的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動。

1.2 靜壓氣體球軸承結(jié)構(gòu)及工作原理

通過分析，氣體靜壓球軸承對比圖如圖2所示。

圖2 氣體靜壓球軸承對比圖

本電機(jī)采用的氣浮軸承是一種多孔空氣靜壓球軸承，截面圖如圖2(b)所示，Ps為供氣壓力，m2為流出薄膜層的方向，m1的方向形成均壓區(qū)。

對比多孔氣體靜壓球軸承可知，多孔氣體靜壓球軸承比其有更大的包角，且減少了m2方向的消耗，在同等供氣壓力下，不僅耗氣量小且承載能力高。

與單孔靜壓球軸承相比，多孔氣體靜壓球軸承可以提供多孔供壓，在同等的供氣壓力下，承載能力高，且解決了單孔氣體靜壓球軸承承載能力小的問題。

1.3 氣體靜壓球軸承的數(shù)學(xué)模型

本文研究的為氣體靜壓球軸承，因此，建立球形坐標(biāo)系可以更好地計(jì)算和分析軸承特性。

通常情況下，氣體從各節(jié)流孔流出后，會在定轉(zhuǎn)子的薄膜間隙內(nèi)產(chǎn)生3個互相垂直的速度分量。在薄膜中取一點(diǎn)為例，其速度分量在球坐標(biāo)系下的角度關(guān)系為：沿θ方向的速度分量為Vθ，因?yàn)闅怏w主要沿θ方向流出，其速度分量最大；在圓周方向的速度分量為Vψ，其沿轉(zhuǎn)子半徑至圓心方向速度分量為Vr。

由于薄膜厚度最大只有幾十微米，假設(shè)其沿轉(zhuǎn)子半徑方向速度分量為0，即取Vr=0。

由于球半徑R遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于氣膜厚度h，可以把球坐標(biāo)r看作為一常量，可建立球坐標(biāo)系下的速度運(yùn)動方程為：

(1)

式中：P—坐標(biāo)點(diǎn)處的壓力；η—坐標(biāo)點(diǎn)處的空氣粘度；r—坐標(biāo)點(diǎn)到圓心的半徑距離。

假設(shè)經(jīng)小孔節(jié)流后進(jìn)入氣膜的空氣不發(fā)生擴(kuò)散現(xiàn)象，即氣體只沿θ方向流出；取球面圓周方向速度分量Vψ=0，則式(1)可以簡化為：

(2)

由式(2)可得：在球面軸承氣膜中的壓力分布只與角度θ相關(guān)，與其他變量無關(guān)。

在氣體潤滑的研究中遵循質(zhì)量守恒定理，即流入氣體質(zhì)量等于流出氣體質(zhì)量，故關(guān)于球坐標(biāo)的連續(xù)方程為：

(3)

式中：ρ—坐標(biāo)點(diǎn)處空氣的密度。

在氣膜中，由于氣體流動快，溫度變化很小，可以忽略不計(jì)，可以得到氣體狀態(tài)方程為：

(4)

式中：Pa—標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下得空氣的壓力；ρa(bǔ)—標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下得空氣的密度。

由圖2(b)可知：經(jīng)小孔流入氣膜的氣體的一部分沿m1方向流動，一部分沿m2方向流動。由于氣體主要從m2流出，可以近似認(rèn)為流入的氣體質(zhì)量M等于流出的質(zhì)量m2。

可得到穩(wěn)態(tài)方程為：

(5)

式中：M—節(jié)流孔流入氣膜的質(zhì)量。

由圖2(b)還可知：h=ecosθ，其中，e—?dú)饽ず穸?。因此，根?jù)流量公式，有：

(6)

式中：A—節(jié)流孔入口面積；Ps—外界供氣壓力；Cd—節(jié)流孔的節(jié)流系數(shù)。

其中ψ為：

(7)

式中：k—空氣的比熱比值約為1.4;βk—節(jié)流臨界壓力,其值約為0.528。

在式(5)中，由于薄膜厚度h與半徑R相差極大，可以認(rèn)為r為一常量，可得dy=dr，將此代入式(2)中，并通過積分可得：

(8)

將邊界條件：Vθ=0,y=0,y=h,分別代入上式中，通過求解可得：

因此，可以得到：

(9)

將式(4，8)代入式(5)，聯(lián)立可得：

(10)

將式(10)分離變量，并進(jìn)行積分，通過求解可得：

(11)

將初始條件：θ=θ1，代入到式(11)中，可得：

P=

(12)

式(12)即為θ1≤θ<θ2時，氣膜內(nèi)壓力的分布。當(dāng)θ<30°時，P=Pd。

將式(5)中M的表達(dá)式代入到式(12)中，可得：

(13)

式中:n—節(jié)流孔的數(shù)目；σ—無因次供氣壓力比，σ=Pa/Ps；β—節(jié)流系數(shù)，β=Pd/Ps。

根據(jù)此式(13)可求出節(jié)流系數(shù)，進(jìn)而求出節(jié)流后的供氣壓力Pd；進(jìn)一步可以求出軸承承載能力W，其公式如下：

(14)

根據(jù)式(14)中得出的承載能力，進(jìn)而可以對軸承靜態(tài)剛度K進(jìn)行計(jì)算，即：

(15)

氣體擴(kuò)散系數(shù)公式為：

(16)

式中：D—擴(kuò)散系數(shù)；M—?dú)怏w質(zhì)量；v—?dú)怏w速度。

氣體靜壓球軸承的承載能力和靜態(tài)剛度是氣浮軸承設(shè)計(jì)時不可或缺的兩個指標(biāo)，同時耗氣量也是需要考慮的重要指標(biāo)。因此，在進(jìn)行軸承設(shè)計(jì)時，在符合承載能力的前提下，要考慮選擇較高的靜態(tài)剛度，以利于提高軸承的穩(wěn)定性。這是因?yàn)樵谪?fù)載發(fā)生變化時，較高的靜態(tài)剛度可以保證多自由度電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行；同時也要考慮耗氣量的消耗，在符合設(shè)計(jì)要求及優(yōu)化目標(biāo)的前提下，盡量減少耗氣量。

筆者利用公式編制Matlab程序，以求解各參數(shù)下的軸承性能。

具體的程序流程圖如圖3所示。

圖3 解析法計(jì)算程序流程圖

2 仿真分析

2.1 氣體靜壓球軸承特性仿真分析

筆者通過Matlab對氣體靜壓球軸承建立解析法計(jì)算程序，并對壓力與承載能力進(jìn)行了求解，與COMSOL進(jìn)行了對比分析驗(yàn)證，得到的薄膜壓力圖如圖4所示。

圖4 薄膜壓力圖

通過Matlab程序，可以對本文中的模型進(jìn)行求解，通過求解可得節(jié)流變壓比。當(dāng)起浮量小于11 μm時，其節(jié)流比接為1；當(dāng)起浮量大于11 μm時，其值開始逐漸變??；起浮量在30 μm左右時，達(dá)到節(jié)流比的臨界比0.528；當(dāng)節(jié)流比小于該值時，氣體靜壓球軸承易發(fā)生阻塞現(xiàn)象。

由此可見，通過節(jié)流比可以求出氣體靜壓軸承氣膜內(nèi)的壓力分布。

在Matlab程序中，取初始參數(shù)為：起浮量值10 μm，此時節(jié)流比為1，節(jié)流孔數(shù)目為8，節(jié)流孔分布角度為30°。則此時的氣膜內(nèi)的壓力計(jì)算結(jié)果如圖4(b)所示。

在COMSOL中，設(shè)定供氣壓力為0.6 MPa，環(huán)境溫度24 ℃，出口壓力為0.1 MPa，氣體屬性設(shè)置為空氣可壓縮。則此時的COMSOL計(jì)算結(jié)果如圖4(c，d)所示。

通過圖4(b)可直觀看出：在大約0°～30°的區(qū)域中，角度小于進(jìn)氣口角度的區(qū)域，形成均壓區(qū)。當(dāng)大于30°時，氣體壓力開始逐漸下降，最終下降到0.1 MPa；圖4(c，d)的三維仿真結(jié)果圖與圖4(b)的變化規(guī)律基本相同。

因此，通過結(jié)果對比可得：解析法計(jì)算結(jié)果與COMSOL計(jì)算結(jié)果基本相同。

筆者通過解析法計(jì)算取間隔為1 μm，計(jì)算起浮量在10 μm～30 μm下的承載能力，并將結(jié)果擬合成一條曲線；同理，在COMSOL中計(jì)算不同起浮量下的承載力，并擬合成一條曲線。

所得結(jié)果對比圖如圖5所示。

圖5 解析法計(jì)算與COMSOL計(jì)算結(jié)果對比圖

由式(16)分析可知：擴(kuò)散系數(shù)與壓力成反比。通過分析圖4(d)可知：在COMSOL中，氣體在節(jié)流孔處存在擴(kuò)散現(xiàn)象；但在解析法計(jì)算中，由于忽略了氣體擴(kuò)散影響，設(shè)定的是節(jié)流孔同一圓周上壓力相等，造成節(jié)流的孔出口壓力所在圓周上比實(shí)際要高，致使計(jì)算時壓力比實(shí)際壓力偏大，故通過解析法計(jì)算后得到的擴(kuò)散系數(shù)D較小。

由圖5可知：與COMSOL計(jì)算結(jié)果相比，解析法計(jì)算結(jié)果數(shù)值偏大，其中在10 μm時誤差最大為10%，后逐漸減小；但兩者變化趨勢基本相同，并隨著數(shù)值增大，兩者結(jié)果趨于一致。

通過兩者的變化趨勢對比驗(yàn)證可知：筆者所建立的數(shù)學(xué)模型正確，且與實(shí)際相符。另外，通過參考文獻(xiàn)[17-19]的相關(guān)實(shí)驗(yàn)及結(jié)論，也可以印證該數(shù)學(xué)模型的正確性。

此外，通過式(2)及圖4(a)可得：隨著起浮量變大，節(jié)流比變小，節(jié)流孔出口壓力變小，而壓力偏導(dǎo)與速度偏導(dǎo)的平方成正比關(guān)系，因此，可知隨著起浮量增加，節(jié)流孔出口壓力減小快于速度減小。根據(jù)式(16)可知：解析法的擴(kuò)散系數(shù)與COMSOL的擴(kuò)散系數(shù)數(shù)值大小相接近，故隨著起浮量值的增大，兩者誤差逐漸減小。

2.2 氣體靜壓軸承變參數(shù)特性影響

本文通過與有限元仿真軟件COMSOL進(jìn)行對比，以及相關(guān)參考文獻(xiàn)的驗(yàn)證，保證了解析法計(jì)算的準(zhǔn)確性；接下來進(jìn)一步分析不同參數(shù)對空氣靜壓球軸承特性的影響。

不同參數(shù)對軸承特性的影響如圖6所示。

圖6 同參數(shù)對軸承特性的影響

由圖6(a)可知：其承載能力及耗氣量與節(jié)流孔數(shù)目存在著良好的線性正關(guān)系，當(dāng)供氣孔數(shù)目由4增加到12時，承載能力由3 kN增加到了5.5 kN，其值增加了5/6，耗氣量由900 L/h增加到了2 200 L/h，漲幅約2.45倍；

由圖6(b)可得：隨著節(jié)流孔數(shù)目增多，其靜態(tài)剛度和最大剛度值均不斷減小，對應(yīng)的最佳起浮量值不斷增大。

由以上分析可知：增加節(jié)流孔數(shù)目可較好地增加氣體靜壓球軸承的承載能力，但同時會使耗氣量顯著增加；另外，靜態(tài)剛度最大值受節(jié)流孔數(shù)目影響不大。

由圖6(c)可知：保持其他參數(shù)不變，改變包角的角度，則此時承載能力與包角呈正相關(guān)關(guān)系，而耗氣量與之呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。隨著包角角度的增大，不僅可以較好地提升承載能力，而且可以減少一些耗氣量。

由圖6(d)可知：隨著包角的增大，其最大靜態(tài)剛度對應(yīng)最佳起浮量值變化很小，且隨著包角的增加靜態(tài)剛度不斷增大。

由以上分析可知：選擇較大的包角可以增加氣體靜壓球軸承的承載能力，減小耗氣量，提升靜態(tài)剛度，對氣浮軸承的各項(xiàng)性能都著有較好的提升效果。

由圖6(e)可知：保持其他參數(shù)不變，改變節(jié)流孔的分布角度，當(dāng)節(jié)流孔角度在32°時，其承載能力達(dá)到最大，無論增加或者減小分布角角度，都會使承載能力降低；同時可得，在32°時其耗氣量最少，由此可得到在氣體靜壓球軸承中存在最優(yōu)角度。

由圖6(f)可得：隨著節(jié)流孔角度的增加，其最大靜態(tài)剛度值不斷減小，但在最佳角度，即一定范圍內(nèi)，其最大靜態(tài)剛度值及對應(yīng)的起浮量值變化不大。

由以上分析可知：本文研究的氣體靜壓球軸承最優(yōu)分布角度為32°,在該角度下不僅承載能力好，且耗氣量少，同時可以使其保持有較好的靜態(tài)剛度。

在對同結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分析研究后，筆者對不同供氣壓力下的氣體靜壓球形軸承進(jìn)行了分析研究。

由圖6(g)可得：提高供氣壓力可以有效地提升承載能力，但會造成耗氣量的大幅增加。

由圖6(h)可得：提高供氣壓力可以有效地提高靜態(tài)剛度，供氣壓力從0.5 MPa提升到0.7 MPa，其最佳工作起浮量值從21 μm減小到19 μm，因而供氣壓力對其最佳起浮量值的影響較小。

由以上分析可知：提升氣浮軸承供氣壓力可以有效提升軸承的承載能力，但會提升耗氣量，同時可以有效地提升其靜態(tài)剛度，且對其最佳工作起浮量值的影響很小。

3 結(jié)束語

以氣體靜壓球軸承對多自由度電機(jī)的應(yīng)用為背景，筆者通過解析法與有限元軟件COMSOL結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，保證了解析法的準(zhǔn)確性；進(jìn)一步通過解析法分析了各種參數(shù)對氣體靜壓球軸承性能的影響。研究結(jié)果表明：通過增加節(jié)流孔數(shù)目，提升包角角度及供氣壓力，均能提升氣浮軸承承載能力，且氣體靜壓球軸承存在節(jié)流孔分布最優(yōu)角度；在軸承計(jì)算中，采用了層流的計(jì)算方式，忽略了氣體擴(kuò)散的影響，因此結(jié)果存在稍許誤差。

本文所采用的分析方法和理念，對氣體靜壓球軸承的設(shè)計(jì)分析以及在多自由度電機(jī)方向的應(yīng)用，具有一定的參考意義。

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