王海山，謝偉烈，李競遠(yuǎn)，郭彥林

(1.浙江中南建設(shè)集團(tuán)鋼結(jié)構(gòu)有限公司，浙江 杭州 310052；2.清華大學(xué) 土木工程系，北京 100084)

0 引 言

拱結(jié)構(gòu)歷史悠久，拱憑借本身的曲線形狀產(chǎn)生水平推力，可以將外荷載產(chǎn)生的一部分彎矩轉(zhuǎn)換為軸壓力，使構(gòu)件截面均勻承壓的效率提高。相比相同跨度的梁，拱結(jié)構(gòu)沿軸線分布的彎矩幅值顯著降低，整體剛度和承載力均有明顯的提高[1]。針對兩鉸和固支鋼拱，國內(nèi)外對拱平面內(nèi)的穩(wěn)定性能及設(shè)計方法，已經(jīng)有了很成熟的研究成果[2-11]。

由于鋼拱以壓彎為主，往往會存在穩(wěn)定問題，因此在實際工程中常引進(jìn)拉索來改善鋼拱的受力性能，索拱結(jié)構(gòu)便應(yīng)運而生。車輻拱(圖1)是索拱的一種典型形式，其不僅受力合理，承載效率高，而且造型優(yōu)美，同時拉索還可以減小拱腳的水平推力。車輻拱非常受到建筑師的青睞，已廣泛應(yīng)用于空間結(jié)構(gòu)工程，如圖2所示。王高寧等[12-13]深入研究了兩鉸車輻拱平面內(nèi)彈性屈曲和彈塑性穩(wěn)定性能。計算結(jié)果表明，在全跨和偏跨豎向均布荷載作用下，車輻式布索方案可以降低鋼拱對幾何初始缺陷的敏感性，顯著提高鋼拱的平面內(nèi)整體剛度和穩(wěn)定承載力。此外，對拉索施加預(yù)應(yīng)力，其對承載力幾乎沒有影響，反而過大的預(yù)應(yīng)力會降低車輻拱的承載力。由于車輻拱中的拉索占用了建筑室內(nèi)凈空，往往被應(yīng)用在非落地的鋼拱建筑中。此時，拱腳產(chǎn)生的水平推力會對支承結(jié)構(gòu)增加負(fù)擔(dān)，支承結(jié)構(gòu)的水平側(cè)移也會改變車輻拱的受力性能。

圖1 無索拱和車輻拱的結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 車輻拱在工程的應(yīng)用

考慮車輻拱拱腳支承柱或墻的側(cè)向水平剛度影響，車輻拱拱腳可簡化為豎向剛性連桿和水平彈簧連接的計算模型(圖3，其中，θ為角度坐標(biāo)，S為拱的全弧長，H為矢高，L為車輻拱跨度，h為索盤高度，kh為兩側(cè)水平彈簧剛度，R為拱的半徑，φ為鋼拱的半開角。)。對于無索拱來說，拱腳水平約束彈簧剛度的不足會削弱拱腳推力，進(jìn)而增大沿拱軸線的彎矩，使得拱在豎向荷載作用下的力學(xué)行為發(fā)生變化。本文重點研究拱腳水平約束彈簧對車輻拱受力性能的影響，并依據(jù)計算結(jié)果提出設(shè)計建議。

圖3 拱腳帶水平約束彈簧的車輻拱計算模型及荷載工況示意圖

Bradford等[14-17]對拱腳帶約束彈簧的拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[14]假設(shè)兩側(cè)拱腳水平約束彈簧的剛度相等，采用虛功原理建立拱腳水平約束彈簧拋物線拱在跨中集中力作用下的非線性平衡方程，給出了相應(yīng)彈性屈曲荷載的閉合解，并與有限元分析結(jié)果進(jìn)行了對比驗證。

文獻(xiàn)[15]進(jìn)一步考慮拱的材料非線性，采用理論推導(dǎo)、數(shù)值計算以及試驗方法研究了拱腳帶水平約束彈簧拱的彈塑性穩(wěn)定性能。另一方面，文獻(xiàn)[16]，[17]在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，考慮不同方向的拱腳約束彈簧(包括徑向、切向和轉(zhuǎn)動方向等約束彈簧)剛度變化對拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性能的影響。此外，楊洋等[18-19]推導(dǎo)了拱腳帶水平約束彈簧圓弧鋼拱的跨中軸力和拱腳位移，采用有限元法進(jìn)行彈性屈曲分析和彈塑性承載力分析，基于數(shù)值計算結(jié)果擬合得到彈性屈曲荷載和極限承載力。分析中將拱腳水平彈簧剛度量綱一化得到如式(1)所示的彈性柔度系數(shù)ζ，簡化了計算和分析過程。顯然，當(dāng)ζ=0時，拱腳水平彈簧的剛度為無窮大，鋼拱為理想兩鉸拱。相反，當(dāng)ζ為正無窮大時，其彈簧剛度為0，在豎向荷載作用下，拱腳無水平約束，可以沿水平方向自由移動，故鋼拱變?yōu)榛⌒瘟骸?/p>

(1)

式中:I1為鋼拱截面的慣性矩；A1為鋼拱的截面面積；λg為拱的幾何長細(xì)比；E1為鋼拱的彈性模量。

目前，非落地車輻拱的工程應(yīng)用逐漸增多，但考慮拱腳支承結(jié)構(gòu)水平剛度影響的研究成果卻很少。本文以車輻拱作為研究對象，研究拱腳的水平彈簧剛度變化對車輻拱平面內(nèi)穩(wěn)定性能的影響。采用有限元法對車輻拱在全跨豎向均布荷載(全跨荷載)和半跨豎向均布荷載(半跨荷載)作用下的一階彈性性能和彈塑性穩(wěn)定承載力進(jìn)行研究，揭示拱腳帶水平約束彈簧的車輻拱內(nèi)力變化以及平面內(nèi)失穩(wěn)機(jī)理，為車輻拱結(jié)構(gòu)設(shè)計提供依據(jù)。

本文取典型尺寸的車輻拱(圖3)進(jìn)行研究，其跨度取L=50 mm，矢跨比H/L=0.3，0.4，索盤高度按照h=0.5H計算，拉索沿鋼拱軸線均勻布置，并依據(jù)實際應(yīng)用情況，數(shù)量取11根。鋼拱截面采用圓鋼管，尺寸為700 mm×20 mm，拉索直徑為60 mm。計算和分析過程中，采用彈性柔度系ζ作為反映拱腳水平約束彈簧剛度的參數(shù)。計算結(jié)果可為這一跨度范圍內(nèi)的車輻拱提供設(shè)計指導(dǎo)。

1 一階彈性分析

車輻拱在荷載作用下的內(nèi)力和變形大小及其分布是結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要依據(jù)。本文采用有限元軟件ANSYS建立無索拱和車輻拱的計算模型并進(jìn)行一階彈性分析，研究拱腳水平彈簧約束剛度變化對無索拱和車輻拱在全跨荷載和半跨荷載作用下的拱腳水平推力、變形以及沿拱軸線內(nèi)力分布的影響。其中，鋼拱由Beam188單元模擬，其彈性模量E1=206 GPa，泊松比為0.3；拉索采用只拉不壓的Link10單元，其拉伸彈性模量E2=190 GPa；拱腳水平彈簧采用Link8單元，兩側(cè)彈簧等剛度設(shè)計。僅考慮無索拱和車輻拱的平面內(nèi)穩(wěn)定問題，考慮到拉索初始預(yù)應(yīng)力對車輻拱的穩(wěn)定性能影響不顯著[12]，故本文不考慮給拉索施加預(yù)應(yīng)力。

1.1 全跨荷載作用

圖4 彈性柔度系數(shù)ζ對無索拱和車輻拱的拱腳推力影響(全跨荷載)

圖5 不同ζ的無索拱和車輻拱對應(yīng)的變形(全跨荷載且H/L=0.3)

圖6 不同ζ的無索拱和車輻拱對應(yīng)的彎矩圖(全跨荷載且H/L=0.3)

圖7 不同ζ的無索拱和車輻拱對應(yīng)的軸力圖(全跨荷載且H/L=0.3)

研究在全跨荷載作用下彈性柔度系數(shù)ζ變化對無索拱和車輻拱拱腳水平推力的影響，計算結(jié)果如圖4所示，其中，F(xiàn)x為不同ζ值對應(yīng)的拱腳推力，F(xiàn)x，0為ζ=0(拱腳為固定鉸)對應(yīng)的拱腳推力。以矢跨比0.3為例，圖5～7分別給出了單位全跨荷載作用下的變形、彎矩和軸力圖，其中，M和N分別為彎矩和軸力，Mmax和Nmax,0分別為最大彎矩和軸力。圖5～7反映了不同ζ值對無索拱和車輻拱變形和內(nèi)力的相對影響。內(nèi)力分布圖中橫坐標(biāo)均為量綱一的角度坐標(biāo)θ/φ；縱坐標(biāo)為相應(yīng)內(nèi)力幅值與拱腳為固定鉸對應(yīng)的最大內(nèi)力幅值的比值。另外，在車輻拱的變形圖中，將拉索單元去掉，僅保留鋼拱的輪廓線，且將變形適當(dāng)放大。

計算結(jié)果表明，無索拱的水平推力下降比較平緩，導(dǎo)致各ζ值對應(yīng)的變形和內(nèi)力分布區(qū)別十分明顯。隨著ζ的增大，無索拱的變形和內(nèi)力分布逐漸接近于拱腳無水平約束的弧形梁，即跨中軸力逐漸歸零，最后拱沿軸線完全向下?lián)锨?，其中跨中彎矩和變形最大。?dāng)拱腳無水平約束時，弧形梁對應(yīng)的彎矩幅值約為兩鉸拱的16倍。

對于車輻拱，當(dāng)ζ從0增加到0.02時，水平推力迅速下降，導(dǎo)致在這范圍之內(nèi)兩鉸車輻拱與拱腳帶水平約束彈簧車輻拱的受力機(jī)理差異較大。當(dāng)ζ達(dá)到0.02后，拱腳推力曲線接近平臺階段并趨近于0，表明其受力機(jī)理與車輻弧形梁基本相同。當(dāng)拱鉸為固定鉸(ζ=0)時，兩鉸車輻拱兩側(cè)向外凸曲，而頂部向下?lián)锨渲袃蓚?cè)各1/20跨到3/20跨位置和拱頂部位的彎矩較大。當(dāng)拱腳受到水平彈簧約束或拱腳無水平約束時，車輻拱沿拱軸線基本都是負(fù)彎矩，其中跨中彎矩較小。與無索拱不同的是，車輻拱隨著拱腳推力被削弱，軸力逐漸增大，故降低了彎矩幅值，受力更加合理。當(dāng)拱腳無水平約束時，車輻弧形梁的最大軸力相比兩鉸車輻拱增大了2/3，而最大彎矩幅值僅增加了1倍左右。

綜上可知，在全跨荷載作用下，拱腳水平彈簧剛度變化對無索拱的受力性能影響非常顯著。相反，雖然車輻拱的力學(xué)行為對拱腳水平約束條件變化也十分敏感，但拱腳水平彈簧剛度變化對車輻拱內(nèi)力幅值的影響較小。

1.2 半跨荷載作用

與全跨荷載作用類似，研究了在單位半跨荷載作用下彈性柔度系數(shù)變化對無索拱的拱腳推力、變形以及內(nèi)力的影響，計算結(jié)果見圖8～11。在半跨荷載作用下，無索拱和車輻拱的水平推力與彈性柔度系數(shù)的變化趨勢與全跨荷載工況相似。

圖8 彈性柔度系數(shù)ζ對無索拱和車輻拱的拱腳推力影響(半跨荷載)

圖10 不同ζ的無索拱和車輻拱對應(yīng)的彎矩圖(半跨荷載且H/L=0.3)

圖11 不同ζ的無索拱和車輻拱對應(yīng)的軸力圖(半跨荷載且H/L=0.3)

對于無索拱，計算結(jié)果表明，隨著ζ增大，軸力逐漸減小，加載半跨內(nèi)的最大彎矩幅值不斷增大，非加載半跨內(nèi)的撓曲方向逐漸轉(zhuǎn)向。當(dāng)拱腳無水平約束時，拱軸線完全向下?lián)锨?，其最大彎矩幅值約為兩鉸拱的4倍。

對于車輻拱，計算結(jié)果表明，半跨荷載作用下拱腳固定和拱腳非固定(帶水平約束彈簧或無水平約束)對應(yīng)的變形和軸力分布都比較相似，但是彎矩分布區(qū)別十分明顯。隨著彈簧剛度減小，軸力逐漸增大，拱兩側(cè)1/5跨的彎矩也逐漸增大且轉(zhuǎn)向，但在拱頂相鄰兩側(cè)的彎矩反而逐漸減小。當(dāng)拱腳無水平約束時，最大彎矩幅值僅約為兩鉸車輻拱的1/2。這表明拱腳的水平彈簧約束可以改善車輻拱在半跨荷載作用下的受力性能。

總之，在半跨荷載作用下，減小拱腳水平彈簧剛度會顯著降低無索拱的承載力，但可以提升車輻拱的承載力。

2 彈塑性穩(wěn)定承載力分析

除了對拱軸線內(nèi)力變化進(jìn)行分析外，本文研究拱腳水平彈簧剛度變化對無索拱和車輻拱在全跨荷載和半跨荷載作用下彈塑性穩(wěn)定性能的影響。分析中考慮幾何初始缺陷的影響，給出車輻拱相應(yīng)的荷載-位移曲線以及極限狀態(tài)下的應(yīng)力分布。最后，研究了拱腳柔度系數(shù)對其極限穩(wěn)定承載力的影響，并比較了無索拱與車輻拱二者之間的差異。在計算分析中，鋼拱材料單向拉伸試驗對應(yīng)的材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線采用雙線性強(qiáng)化模型，其屈服強(qiáng)度fy=345 MPa，初始屈服后的切線模量為0.02E1；由于拉索的破斷力較高，故索采用理想彈性材料，其他保持與上文相同。此外，取拱軸線正弦雙波反對稱屈曲模態(tài)[12,20]作為鋼拱的幾何初始缺陷分布模式(圖12)，并且考慮到制作、施工中的誤差以及殘余應(yīng)力等因素，取其缺陷幅值δ為全弧長的1/1 000。

圖12 無索拱和車輻拱的幾何初始缺陷

2.1 全跨荷載作用

圖13 不同ζ的車輻拱對應(yīng)的荷載-拱頂豎向位移曲線(全跨荷載)

圖14 不同ζ的車輻拱對應(yīng)的荷載-拱腳水平位移曲線(全跨荷載)

圖15 車輻拱在極限狀態(tài)對應(yīng)的鋼拱應(yīng)力(全跨荷載且ζ=0.02)(單位:MPa)

采用本文有限元模型計算車輻拱在全跨荷載作用下的荷載-位移曲線，計算結(jié)果見圖13，14。兩圖分別反映了不同彈性柔度系數(shù)ζ值對應(yīng)的荷載-拱頂豎向位移和荷載-拱腳相對位移之間的變化關(guān)系，其中縱坐標(biāo)均為荷載集度q與兩鉸車輻拱的極限承載力qu,0的比值，圖13的橫坐標(biāo)為拱頂豎向位移uz,A與矢高H的比值，圖14的橫坐標(biāo)為拱腳相對水平位移ux,pin與跨度L的比值。圖15給出了ζ=0.02的車輻拱對應(yīng)的鋼拱Von Mises應(yīng)力圖。

圖13和圖14計算結(jié)果表明，在加載階段初期，荷載和位移幾乎線性變化。對比矢跨比0.3和0.4的車輻拱，前者柔度系數(shù)的增大對車輻拱剛度的削減比后者大，說明車輻拱更適合應(yīng)用于大矢跨比的情況。另一方面，由于拱腳相連的拉索可以有效地約束拱腳向外移動，達(dá)到極限狀態(tài)時，車輻拱的拱腳水平位移很小，僅為跨度的1.2%～3.3%(圖14)。此外，計算結(jié)果也表明，拱腳柔度系數(shù)對其承載力的影響有限。

圖15的應(yīng)力云圖表明，在極限狀態(tài)下，ζ=0.02的車輻拱兩側(cè)沿軸線的應(yīng)力分布基本對稱，由于在拉索位置存在局部集中力，有明顯的屈服區(qū)域擴(kuò)展。此外，在車輻拱兩側(cè)1/10跨位置附近，塑性區(qū)的擴(kuò)展和彎曲變形較大。

圖16總結(jié)了在全跨荷載作用下，拱腳水平彈簧剛度變化對彈塑性承載力的影響，其中縱坐標(biāo)為極限承載力qu與拱腳為固定鉸時對應(yīng)的極限承載力qu,0的比值?？梢园l(fā)現(xiàn)，無索拱和車輻拱的承載力曲線都存在峰值。對于無索拱，當(dāng)彈性柔度系數(shù)ζ=0.005時，對應(yīng)的承載力最大。當(dāng)彈性柔度系數(shù)超過0.005后，無索拱的承載力開始明顯下降。ζ=0.1對應(yīng)的極限承載力僅為兩鉸無索拱的35%～50%。

圖16 彈性柔度系數(shù)ζ對無索拱和車輻拱極限承載力的影響(全跨荷載)

對于車輻拱，存在極限承載力峰值對應(yīng)的最優(yōu)柔度系數(shù)，其值為ζ=0.000 4。與無索拱不同的是當(dāng)ζ達(dá)到0.02后，承載力基本沒有變化，ζ增加到0.10時僅有約10%的折減。

2.2 半跨荷載作用

本文研究了半跨荷載作用下彈性柔度系數(shù)變化對無索拱和車輻拱穩(wěn)定承載性能的影響，計算結(jié)果如圖17～20所示。圖17橫坐標(biāo)為3/8跨點豎向位移uz,B與矢高H的比值。

圖17 不同ζ車輻拱對應(yīng)的荷載-3/8跨點豎向位移曲線(半跨荷載)

圖18 不同ζ車輻拱對應(yīng)的荷載-拱腳水平位移曲線(半跨荷載)

圖19 車輻拱在極限狀態(tài)對應(yīng)的鋼拱應(yīng)力圖(半跨荷載且ζ=0.02)(單位:MPa)

圖20 彈性柔度系數(shù)ζ對無索拱和車輻拱極限承載力的影響(半跨荷載)

從圖17可以看出，對于矢跨比為0.3的車輻拱，如一階分析結(jié)果所述，當(dāng)拱腳由固定鉸變?yōu)闊o水平約束時，極限承載力提升了30%左右，但豎向剛度略有下降。對于矢跨比為0.4的車輻拱，隨著ζ的增大，承載力和豎向剛度的變化不明顯，僅略有提升。

從圖18可以看出，與全跨荷載工況相同，拉索的存在對約束拱腳位移十分有效。當(dāng)拱腳無水平約束時，拱腳位移仍然很小，其最大位移僅為跨度的1.3%。與全跨荷載工況不同的是，當(dāng)外荷載接近極限荷載時，拱腳位移逐漸減小。這是因為在加載初期，車輻拱在加載半跨內(nèi)向下?lián)锨?，使得拱腳向外移動。當(dāng)加載半跨撓度較大時，在變形最大的位置附近，拱軸線出現(xiàn)向下凹曲，此時拉索的作用使得拱腳滑動方向發(fā)生了改變。

從圖19的Von Mises應(yīng)力云圖可以看出，當(dāng)拱腳柔度系數(shù)ζ=0.02時，在極限狀態(tài)下，非加載半跨內(nèi)的應(yīng)力比較小，而加載半跨內(nèi)的應(yīng)力比較大，其中在3/8跨位置附近應(yīng)力是最大的。

對比彈性柔度系數(shù)對無索拱和車輻拱彈塑性承載力的影響(圖20)，發(fā)現(xiàn)無索拱的承載力隨著ζ的增大顯著下降，而車輻拱的承載力反而有所提升。當(dāng)ζ大于0.02之后，承載力幾乎沒有變化。這說明，在半跨荷載作用下拱腳水平剛度不足對車輻拱的穩(wěn)定承載力反而有提高作用。

3 結(jié)語

(1)車輻拱可以顯著限制拱腳的水平位移，減小鋼拱截面的彎矩幅值，提高鋼拱的穩(wěn)定性能。隨著車輻拱拱腳水平剛度減弱，拱腳水平推力迅速降低，但全跨均布荷載作用下的承載力降低不多，半跨均布荷載作用下的承載力略有提升。

(2)在全跨荷載作用且拱腳無任何水平約束的情況下，車輻拱對應(yīng)的極限承載力相比兩鉸車輻拱僅有10%左右的折減，并且其塑性發(fā)展較大區(qū)域或破壞位置發(fā)生在拱兩側(cè)1/10跨位置而非拱頂部。

(3)在半跨荷載作用且當(dāng)拱腳從固定鉸變?yōu)闊o水平約束時，車輻拱的穩(wěn)定性能有所改善。對于矢跨比為0.3的車輻拱，承載力可以提高約30%，但整體剛度有所下降，而對于矢跨比為0.4的車輻拱，其承載力和整體剛度均有所提升，但其變化不十分明顯。