鄭亞青，楊永柏

(華僑大學(xué)大學(xué)機(jī)電及自動化學(xué)院，廈門 361021)

在過去的四十多年中，繩牽引并聯(lián)機(jī)器人獲得機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注和研究興趣。繩牽引并聯(lián)機(jī)器人具有潛在的大工作空間，易被重組和使用，具有高速運(yùn)動和高的質(zhì)量負(fù)荷比等特性[1]，使得其在天文觀察、結(jié)構(gòu)建造設(shè)備、救援、服務(wù)和康復(fù)以及多空中機(jī)器人等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。然而，繩牽引并聯(lián)機(jī)器人也存在一定缺陷，即繩索必須被繃緊來產(chǎn)生作用在末端執(zhí)行器上的力和力矩；且繩索柔性有時不能被忽略的，由于彈性索和末端執(zhí)行器以及驅(qū)動器這三者的動力學(xué)之間存在非平凡的耦合，使得機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)和末端軌跡控制問題變得非常復(fù)雜[2]。Gosselin教授提出一種2索牽引的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)(每根繩索被看成是一個無質(zhì)量的剛性桿和一個線性彈簧組成)，其動力學(xué)系統(tǒng)滿足微分平坦性從而使軌跡跟蹤控制問題變得易被解決[3]。

針對一種含一彈性索的二索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)，推導(dǎo)該機(jī)構(gòu)的動力學(xué)系統(tǒng)，并用微分代數(shù)方法及經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來線性化的一般性控制器形式，這兩種方法推導(dǎo)獲得與其對等的具有Brunovsky類型正則形式的線性化和解耦化的系統(tǒng)。這兩種方法在本質(zhì)上是一致的，都是在尋找原系統(tǒng)的一個微分k-同胚，然后在其基礎(chǔ)上獲得用新的狀態(tài)坐標(biāo)表示的與原系統(tǒng)對等的Brunovsky類型正則形式。兩種方法的區(qū)別在于：研究工具和具體推導(dǎo)過程的存在差異，微分代數(shù)方法用微分域擴(kuò)張表示機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)，而用代數(shù)閉合及微分閉合一致來獲得與原系統(tǒng)對等的Brunovsky類型正則形式，這兩個對等系統(tǒng)之間存在一個微分k-同胚[4]；經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來線性化的一般性控制器形式方法是用無限維微分幾何將機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)方程限制成呈一個塊三角結(jié)構(gòu)的、帶有一般化的控制系數(shù)非線性控制器形式，通過對該非線性控制器采用一種特殊的準(zhǔn)靜態(tài)反饋，即可獲得與原狀態(tài)方程等價的具有Brunovsky正則形式的線性系統(tǒng)，這是微分代數(shù)方法的另一種表達(dá)[5]。前人針對該類型的機(jī)構(gòu)，通過求解機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)的廣義狀態(tài)方程的輸出函數(shù)關(guān)于狀態(tài)量x的Lie導(dǎo)數(shù)以及輸出函數(shù)和Lie導(dǎo)數(shù)關(guān)于輸入量u的偏微分表達(dá)來尋找其微分同胚φ(x)，并從φ(x)該微分同胚獲取新狀態(tài)坐標(biāo)來推導(dǎo)出與原系統(tǒng)等價的具有Brunovsky類型正則形式的線性系統(tǒng)[6]。

采用的兩種新的推導(dǎo)方法從不同的側(cè)面來理解和闡釋同一個問題，其中微分代數(shù)屬于數(shù)學(xué)的一個分支；經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來線性化的一般性控制器形式方法屬于非線性控制的內(nèi)容，其與文獻(xiàn)[6]所用的方法的區(qū)別在于：文獻(xiàn)[6]采用Lie-Backlund映射求微分k-同胚?，F(xiàn)采用第二種方法，并基于已有的利用微分幾何取得的研究結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)。

1 含一彈性索的二索并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)

(1)

式(1)中：τ1為第一根繩的拉力值。

右方的那根繩索是無質(zhì)量、長度為ρ2的剛性索。其中，

(2)

式(2)中：τ2為第二根繩的拉力值。

B1為滑輪1和繩連接點(diǎn)的坐標(biāo)；l為坐標(biāo)值;ρ1為繩1鋼性部分長度

末端執(zhí)行器的運(yùn)動方程可用方程(3)、方程(4)表示：

τ1=ks1

(3)

τ2=τ2

(4)

(5)

(6)

(7)

根據(jù)式(3)～式(7)，可獲得逆動力學(xué)問題的解：

(8)

(9)

(10)

2 含一彈性索的二索并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)的Brunovsky類型正則形式之推導(dǎo)：微分代數(shù)方法

文獻(xiàn)[4]利用微分代數(shù)知識，證明了一個用微分域擴(kuò)張表示的平坦化良好動力學(xué)系統(tǒng)可通過準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)反饋獲得一個與其對等的具有Brunovsky類型正則形式的線性化和解耦化的系統(tǒng)。首先定義幾個微分域擴(kuò)張，接著推導(dǎo)指出含1彈性索的2T繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)是平坦化的良好動力學(xué)系統(tǒng)，然后推導(dǎo)獲得與其等價的具有Brunovsky類型正則形式的線性系統(tǒng)。

2.1 微分域擴(kuò)張

在微分代數(shù)方法中，機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)用微分域擴(kuò)張來定義，系統(tǒng)變量如輸入u，輸出y和狀態(tài)量x是代數(shù)對象，即一個域的元素，這些對象之間確定了系統(tǒng)的廣義狀態(tài)方程：

(11)

(12)

即

(13)

式(13)中：Ai為在k內(nèi)的帶有系數(shù)的多項(xiàng)式；k為給定的一個微分域，這定義了一個D/k〈u〉。

(2)給出一個線性化和解耦化的系統(tǒng)：

(14)

即

(15)

(16)

即

(17)

(18)

即

(19)

(20)

即

Gi(vi,ξ,u)=0,i=1,2

(21)

2.2 證明

(22)

3 含一彈性索的二索并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)的Brunovsky類型正則形式之推導(dǎo)

經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來線性化的一般性控制器形式的思路是：在選擇合適的新狀態(tài)坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，利用無限維微分幾何將機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)方程限制成呈一個塊三角結(jié)構(gòu)的帶有一般化的控制系數(shù)非線性控制器形式，通過對該非線性控制器采用一種特殊的準(zhǔn)靜態(tài)反饋就可獲得與原狀態(tài)方程等價的擁有Brunovsky正則形式的線性系統(tǒng)。該方法是文獻(xiàn)[6]所采用的非線性控制理論二線性化過程的另一種表達(dá)。

證明：

(23)

(24)

(25)

(26)

式(26)滿足文獻(xiàn)[5]中所提到的是帶有一般化可控性系數(shù)的一般化非線性控制器形式，該控制器包含被函數(shù)終止的積分器鏈，這些函數(shù)代表系統(tǒng)的非線性且能通過正確的反饋被補(bǔ)償，因?yàn)樗鼈兪潜豢刂戚斎雞直接被達(dá)到的。

(27)

(28)

式中：(A，B)是Brunovsky對。

4 基于微分代數(shù)方法和基于經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來線性化的一般性控制器形成的兩方法比較

4.1 微分代數(shù)方法

利用文獻(xiàn)[4]中的結(jié)論推導(dǎo)表明，以微分域擴(kuò)張表示的機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)是一個平坦化的良好動力學(xué)系統(tǒng)，通過準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)反饋可獲得一個與其對等的具有Brunovsky類型正則形式的線性化和解耦化的系統(tǒng)，這2個對等系統(tǒng)之間存在一個微分k-同胚。

4.2 經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來線性化的一般性控制器形式

利用文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論，在選擇合適的新狀態(tài)坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造呈“塊三角結(jié)構(gòu)”且?guī)в幸话慊目刂葡禂?shù)的非線性控制器，然后推導(dǎo)出與原機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)方程等價的擁有Brunovsky類型正則形式的線性系統(tǒng)。該方法是方法一的另一種表達(dá)。

兩種方法在本質(zhì)上是一致的，側(cè)重點(diǎn)都是在尋找原系統(tǒng)的一個微分k-同胚，然后在其基礎(chǔ)上獲得用新的狀態(tài)坐標(biāo)表示的與原系統(tǒng)對等的Brunovsky類型正則形式；差異在于研究工具和具體推導(dǎo)過程的不同，如第一種方法用微分域擴(kuò)張表示機(jī)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)而用代數(shù)閉合及微分閉合一致來獲得與原系統(tǒng)對等的Brunovsky類型正則形式，第二種方法是用無限維微分幾何將機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)方程限制成呈一個塊三角結(jié)構(gòu)的帶有一般化的控制系數(shù)非線性控制器形式，通過對該非線性控制器采用一種特殊的準(zhǔn)靜態(tài)反饋就可獲得與原狀態(tài)方程等價的具有Brunovsky正則形式的線性系統(tǒng)。

5 結(jié)論

微分代數(shù)、經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來線性化的一般性控制器形式這兩種方法都能推導(dǎo)獲得與原機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)狀態(tài)方程等價的具有Brunovsky正則形式的線性系統(tǒng)，因?yàn)閮煞N方法本質(zhì)上是一致的，側(cè)重點(diǎn)都是在尋找原系統(tǒng)的一個微分k-同胚，然后在其基礎(chǔ)上獲得用新的狀態(tài)坐標(biāo)表示的與原系統(tǒng)對等的Brunovsky類型正則形式；差異在于研究工具和具體推導(dǎo)過程的不同。