王勝男,陳 放

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081)

在我方小規(guī)模部隊在無我方部隊空中、地面火力支援的情況下，可利用可小型單兵攜帶投彈無人機(jī)對復(fù)雜地形中的隱蔽目標(biāo)進(jìn)行視距外的有效打擊。由于單兵攜帶的彈藥量有限，為了利用最少的彈藥達(dá)到最大的打擊效果，就對彈藥的投彈精準(zhǔn)度提出了更高的要求。

為了解決無人機(jī)投擲非制導(dǎo)彈藥命中精度低的問題，余超等[1]提出了一種躍升-俯沖投彈攻擊方法，通過炸彈的運(yùn)動學(xué)模型和無人機(jī)機(jī)動性能約束條件求解炸彈投放點，并設(shè)計了躍升-俯沖攻擊的全過程航跡；田應(yīng)元等[2]對影響落點散布的投彈條件進(jìn)行了仿真計算，確定了各投彈條件對空投彈道的影響，其中飛機(jī)的位置坐標(biāo)以及角度的偏差對落點的散布影響較大；程善政等[3]分析了投彈初始條件對彈傘系統(tǒng)入水參數(shù)的影響，得到低空低速的投彈方式對入水點散布的影響較小；王昊鵬等[4]建立了基于測距法的轟炸光電瞄準(zhǔn)模型，該模型能夠穩(wěn)定解算瞄準(zhǔn)諸元。

在本文的應(yīng)用場景下，由于在單兵攜帶的小型投彈無人機(jī)上搭載了多枚彈藥，在懸停飛行且連續(xù)投彈的過程中，其重心的位置發(fā)生改變，整機(jī)質(zhì)量產(chǎn)生突變，在這一過程中的擾動會影響投彈的初始條件，從而對投彈精準(zhǔn)度產(chǎn)生影響。為減小投彈初始條件的誤差，本文在飛行原理的基礎(chǔ)上建立單兵投彈無人機(jī)不平衡負(fù)載下的動力學(xué)模型并搭建仿真平臺，針對投彈過程中的不平衡負(fù)載突變的情況，分別建立PID控制、串級PID控制和串級模糊PID控制模型來降低彈丸投彈時的初始擾動，仿真結(jié)果表明：串級模糊PID控制方法可有效提高落點的精確程度。

1 單兵投彈無人機(jī)不平衡負(fù)載下飛行動力學(xué)模型

建立慣性坐標(biāo)系E(OXYZ)和機(jī)體坐標(biāo)系B(oxyz)，慣性坐標(biāo)系E與地球表面固連，機(jī)體坐標(biāo)系B與無人機(jī)固連，無人機(jī)的形心為坐標(biāo)原點，符合右手法則，如圖1所示。

圖1 小型投彈無人機(jī)機(jī)體坐標(biāo)系以及地面坐標(biāo)系

對無人機(jī)的飛行姿態(tài)進(jìn)行更精準(zhǔn)的描述，根據(jù)圖2，定義歐拉角如下：

滾轉(zhuǎn)角φ：機(jī)體坐標(biāo)系繞ox軸所旋轉(zhuǎn)的角度，順時針為正，逆時針為負(fù)；

俯仰角θ：機(jī)體坐標(biāo)系繞oy軸所旋轉(zhuǎn)的角度，順時針為正，逆時針為負(fù)；

偏航角ψ：機(jī)體坐標(biāo)系繞oz軸所旋轉(zhuǎn)的角度，順時針為正，逆時針為負(fù)。

根據(jù)慣性坐標(biāo)系E以及機(jī)體坐標(biāo)系B和無人機(jī)3個姿態(tài)角的定義，從機(jī)體坐標(biāo)系B(oxyz)到慣性坐標(biāo)系E(OXYZ)的轉(zhuǎn)換矩陣C為

C=CxCyCz=

(1)

為了方便建立單兵投彈無人機(jī)動力學(xué)模型，進(jìn)行如下假設(shè)：無人機(jī)在飛行過程中可被認(rèn)為是剛體，且機(jī)體均勻?qū)ΨQ；無人機(jī)在整個飛行過程中，不受除了槳葉自身產(chǎn)生的氣流之外的影響，默認(rèn)當(dāng)?shù)貧庀髼l件無風(fēng)雨；把坐標(biāo)系的原點建立在無人機(jī)的幾何中心上；機(jī)體所受到的空氣阻力可以忽略不計；槳葉旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力與其轉(zhuǎn)速的平方成正比，反扭矩與轉(zhuǎn)速的平方成正比。

圖2 歐拉角示意圖

1.1 單兵投彈無人機(jī)質(zhì)心運(yùn)動模型

在無人機(jī)搭載彈藥后，重心位置發(fā)生偏移，故重心由初始坐標(biāo)o(0,0,0)遷移至o′(xa,ya,0)。根據(jù)受力分析可知，機(jī)體所受外力和力矩有無人機(jī)和所載彈丸的合重力G、四片槳葉所產(chǎn)生的升力Fi(i=1，2，3，4)，方向垂直槳葉向上，如圖3所示。同時產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)力矩Mi(i=1，2，3，4)，方向垂直槳葉的旋轉(zhuǎn)平面，與旋轉(zhuǎn)矢量相反。

圖3 單兵投彈無人機(jī)受力分析模型

槳葉的升力可表示為

(2)

根據(jù)牛頓第二定律將無人機(jī)受力表現(xiàn)為式(3)：

(3)

根據(jù)上述受力分析、牛頓第二定律以及坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，可得到投彈無人機(jī)的質(zhì)心運(yùn)動模型[5-6]：

(4)

1.2 單兵投彈無人機(jī)姿態(tài)變化模型

H為無人機(jī)相對于地面坐標(biāo)系的絕對動量矩，由角動量定理可知，

(5)

在機(jī)體坐標(biāo)系上對上式進(jìn)行表示，則有相對導(dǎo)數(shù)，

(6)

設(shè)l為槳葉中心到坐標(biāo)系遠(yuǎn)點的距離，故，

(7)

無人機(jī)的角動量矩為

(8)

(9)

定義U1、U2、U3、U4分別為無人機(jī)的垂直、翻滾、俯仰、偏航控制量，來對其控制進(jìn)行簡化分析：

(10)

整理式(4)、式(9)、式(10)后可得單兵投彈無人機(jī)不平衡負(fù)載下的動力學(xué)模型：

(11)

2 投彈初始條件穩(wěn)定性控制建模

2.1 單兵投彈無人機(jī)參數(shù)

依據(jù)所搭載彈丸的基本信息以及前文建立的單兵投彈無人機(jī)模型，設(shè)計并匹配了一套單兵投彈無人機(jī)參數(shù)，詳見表1。

表1 單兵投彈無人機(jī)與搭載彈丸相關(guān)參數(shù)

對式(11)分析可知，姿態(tài)角的變化不依賴于無人機(jī)的位置變化，而無人機(jī)位置的變化依賴于歐拉角。因此，可將投彈初始條件的控制分為兩個子模塊：姿態(tài)控制模塊和位置控制模塊。

2.2 投彈初始條件穩(wěn)定性PID控制建模

搭建PID控制的仿真回路如圖4所示[7]，經(jīng)過模型搭建與調(diào)試，獲得經(jīng)典PID控制下各通道的KP、KI、KD值，如表2所示。

圖4 投彈初始條件穩(wěn)定性PID控制框圖

表2 PID仿真參數(shù)取值

2.3 投彈初始條件穩(wěn)定性串級PID控制建模

對式(11)分析可知，當(dāng)投彈無人機(jī)下方掛有不在其質(zhì)心上的彈丸時，投放彈丸會使無人機(jī)的姿態(tài)角發(fā)生改變，為了進(jìn)一步提高投彈初始條件的穩(wěn)定性，考慮提出了角度/角速度協(xié)同的控制方案。搭建角度/角速度部分串級PID控制器如圖5所示。

圖5 投彈初始條件穩(wěn)定性串級PID控制結(jié)構(gòu)框圖

在調(diào)試過程中發(fā)現(xiàn)，外環(huán)的PI控制器能夠使系統(tǒng)快速無穩(wěn)態(tài)誤差的收斂，內(nèi)環(huán)的PD控制器可有效抑制系統(tǒng)超調(diào)量，可以滿足系統(tǒng)設(shè)計的要求。文獻(xiàn)[8]表明：PI-PD控制器對于運(yùn)行狀態(tài)變化引起的模型誤差和參數(shù)變化具有更強(qiáng)的魯棒性。因此，調(diào)試獲得串級PID控制下各通道的KP、KI、KD值，如表3所示。

表3 串級PID仿真參數(shù)取值

2.4 投彈初始條件穩(wěn)定性串級模糊PID控制系統(tǒng)構(gòu)建

投彈無人機(jī)在投彈前后的數(shù)學(xué)模型會發(fā)生變化，因此，單一固定的PID參數(shù)不能使任意飛行狀態(tài)(載彈/空載)時投彈的初始條件達(dá)到最佳狀態(tài)。故考慮模糊PID控制方法，通過模糊規(guī)則來對系統(tǒng)實現(xiàn)動態(tài)調(diào)整，克服傳統(tǒng)PID控制方法不能實時調(diào)參的缺陷[9-10]。

在串級PID基礎(chǔ)上設(shè)計的串級模糊PID控制系統(tǒng)框圖如圖6，在Matlab/Simulink中，各個通道所建立的模糊子模塊如圖7所示。

圖6 串級模糊PID控制系統(tǒng)框圖

圖7 模糊子模塊示意圖

在模糊子模塊中，定義位置、角度、角速度控制環(huán)的偏差e、偏差變化率de、控制環(huán)輸出量ΔKP、ΔKI、ΔKD的模糊子集為{NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB},論域范圍取{-3,3}，依據(jù)元素的取值情況和經(jīng)驗，NB選用Z型隸屬函數(shù)，PB選取S型隸屬函數(shù)，其余均選用三角形隸屬函數(shù)，如圖8所示。

模糊控制規(guī)則是模糊控制方法的核心，在本文中模糊控制規(guī)則主要是用來依據(jù)e和de確定輸出量ΔKP、ΔKI、ΔKD來實現(xiàn)對系統(tǒng)的動態(tài)控制。根據(jù)KP、KI、KD對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響以及三者之間的相互作用，設(shè)計PID控制模糊規(guī)則表，如表4所示。

圖8 隸屬度函數(shù)曲線

表4 PID參數(shù)模糊規(guī)則表

輸入的偏差e和偏差變化率de與輸出變量ΔKP、ΔKI、ΔKD之間的控制參數(shù)曲面如圖9所示。

圖9 輸出變量控制曲面

當(dāng)重心位置無法精確獲得，模型參數(shù)則具有不確定性時，經(jīng)過仿真測試，重心偏移量xa、ya在[-0.48l,0.48l]范圍內(nèi)時，模糊控制方法均可以對其進(jìn)行穩(wěn)定控制，可有效的抑制模型的參數(shù)不確定性。

3 投彈初始條件穩(wěn)定性仿真分析

根據(jù)式(11)與圖4、圖5、圖6，搭建Matlab/Simulink仿真模型，設(shè)置系統(tǒng)初始狀態(tài)為x=y=z=0，φ=θ=ψ=0，在t=2 s時，利用switch和clock模塊改變M、Ix、Iy、Iz、xa、ya，模擬投彈過程對無人機(jī)投彈初始穩(wěn)定性的影響，具體改變量取值見表1。3種控制策略下四旋翼無人機(jī)在6個自由度上的動態(tài)響應(yīng)對比如圖10所示。

對圖10分析可知，投彈無人機(jī)在初始條件下處于懸停穩(wěn)定狀態(tài)，t=2 s時，投彈動作使得投彈無人機(jī)和下一枚將要投放彈丸的位置和姿態(tài)角均不同于初始理想懸停狀態(tài)，而這些改變將會對下一枚彈丸的投放產(chǎn)生影響。依據(jù)彈丸的投擲條件，簡化彈丸質(zhì)心運(yùn)動微分方程：

圖10 投彈初始條件響應(yīng)

(12)

式(12)中：c為彈道系數(shù)；u,w分別為水平和垂直分量的速度；g為重力加速度；G(v)為阻力函數(shù)；(x′,y′)為彈丸的質(zhì)心坐標(biāo)，依據(jù)43年阻力定律，取G(v)=0.000 047v。

對式(12)分析可知，彈丸的初始狀態(tài)vx、vy和vz對彈丸的落點影響最為明顯。假設(shè)第1枚彈丸投放后1 s，投彈無人機(jī)釋放第2枚彈丸，從仿真模型中獲取3種控制方法下第2枚彈丸投擲時彈丸在慣性坐標(biāo)系下的3個方向速度的vx、vy和vz，如表5所示。

表5 第2枚彈丸的初始vx、vy和vz

圖11 彈丸運(yùn)動軌跡對比圖

經(jīng)計算，彈丸約歷時9 s落地，經(jīng)典PID、串級PID和串級模糊PID 3種控制方法下，第2枚彈丸落點距離目標(biāo)位置依次為2.18 m、1.87 m和0.52 m。串級模糊PID控制方法較經(jīng)典PID控制方法對彈丸偏差減小了76%，較串級PID控制方法減小了72%。

4 結(jié)論

串級模糊PID控制方法對投彈初始條件的控制效果最優(yōu)，相對經(jīng)典PID控制方法，落點精度提高了76%，可有效提高單兵投彈無人機(jī)裝備的投彈精準(zhǔn)度。