齊嘉興，趙修平

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有控制精度高、工作空間小、負(fù)載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，目前已經(jīng)得到了廣泛的研究和應(yīng)用[1]。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于模型的高精度控制，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析并建立準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型是十分必要的。針對(duì)六自由度并聯(lián)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程的建立，常用的方法包括Lagrange公式[2-3]、Newton-Euler方程[4]、虛功方程[5]、Kane方程[6-13]等，很多學(xué)者通過(guò)建模分析表明Kane方程較其他方法具有高效性和簡(jiǎn)潔性。

按照Kane方程中偏速度和偏角速度的不同表述形式，可以將Kane方程的建模過(guò)程分為兩種：一種是嚴(yán)格按照Kane方程的定義逐個(gè)求取相對(duì)于廣義速率的廣義主動(dòng)力分量和廣義慣性力分量，文獻(xiàn)[8,11]按照這種方式給出了Kane方程建模的詳細(xì)過(guò)程，但整個(gè)過(guò)程較為繁瑣；另一種是通過(guò)剛體之間速度的映射關(guān)系求取每個(gè)剛體上主動(dòng)力和慣性力對(duì)應(yīng)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力，文獻(xiàn)[6]利用Kane方程，通過(guò)影響系數(shù)矩陣建立了并聯(lián)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)模型，文獻(xiàn)[2,7,9-10,12]利用Kane方程，通過(guò)計(jì)算各速度之間的映射關(guān)系建立了六自由度并聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程，使其具有更簡(jiǎn)潔的表達(dá)形式。

歐拉角和四元數(shù)被廣泛用于描述動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)，當(dāng)選取動(dòng)平臺(tái)的六維空間速度分量作為廣義速率時(shí)，歐拉角、四元數(shù)與動(dòng)平臺(tái)空間角速度之間不具有簡(jiǎn)單地微分關(guān)系，因此需要額外的轉(zhuǎn)換過(guò)程[10]。

此外，不同文獻(xiàn)對(duì)動(dòng)平臺(tái)和連桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力的計(jì)算也有不同的表述。文獻(xiàn)[6-7]沒(méi)有對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)平臺(tái)和連桿慣性矩陣的計(jì)算做出明確說(shuō)明；文獻(xiàn)[9-10]利用Lagrange公式對(duì)連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力進(jìn)行了計(jì)算，推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣；文獻(xiàn)[8,11]將動(dòng)平臺(tái)和連桿對(duì)質(zhì)心的慣性矩陣等價(jià)為對(duì)下平臺(tái)原點(diǎn)的慣性矩陣。

本文使用螺旋坐標(biāo)描述動(dòng)平臺(tái)空間姿態(tài)，以動(dòng)平臺(tái)的六維空間速度分量作為廣義速率，通過(guò)速度之間的映射關(guān)系，求取各剛體上主動(dòng)力和慣性力對(duì)應(yīng)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力，并給出了明確的計(jì)算過(guò)程，根據(jù)Kane方程建立了六自由度并聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型。

1 Kane方程

六自由度并聯(lián)平臺(tái)系統(tǒng)是包括上、下平臺(tái)以及六組上、下連桿共14個(gè)剛體的剛體系，剛體系的Kane方程可以表示為[14]：

(1)

(2)

(3)

根據(jù)Kane方程建立剛體系動(dòng)力學(xué)方程的過(guò)程包括：1)根據(jù)自由度數(shù)確定廣義速率；2)根據(jù)廣義速率，確定各剛體的偏速度和偏角速度；3)結(jié)合各剛體所受主動(dòng)力、慣性力計(jì)算廣義主動(dòng)力和廣義慣性力；4)按照Kane方程建立動(dòng)力學(xué)方程。

2 并聯(lián)平臺(tái)速度及加速度分析

2.1 坐標(biāo)系建立和參數(shù)設(shè)定

六自由度并聯(lián)平臺(tái)由動(dòng)平臺(tái)A1A2A3A4A5A6和靜平臺(tái)B1B2B3B4B5B6組成，采用半正六邊形的形狀，上下平臺(tái)通過(guò)上、下連桿和球面副相連接，構(gòu)成SPS結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

本文在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)做了如下假設(shè)：

1)忽略各關(guān)節(jié)的摩擦力；

2)各剛體質(zhì)量均勻；

3)各連桿關(guān)于各自的軸是對(duì)稱的，且不能繞著各自的軸旋轉(zhuǎn)；

4)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心位于上鉸點(diǎn)構(gòu)成的平面的形心處。

在動(dòng)、靜平臺(tái)的質(zhì)心處分別建立坐標(biāo)系OPxPyPzP、OBxByBzB。平臺(tái)的矢量關(guān)系如圖2所示，其中l(wèi)i為連桿的長(zhǎng)度，ei為連桿的單位矢量，ai、bi為動(dòng)、靜平臺(tái)上的鉸點(diǎn)在各自平臺(tái)坐標(biāo)系的位置矢量，矢量P表示動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在靜平臺(tái)坐標(biāo)系的位置。動(dòng)平臺(tái)、上連桿和下連桿的質(zhì)量分別為mP、ma和mb。

圖1 并聯(lián)平臺(tái)SPS結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 連桿參數(shù)示意圖

如圖2所示，在下鉸點(diǎn)Bi處建立依附于連桿的移動(dòng)坐標(biāo)系{Bi}，{Bi}的單位向量分別為ei、ti和ri，ti和ri定義為：

(4)

ri=ei×ti

(5)

則{Bi}相對(duì)于{OB}的旋轉(zhuǎn)矩陣為[13]：

(6)

2.2 速度關(guān)系

根據(jù)圖2所示的矢量關(guān)系可得：

liei=p+BRPai-bi

(7)

(8)

式(8)右邊為上鉸點(diǎn)的速度，其與動(dòng)平臺(tái)空間速度q的關(guān)系為：

(9)

(10)

用ei對(duì)式(8)兩邊同時(shí)進(jìn)行叉積運(yùn)算，并認(rèn)為連桿不能繞著ei方向的軸旋轉(zhuǎn)，整理后可以得到各連桿的角速度為：

(11)

將式(9)代入式(11)，整理后可得到：

(12)

根據(jù)圖2所示幾何關(guān)系可得上連桿質(zhì)心速度為：

(13)

同理可得下連桿的速度為：

(14)

2.3 加速度關(guān)系

對(duì)式(11)兩邊求導(dǎo)可得支腿伸縮運(yùn)動(dòng)的加速度為：

(15)

對(duì)式(9)兩邊求導(dǎo)可得上鉸點(diǎn)加速度為：

(16)

式(16)中，ΩP為ωP的反對(duì)稱矩陣。

對(duì)式(13)兩邊求導(dǎo)可得上連桿質(zhì)心加速度為：

(17)

其中：

(18)

(19)

同理可得：

(20)

(21)

3 基于Kane方程的動(dòng)力學(xué)建模

3.1 偏速度和偏角速度

上連桿的偏速度矩陣為：

(22)

下連桿的偏速度矩陣為：

(23)

上、下連桿具有相同的偏角速度矩陣，均為：

(24)

動(dòng)平臺(tái)的偏速度矩陣和偏角速度矩陣分別為：

(25)

(26)

3.2 廣義主動(dòng)力

在不考慮負(fù)載和其他干擾力的情況下，并聯(lián)平臺(tái)的主動(dòng)力包括：動(dòng)平臺(tái)和連桿的重力以及連桿上的驅(qū)動(dòng)力。

(27)

進(jìn)一步在偏速度矩陣的基礎(chǔ)上，可以給出上連桿重力的廣義主動(dòng)力矩陣為：

(28)

同理可以得到下連桿重力的廣義主動(dòng)力矩陣為：

(29)

動(dòng)平臺(tái)重力的廣義主動(dòng)力矩陣為：

(30)

六個(gè)支腿上的驅(qū)動(dòng)力向量τ作用在上連桿上，其對(duì)應(yīng)的廣義主動(dòng)力為：

(31)

3.3 廣義慣性力

上連桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力為：

(32)

參考廣義主動(dòng)力矩陣的形式，結(jié)合式(22)可以得到上連桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的廣義慣性力矩陣為：

(33)

同理可以得到下連桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的廣義慣性力矩陣為：

(34)

上、下連桿轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力為：

(35)

(36)

(37)

結(jié)合式(24)，其對(duì)應(yīng)的廣義慣性力矩陣為：

(38)

式(38)中，skew(Peivai)為Peivai的反對(duì)稱矩陣。

動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力為：

(39)

動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力為：

(40)

(41)

3.4 并聯(lián)平臺(tái)封閉動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)Kane方程，將求得的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力代入式(1)可得：

(42)

進(jìn)一步整理得：

(43)

(44)

(Mai+Mbi+Mai,bi)ΩP(ΩPci)+CP

(45)

(46)

至此得到了六自由度并聯(lián)平臺(tái)完整的封閉動(dòng)力學(xué)方程。

4 仿真驗(yàn)證

給定并聯(lián)平臺(tái)中各剛體的幾何參數(shù)，如表1所示。分別在式(43)表示的動(dòng)力學(xué)方程下，考察并聯(lián)平臺(tái)的前向動(dòng)力學(xué)仿真和逆動(dòng)力學(xué)仿真以驗(yàn)證模型的正確性。

表1 并聯(lián)平臺(tái)的幾何參數(shù)

前向動(dòng)力學(xué)仿真即已知驅(qū)動(dòng)力，求解動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡。利用計(jì)算力矩法[13]控制動(dòng)平臺(tái)跟蹤式(47)和式(48)所示的軌跡，且不考慮模型的建模誤差，動(dòng)平臺(tái)的初始高度為0.65 m，其余初始狀態(tài)均為0，利用四階龍格庫(kù)塔法求解，實(shí)際軌跡和輸出軌跡如圖3和圖4所示。

(47)

(48)

逆向動(dòng)力學(xué)即在給定軌跡下，求解所需的驅(qū)動(dòng)力?？疾觳⒙?lián)平臺(tái)在式(47)和式(48)所示的軌跡下的驅(qū)動(dòng)力變化。驅(qū)動(dòng)力變化曲線如圖5和圖6所示。

從前向動(dòng)力學(xué)仿真和逆動(dòng)力學(xué)仿真的結(jié)果可以看出，并聯(lián)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)力變化是符合預(yù)期的，表明本文利用Kane方程建模的正確性。

圖3 動(dòng)平臺(tái)位置的期望和輸出軌跡

圖4 動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的期望和輸出軌跡

圖5 連桿1-3驅(qū)動(dòng)力變化曲線

圖6 連桿4-6驅(qū)動(dòng)力變化曲線

5 結(jié)論

1)用螺旋坐標(biāo)描述動(dòng)平臺(tái)的空間姿態(tài)，使動(dòng)平臺(tái)空間位姿的導(dǎo)數(shù)和空間速度具有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系，避免了額外的轉(zhuǎn)換過(guò)程；

2)通過(guò)建立偏速度矩陣和偏角速度矩陣推導(dǎo)了Kane方程中各變量具體的表達(dá)式，并對(duì)動(dòng)平臺(tái)和連桿相對(duì)質(zhì)心的慣量矩陣計(jì)算做出了說(shuō)明；

3)根據(jù)Kane方程建立了六自由度并聯(lián)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)仿真驗(yàn)證了模型的正確性。