吳欣悅,徐衍亮,孫銘鑫

(山東大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 濟(jì)南 250061)

0 引 言

目前，高速鼓風(fēng)機(jī)、壓縮機(jī)和渦輪分子真空泵等高速和高功率密度驅(qū)動(dòng)器受到了廣泛關(guān)注，軸承作為高速驅(qū)動(dòng)設(shè)備的重要影響因素，逐漸成為了專家學(xué)者們的研究重點(diǎn)。與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相比，磁懸浮軸承具有無摩擦、壽命長、速度快、精度高等優(yōu)點(diǎn)，更適合用于高速驅(qū)動(dòng)設(shè)備。磁軸承通常分為主動(dòng)磁軸承、被動(dòng)磁軸承和混合磁軸承三種。由永磁體提供偏置磁場的混合型磁軸承具有功耗低、線圈數(shù)量少、結(jié)構(gòu)緊湊的優(yōu)勢，而徑向-軸向組合式混合磁軸承(Combined Radial-axial Hybrid Magnetic Bearing, CRAHMB)由于其長度短、成本低、零件數(shù)量少、功率密度高和轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)響應(yīng)更好而逐漸成為研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]對于CRAHMB的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及原理進(jìn)行了介紹，并對該類磁軸承發(fā)展進(jìn)行了預(yù)測，文獻(xiàn)[2-5]對僅有一個(gè)致動(dòng)目標(biāo)的CRAHMB進(jìn)行了磁路分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。除了常見的CRAHMB拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[6-7]介紹了兩種新型結(jié)構(gòu)的CRAHMB。目前CRAHMB相關(guān)論文大多為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計(jì)也僅僅是針對單一自由度軸承電磁力或者單個(gè)目標(biāo)如功耗、體積等。文獻(xiàn)[8-10]對于不同結(jié)構(gòu)的徑向磁軸承進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[11]對于多種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的軸向磁軸承進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。為獲得更小的功耗文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]分別對主動(dòng)型磁軸承和徑向混合型磁軸承進(jìn)行了能量優(yōu)化。

本文首先介紹了帶有兩個(gè)致動(dòng)目標(biāo)的新型CRAHMB的結(jié)構(gòu)原理，分析了補(bǔ)償原理和補(bǔ)償線圈設(shè)定方法。然后建立了該磁軸承的等效磁路，基于等效磁路法，對電磁力進(jìn)行了解析計(jì)算，通過有限元方法仿真驗(yàn)證了等效磁路及電磁力解析計(jì)算的正確性，進(jìn)一步闡明了該磁懸浮軸承設(shè)計(jì)的合理性。最后基于該等效磁路模型，采用多目標(biāo)粒子種群算法(Multi-objective Particle Swarm Optimization, MOPSO)對該磁軸承進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與初始模型進(jìn)行對比，驗(yàn)證了優(yōu)化的有效性。

1 CRAHMB的結(jié)構(gòu)和工作原理

CRAHMB的結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，由徑向定子、軸向定子、永磁體環(huán)、補(bǔ)償線圈和轉(zhuǎn)子鐵心組成。徑向定子由具有4個(gè)凸極的徑向定子鐵心及其上的徑向控制線圈構(gòu)成，軸向定子由截面為h形的環(huán)形軸向定子鐵心及軸向環(huán)形控制線圈構(gòu)成。永磁環(huán)位于徑向定子和軸向定子之間，用于提供徑向和軸向偏置磁通，分別如圖1(b)、圖1(c)中的ФRPM和ФAPM所示。纏繞在四個(gè)徑向磁極上的四個(gè)徑向線圈流有徑向控制電流，產(chǎn)生如圖1(b)中的徑向控制磁通ФRCM，這一磁通與偏置磁通ФRPM配合，實(shí)現(xiàn)徑向軸承的差動(dòng)控制，保證徑向兩自由度的穩(wěn)定懸浮。軸向環(huán)形控制線圈通有軸向控制電流，與補(bǔ)償線圈產(chǎn)生的補(bǔ)償磁通合成為如圖1(c)所示的軸向控制磁通ФACM(具體補(bǔ)償原理見下文)，這一控制磁通與徑向偏置磁通ФAPM配合，實(shí)現(xiàn)軸向軸承的差動(dòng)控制，保證軸向自由度的穩(wěn)定懸浮。

圖1 CRAHMB的結(jié)構(gòu)原理示意圖

圖2(a)為軸向控制線圈通入電流后產(chǎn)生的磁通，可以看出該磁通包括兩部分，其一為穿過轉(zhuǎn)軸推力盤、用于軸向軸承懸浮控制的控制磁通ФACM1，其二為經(jīng)過徑向定子鐵心、只穿過一個(gè)軸向磁極面的漏磁通ФALM，這一漏磁通不但會(huì)造成徑向軸承偏置磁通減小，影響徑向電磁力，而且會(huì)干擾軸向軸承的穩(wěn)定控制。為此在徑向定子鐵心與軸向定子鐵心之間加一環(huán)形補(bǔ)償線圈，該線圈通入電流產(chǎn)生的磁通如圖2(b)ФBM所示，該磁通與軸向控制繞組產(chǎn)生的漏磁通相互抵消，軸向控制線圈和補(bǔ)償線圈產(chǎn)生的合成磁通如圖2(c)ФACM所示，有效消除了軸向控制線圈漏磁的影響。

圖2 補(bǔ)償原理示意圖

2 CRAHMB等效磁路模型的建立及電磁力計(jì)算

忽略定子和轉(zhuǎn)子鐵心磁阻，忽略漏磁，僅偏置磁通作用時(shí)CRAHMB整體等效磁路如圖3所示，其中Fpm為永磁體磁動(dòng)勢，Rpm、Rx+、Rx-、Ry+、Ry-、Rz+、Rz-分別為永磁體磁阻、徑向和軸向兩側(cè)氣隙磁阻，Фpm、Фxm+、Фxm-、Фym+、Фym-、Фzm+、Фzm-分別為總偏置磁通、徑向和軸向兩側(cè)氣隙偏置磁通。

圖3 僅考慮偏置磁通時(shí)CRAHMB整體等效磁路

由圖3可以得到徑向氣隙偏置磁通Фxm+、Фxm-及軸向軸承氣隙偏置磁通Фzm+、Фzm-分別表示為

(1)

圖4為僅考慮控制磁通的徑向軸承等效磁路，其中NxIx、NyIy為徑向控制線圈產(chǎn)生的磁動(dòng)勢。

圖4 僅考慮徑向控制磁通時(shí)徑向磁軸承等效磁路

設(shè)定圖4徑向磁軸承等效磁路中心節(jié)點(diǎn)磁勢為F0, 根據(jù)基爾霍夫定律，可獲得磁路方程，求出中心點(diǎn)磁勢，進(jìn)而計(jì)算出各部分徑向控制磁通[14]：

(2)

即：

(3)

其中：

R=Rx+Rx-Ry++Rx+Rx-Ry-+
Rx+Ry+Ry-+Rx-Ry+Ry-

(4)

圖5為僅考慮控制磁通和補(bǔ)償磁通、不考慮偏置磁通的軸向軸承等效磁路，其中NzIz、NbIb分別為軸向控制線圈和補(bǔ)償線圈產(chǎn)生的磁動(dòng)勢, ФZR為控制線圈和補(bǔ)償線圈共同作用時(shí)徑向定子的總磁通。

圖5 僅考慮軸向控制磁通和補(bǔ)償磁通時(shí)軸向磁軸承等效磁路

為了完全補(bǔ)償軸向軸承控制磁通所產(chǎn)生漏磁的影響，軸向控制線圈和補(bǔ)償線圈單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的通過徑向磁極的總磁通ФZRZ和ФZRB應(yīng)大小相等、方向相反，使合成磁通ФZR為零。因此控制線圈電流Ib和補(bǔ)償線圈電流Iz應(yīng)滿足以下關(guān)系：

(5)

其中：

(6)

由式(5)可得：

(7)

同時(shí)，由圖5所示的軸向磁軸承等效磁路可得軸向控制磁通為

(8)

即：

(9)

由上述計(jì)算得到的徑向、軸向兩側(cè)氣隙磁通量，可以得到徑向及軸向的電磁力Fx、Fz分別為[15]

(10)

當(dāng)轉(zhuǎn)軸位于平衡位置時(shí)，各個(gè)方向兩側(cè)氣隙的磁阻相等,各方向電磁力大小為

(11)

其中：

(12)

由上述公式可知，當(dāng)轉(zhuǎn)軸位于平衡位置時(shí)，懸浮力與控制電流程線性關(guān)系，各個(gè)方向相互之間不存在耦合，當(dāng)轉(zhuǎn)軸偏離平衡位置時(shí)，軸向控制對徑向沒有影響，但X與Y方向會(huì)存在一定的耦合，這是大多數(shù)徑向軸承固有的特性，不過在位移較小的情況下，由于氣隙兩側(cè)磁阻差距不大，相應(yīng)的電磁力與控制電流變化基本呈線性，對控制精度影響較小。

3 CRAHMB等效磁路模型的有限元分析驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述CRAHMB磁路模型建立的正確性，分別采用上述建立的磁路模型和有限元仿真兩種方法對該種磁軸承進(jìn)行分析計(jì)算。示例軸承關(guān)鍵參數(shù)為表2初始值參數(shù)，根據(jù)上述補(bǔ)償原理對補(bǔ)償線圈進(jìn)行設(shè)定。計(jì)算得到的永磁偏置磁場分布如圖6所示。鐵心中大部分區(qū)域的磁密小于0.8T，而靠近永磁體的局部磁密較高，達(dá)到了1.2T左右?？傮w而言，鐵心基本未出現(xiàn)飽和。

圖6 偏置磁通作用時(shí)徑向和軸向截面磁密云圖

兩種方法所計(jì)算的徑向和軸向的電磁力特性分別如圖7和圖8所示。由圖7和圖8可以看出：

圖7 徑向電磁力特性

圖8 軸向電磁力特性

1)磁路模型計(jì)算結(jié)果和電磁場有限元計(jì)算結(jié)果基本相符，說明了本文所建立的磁路模型的正確性，可以以該磁路模型進(jìn)行磁軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2)徑向軸承還是軸向軸承都具有良好的線性的電磁力特性，說明本磁軸承良好的性能及軸向控制磁通漏磁補(bǔ)償?shù)恼_性。

4 基于CRAHMB磁路模型的磁軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

磁軸承的體積常常受到生產(chǎn)成本和實(shí)際安裝空間的限制，而電磁力的大小也與體積密切相關(guān)，因此對磁軸承進(jìn)行徑向電磁力、軸向電磁力、體積三個(gè)方面的多目標(biāo)優(yōu)化具有重要意義。

4.1 優(yōu)化準(zhǔn)備工作

(1)優(yōu)化目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)。

徑向電磁力和軸向電磁力解析表達(dá)式如式(11)所示，其中最大控制電流仍為1A。整個(gè)軸承所占體積V為所占圓筒型空間體積，即軸承最大徑向面積乘以軸向總長度。

(2)選擇設(shè)計(jì)變量。

磁軸承設(shè)計(jì)參數(shù)如圖9所示，表1為參數(shù)與變量對應(yīng)列表。

圖9 CRAHMB的結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖

表1 CRAHMB結(jié)構(gòu)參數(shù)與變量

其中轉(zhuǎn)子鐵心外徑為固定值49 mm，平衡氣隙厚度長度為0.5 mm，徑向定子鐵心內(nèi)徑d7為50 mm。為防止軸向磁通不經(jīng)過軸向磁極，直接進(jìn)入轉(zhuǎn)軸，根據(jù)有限元設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，軸向定子內(nèi)徑d6固定為56 mm。由于電磁力大小只與d1、d2、l1、l2、d5、a這六個(gè)參數(shù)有關(guān)，因此為簡化設(shè)計(jì)，僅對這六個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其他參數(shù)可根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)預(yù)先確定。本次優(yōu)化固定軸向定子鐵心厚度l3為5 mm，l4為7 mm，推力盤厚度為6 mm，d3、d4可在設(shè)計(jì)完成后根據(jù)槽滿率確定。

(3)約束

根據(jù)體積的大小要求，能夠確定徑向定子的外徑的上限和整個(gè)磁軸承的軸向長度的上限。各個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化取值范圍可大致確定，如表2所示。

表2 設(shè)計(jì)參數(shù)初始值及范圍

本文鐵心材料的飽和磁密約為1.5T，考慮到安全裕度，最大密度限制在1.4T。軸承達(dá)到最大負(fù)載能力，偏置磁密和控制磁密約為0.7T。因此，磁通密度約束為

(13)

式中,Bpi和Bci分別是偏置磁密和控制磁密，i=x，y，z分別代表每個(gè)氣隙。Bj為各部分鐵心磁密。

槽滿率約束需滿足以下條件：

(14)

式中,n為控制線圈匝數(shù)，徑向軸向均為160匝，dc為線圈直徑0.38 mm，kc為槽滿率系數(shù)0.6。

4.2 優(yōu)化算法及流程

本文選用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行磁軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)[16]，按照Pareto 最優(yōu)原則，對徑向電磁力、軸向電磁力、體積三項(xiàng)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，采用精英歸檔策略，每個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)位置按照 Pareto 支配關(guān)系進(jìn)行更新，所有粒子的全體最優(yōu)位置從檔案庫中選取。該方法不需要加權(quán)權(quán)重，可以獲得大量優(yōu)質(zhì)的非劣解，決策者可以根據(jù)具體需求選取符合要求的滿意解，大大簡便優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)間。該MOPSO 法中，群體規(guī)模為50，最大迭代次數(shù)為100，慣性權(quán)重從 1.2 到 0.1 線性遞減，加速因子c1= 2，c2=2。采用 Matlab 進(jìn)行編程仿真。優(yōu)化算法流程如下所示[17]:

Step1: 初始化種群。給定多目標(biāo)粒子群算法的控制參數(shù)、迭代次數(shù)、群體規(guī)模，初始化粒子位置和速度，設(shè)定初始位置為最初的個(gè)體歷史最佳位置，計(jì)算初始粒子的適應(yīng)度值。

Step2：初始篩選非劣解集。在滿足所有約束的前提下，根據(jù)Pareto最優(yōu)概念從初始粒子種群中篩選出非劣解集。

Step3：更新粒子速度和位置和迭代次數(shù)。根據(jù)個(gè)體的歷史最佳位置、慣性因子和學(xué)習(xí)因子，更新粒子速度和位置。每更新一次粒子，迭代次數(shù)加1。

Step4：更新個(gè)體歷史最佳位置。根據(jù)Pareto最優(yōu)概念，判斷更新前粒子是否受到當(dāng)前粒子支配，若受支配，則更改當(dāng)前粒子位置為個(gè)體最佳歷史位置，若不受支配，則在兩者之間隨機(jī)選擇。

Step5:更新非劣解集。在滿足約束前提下，從當(dāng)前粒子中篩選非劣解加入到非劣解集中，并將其中重復(fù)粒子剔除。

Step6：判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若達(dá)到迭代次數(shù)，則輸出此時(shí)非劣解集及其適應(yīng)度值；否則返回Step3。

4.3 優(yōu)化結(jié)果分析

圖10、圖11給出了MOPSO算法獲得的徑向電磁力和軸向電磁力關(guān)于體積的Pareto最優(yōu)解前端，即非劣解集。其中每個(gè)粒子都是所占體積值下能獲得最大電磁力的最優(yōu)方案。選擇其中較有代表性的方案1和方案2與初始方案對比，對比詳細(xì)情況如表3所示。

圖10 徑向電磁力的Pareto最優(yōu)解前端

圖11 軸向電磁力的Pareto最優(yōu)解前端

表3 MOPSO優(yōu)化結(jié)果分析

由表3可以看出，方案1與初始方案體積相同，但是電磁力卻遠(yuǎn)高于初始方案，其中軸向電磁力提高61.6%，徑向電磁力提高77%。方案2與初始方案的軸向電磁力大致相同，但體積卻減少了13%，徑向電磁力也略高于初始方案。以上的方案對比證明了優(yōu)化的有效性，大大提高了設(shè)計(jì)效率。

5 結(jié) 論

本文研究了一種新型結(jié)構(gòu)的徑向-軸向組合式混合磁懸浮軸承，對于該磁軸承的結(jié)構(gòu)和工作原理進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。由于軸向控制磁通漏磁會(huì)對徑向和軸向控制的產(chǎn)生影響，選擇采用補(bǔ)償線圈對漏磁通進(jìn)行補(bǔ)償，分析了補(bǔ)償原理和補(bǔ)償線圈設(shè)定方法，建立了整個(gè)軸承的磁路模型，并基于該磁路模型對電磁力進(jìn)行了解析計(jì)算。以初始模型為例，通過有限元仿真驗(yàn)證了磁路模型的準(zhǔn)確性和補(bǔ)償線圈設(shè)定的合理性。

本文將磁軸承軸向電磁力及徑向電磁力、體積作為優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)粒子種群優(yōu)化算法對軸承的主要設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到了一系列非劣解。選擇其中具有代表性的優(yōu)化方案與初始方案對比，均獲得了較好的優(yōu)化效果，為該類磁軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析提供了新思路。