曹 磊 周澤森 楊 軍

(華中科技大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 武漢 430074)

電路模型和磁路模型是電氣工程專業(yè)課中分析解決實(shí)際問題的重要手段，在“電路理論”“電機(jī)學(xué)”課程的部分章節(jié)里有所提及。但由于缺乏系統(tǒng)地論述，學(xué)生對于兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系掌握不夠透徹。眾所周知，電路和磁路有共通性，比如電動勢和磁動勢、電流和磁通，電阻和磁阻，以及相應(yīng)的歐姆定律、基爾霍夫定律等。但兩者又有差異性，比如電路中電阻通常是恒定的，而磁路中磁阻存在飽和效應(yīng)。在變壓器中，電路和磁路的關(guān)系能夠得到較好體現(xiàn)，本文以一種具有特殊結(jié)構(gòu)的變壓器(絕緣磁芯變壓器)為例，充分利用磁路與電路之間的對偶性，系統(tǒng)地建立其等效電路模型，用于電壓和電流分析。通過這一案例，學(xué)生能夠深入理解并利用對偶性解決實(shí)際問題。

1 絕緣磁芯變壓器

在工業(yè)輻照用低能電子加速器中，絕緣磁芯變壓器作為穩(wěn)定、高效的電源，將低壓交流信號升壓后輸出，再經(jīng)整流后串聯(lián)，從而獲得直流高壓(幾百千伏)，用于加速電子，具有高效、安全、緊湊的特點(diǎn)。不失一般性，本文以含兩個磁芯柱(記為A和B)的絕緣磁芯變壓器為例進(jìn)行討論，其二維剖面結(jié)構(gòu)如圖1所示。初級線圈P排列在最下方，次級線圈S由下到上依次排列，為簡化磁路以及相應(yīng)的電路規(guī)模，本文以只含有兩個次級線圈的變壓器為例進(jìn)行分析(同時忽略了整流電路部分)。圖中φAmp、φBmp分別表示兩磁芯柱初級線圈周圍處的磁通，φAm1、φAm2、φBm1、φBm2分別表示各次級線圈周圍的磁通，φAs1、φAs2、φBs1、φBs2分別表示空氣中不同位置處的漏磁通。相鄰磁芯通過絕緣材料分隔(陰影部分)。由于絕緣層材料的相對磁導(dǎo)率為1，與同樣尺寸的磁芯材料相比，絕緣層具有高的磁阻，引起磁動勢下降，從而產(chǎn)生一部分的漏磁損耗(相對較大)。另一方面，與傳統(tǒng)變壓器一樣，主磁通流經(jīng)各次級磁芯時也會產(chǎn)生漏磁損耗(相對較小)。因此，該變壓器中包含了兩種不同類型的漏磁，是學(xué)生學(xué)習(xí)磁路-電路對偶特性典型代表。

圖1 絕緣磁芯變壓器的二維剖面結(jié)構(gòu)

本文針對絕緣磁芯變壓器設(shè)計過程中的實(shí)際問題：已知絕緣磁芯變壓器的尺寸、材料、線圈參數(shù)以及初級線圈所接交流電壓源參數(shù)，如何計算得到各次級線圈在空載及有載情況下的輸出電壓？對于這一電參數(shù)問題的直接求解，從理論上來說需要建立其電路模型，然后利用合適的電路分析方法進(jìn)行求解。然而，該變壓器存在兩種不同種類的漏磁，直接建立電路模型比較困難。本文依據(jù)磁力線分布特點(diǎn)，先建立等效磁路模型，然后利用磁路與電路之間的對偶性原理，最終變換得到電路模型。

2 磁路模型

首先對圖1所示絕緣變壓器中的磁通分布進(jìn)行分析，從而推導(dǎo)其磁路模型。在磁芯柱A對應(yīng)的初級線圈P處施加勵磁電流后，磁力線會依次經(jīng)過次級線圈S1、S2，最后經(jīng)過上磁軛后回到下磁軛完成閉合。需要指出的是，不同磁芯之間的線圈以及相同磁芯線圈之間的漏磁通具有交聯(lián)部分，因此這部分漏磁通對應(yīng)的漏電感是相互耦合的。根據(jù)磁通分布，可以直接畫出其等效磁路模型，如圖2所示。其中，RAm、RBm是初級繞組產(chǎn)生的勵磁阻，RAg1、RAg2、RBg1、RBg2分別是由相應(yīng)氣隙及周圍磁芯帶來的等效漏磁阻，RAs1、RAs2、RBs1、RBs2是傳統(tǒng)變壓器中普遍存在的相鄰線圈之間的等效漏磁阻，RAB是A和B磁芯柱最上層的兩個次級線圈之間的等效漏磁阻。NApIAp和NBpIBp分別是A、B兩磁芯柱初級線圈產(chǎn)生的磁動勢，相應(yīng)的NA1IA1、NA2IA2、NB1IB1、NB2IB2是各次級線圈磁動勢。磁路中各磁動勢和磁阻之間的串、并聯(lián)關(guān)系可以根據(jù)磁力線的走向直接得到?？梢钥闯觯^緣磁芯變壓器的等效磁路模型是磁動勢先串聯(lián)氣隙漏磁阻(或勵磁阻)再并聯(lián)相鄰線圈漏磁阻，如此往復(fù)。

3 等效電路模型

“電路理論”中關(guān)于電路的對偶特性有相關(guān)論述，其中之一是結(jié)點(diǎn)和網(wǎng)孔的拓?fù)鋵ε夹訹1]。借鑒該方法，對圖2中的磁路模型進(jìn)行處理，其中有6個獨(dú)立網(wǎng)孔，分別編號為1～6，如圖3(a)所示。該方法的具體過程如下：

第一步：拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的對偶變換，將6個獨(dú)立網(wǎng)孔轉(zhuǎn)換為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)。已知具有n個結(jié)點(diǎn)的電路，其中的任意n-1個結(jié)點(diǎn)是相互獨(dú)立的[2-3]，因此除了6個獨(dú)立網(wǎng)孔外，還需要選取一個非獨(dú)立網(wǎng)孔。這里選擇最外圍的回路(虛線所示)。通過網(wǎng)孔到結(jié)點(diǎn)的對偶變換得到的磁路無向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)共含有7個結(jié)點(diǎn)，如圖3(b)所示，其中結(jié)點(diǎn)7通常選為參考結(jié)點(diǎn)。

第二步：根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)確定關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)之間的元件。在圖3(a)中用一條線連接任意兩結(jié)點(diǎn)，要求該線通過且僅通過一個磁路元件，將該磁路元件放置在圖3(b)相應(yīng)的兩結(jié)點(diǎn)之間。該操作使得原先并聯(lián)(串聯(lián))的元件連接形式拓?fù)鋵ε甲儞Q為串聯(lián)(并聯(lián))的形式，最終可以得到圖3(c)所示的拓?fù)渥儞Q后的磁路模型。

第三步：磁路變量(元件)的對偶變換。將磁路中的磁阻變?yōu)榇艑?dǎo)、磁導(dǎo)變?yōu)榇抛?，磁勢變?yōu)榇磐ǎ磐ㄗ優(yōu)榇艅?，圖3(c)的磁路模型變換后的結(jié)果如圖3(d)所示。

第四步：磁通(電流)歸一化。已知實(shí)際的初級線圈端口輸入電流為IAp，而現(xiàn)有磁路模型中輸入磁通為NApIAp，因此需將圖3(d)中的磁通NApIAp除以初級線圈匝數(shù)NAp。為保證磁路中各支路端口特性不變，所有源支路磁動勢不變，磁通均除以NAp，所有磁阻均乘以NAp，結(jié)果如圖3(e)所示。

第五步：磁勢(電壓)歸一化。已知實(shí)際的初級線圈端口電壓為VAp，與磁路中的磁鏈ΨAmp有關(guān)。為獲得ΨAmp，將初級線圈兩端的磁勢φAmp乘以NAp變成磁鏈ΨAmp。同樣為了保證各支路端口特性不變，所有源支路的磁通不變，磁動勢均乘以NAp，所有磁阻均乘以NAp，結(jié)果如圖3(f)所示。

圖2 絕緣磁芯變壓器A、B兩磁芯柱的等效磁路模型

(a) 對磁路模型中的網(wǎng)孔進(jìn)行編號

(b) 網(wǎng)孔-結(jié)點(diǎn)變換后的無向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

(c) 確定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)之間的元件

(d) 磁路參量的對偶變換

(e) 磁通(電流)歸一化

(f) 磁勢(電壓)歸一化

(g) 對偶變換后的電路模型圖3 利用磁路-電路對偶變換將磁路轉(zhuǎn)換為電路的過程

現(xiàn)在可以回答前文提出的問題：在已知磁元件參數(shù)的情況下，能夠利用磁路與電路的對偶變換得到電路模型，從而計算出各次級輸出電壓。需要指出的是，絕緣磁芯變壓器中漏磁通有交聯(lián)部分，因此漏電感之間是相互耦合的。電路模型中的全部元件參數(shù)(包括互感)均可以通過磁場仿真或者開路/短路試驗(yàn)準(zhǔn)確獲得，這超出了本文的討論范圍。

3 結(jié)語

本文利用磁路與電路的對偶性，以絕緣磁芯變壓器為例，建立了由電感和理想變壓器構(gòu)成的等效電路模型，總結(jié)如下：

(1)與電路一樣[5-6]，磁路元件和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也滿足對偶關(guān)系，例如磁阻和磁導(dǎo)、磁動勢與磁通、結(jié)點(diǎn)和網(wǎng)孔、串聯(lián)與并聯(lián)等；

(2)磁路和電路之間的對偶性體現(xiàn)在：磁路中的磁鏈對偶變換為穩(wěn)態(tài)電路中的電壓；磁路中的磁通對偶變換為電路中相同大小的電流；磁路中的磁阻對偶變換為電路中的電感。以磁路模型為基礎(chǔ)，本文利用通用、系統(tǒng)的磁路-電路對偶變換方法，得到絕緣磁芯變壓器的等效電路模型，該方法同樣適用于其他類型的平面磁路結(jié)構(gòu)，是學(xué)生掌握電路對偶、磁路對偶以及磁路和電路之間的對偶性的典型案例。