朱潔芬

摘? 要：“角的度量”是小學(xué)數(shù)學(xué)技能習(xí)得與掌握中公認(rèn)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。主要問題還是源于理解的膚淺與狹隘，僅僅關(guān)注操作程序的記憶。小學(xué)數(shù)學(xué)中技能的習(xí)得與掌握，需要聚焦其背后賴以支撐的知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)原理乃至哲學(xué)本質(zhì)。可以通過巧織結(jié)構(gòu)、妙聯(lián)原理、直通本質(zhì)等策略，揭示其背后蘊(yùn)藏的測(cè)量結(jié)構(gòu)、測(cè)度原理、數(shù)學(xué)本質(zhì)等，促進(jìn)技能的大跨度遷移、規(guī)則的自主建構(gòu)與深度反思等，從而讓技能習(xí)得與思維培養(yǎng)同步推進(jìn)。

關(guān)鍵詞：角的度量;巧織結(jié)構(gòu);妙聯(lián)原理;直通本質(zhì)

“角的度量”是小學(xué)數(shù)學(xué)技能習(xí)得與掌握中公認(rèn)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。相對(duì)于長(zhǎng)度、面積的測(cè)量來說，由于經(jīng)驗(yàn)缺乏，加之工具和方法也比較復(fù)雜，學(xué)生常常不能真正掌握其要領(lǐng)，學(xué)習(xí)效果很不理想。

筆者在對(duì)“角的度量”教學(xué)進(jìn)行研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)上述問題主要還是源于理解的膚淺與狹隘，即僅僅關(guān)注有關(guān)操作程序的記憶，忽視了相關(guān)規(guī)則的深度理解。筆者認(rèn)為，該技能的習(xí)得與掌握，需要聚焦其背后賴以支撐的知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)原理乃至哲學(xué)本質(zhì)。該技能的深度學(xué)習(xí)，可以從以下幾方面入手。

一、巧織結(jié)構(gòu)促遷移

對(duì)于“角的度量”教學(xué)來說，難點(diǎn)很多，如單位、工具、方法等。就有可能要仔細(xì)思考，到底在哪個(gè)點(diǎn)上著力才能取得牽一發(fā)而動(dòng)全身的效果呢？對(duì)此，不同的教師有不同的實(shí)踐。有的認(rèn)為工具特別，著力于工具的理解;有的認(rèn)為單位重要，著力于單位的建構(gòu);有的認(rèn)為程序復(fù)雜，著力于規(guī)則的記憶，等等。然而，從現(xiàn)場(chǎng)效果來看，這些嘗試似乎都不盡如人意，多數(shù)教得很費(fèi)力，學(xué)得也很吃力，面對(duì)變式時(shí)更是不知所措。

不久前，筆者觀看了福建林宏濱老師關(guān)于“角的度量”的教學(xué)視頻，不禁讓筆者眼前一亮。林老師首先在黑板上給學(xué)生出示了一組圖形：一條線段、一個(gè)長(zhǎng)方形、一個(gè)銳角，讓學(xué)生依次說出它們的名稱。然后指著線段圖提問：要知道它的長(zhǎng)度是多少怎么辦？在學(xué)生回答“用尺子量”后，隨即在黑板上板書：量。不過，接下去林老師并未出示直尺，而是呈現(xiàn)了一個(gè)1分米的線段教具，在未知線段上量了4次，得到4分米的結(jié)果。以此類推，又用1平方分米的教具在未知長(zhǎng)方形上測(cè)量了3次，呈現(xiàn)3平方分米的結(jié)果。接著面臨角的時(shí)候，學(xué)生很快知道角的大小同樣需要“量”。在林老師要求學(xué)生比畫出單位的時(shí)候，大多數(shù)學(xué)生都比出了角的形狀，還能借助老師提供的10度小角輕松估測(cè)出一些整十?dāng)?shù)角的大小，有的還主動(dòng)聯(lián)想到用量角器去測(cè)量驗(yàn)證。更令人驚喜的是，在后續(xù)使用量角器的過程中，大多數(shù)學(xué)生還能自主否決頂端對(duì)齊的擺法，總結(jié)出“二重合”的規(guī)則。

“角的度量”之所以成為學(xué)習(xí)難點(diǎn)，是因?yàn)閷W(xué)生日常生活中對(duì)角的度量的經(jīng)驗(yàn)很貧乏，而從線段度量到角的度量的跨度又比較大。上述教學(xué)在沒有揭示角的度量單位、工具與規(guī)則的前提下，學(xué)生能自主類推、修正、建構(gòu)，其實(shí)是源于林老師教材處理的結(jié)構(gòu)化意識(shí)，將過去所學(xué)的線段測(cè)量、面積測(cè)量等看似很不相關(guān)的規(guī)則，基于“測(cè)量”背景，重新組織成一個(gè)有序的結(jié)構(gòu)，同時(shí)輔以精心選擇的教具和精心設(shè)計(jì)的提問，讓學(xué)生感受到各種“量”不再是一個(gè)個(gè)孤立的技巧，而是一個(gè)有著內(nèi)在統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)，正是這種結(jié)構(gòu)的編織與顯性化，促進(jìn)了數(shù)學(xué)技能的大跨度遷移。

二、妙聯(lián)原理建規(guī)則

著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授在談長(zhǎng)度測(cè)量問題時(shí)曾經(jīng)指出，測(cè)量不僅僅是拿刻度尺去量一條線段的長(zhǎng)短（那屬于物理學(xué)范圍），數(shù)學(xué)測(cè)量的本質(zhì)是給每一條線段以合適的數(shù);這個(gè)數(shù)的指定方法必須滿足“有限可加性”“運(yùn)動(dòng)不變性”和“正則性”三個(gè)條件。這就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的測(cè)度理論。張教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)意義下的測(cè)量過程，雖不必把測(cè)度論的那一套搬到課堂上，但應(yīng)該想方設(shè)法把這一套思想方法深入淺出地呈現(xiàn)出來。否則，不能算是理解了測(cè)量的數(shù)學(xué)本質(zhì)。可喜的是，張教授的倡導(dǎo)正進(jìn)入“數(shù)學(xué)教學(xué)圈中人”的視野。

我們不妨還是來看看林老師的教學(xué)。在認(rèn)識(shí)角的單位時(shí)，他把一個(gè)周角平均分成了36份，得到36個(gè)10度小角，其中第1份小角又被分成10個(gè)1度的小角。在學(xué)生認(rèn)識(shí)1度的角以后，林老師指著由10個(gè)1度組成的角，讓學(xué)生說說這個(gè)角是多少度。第一位學(xué)生明顯遇到了困難，其他學(xué)生經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的思考，終于認(rèn)識(shí)到這是10度。不過深諳測(cè)度論的林老師知道這是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“有限可加性”的時(shí)機(jī)，于是追問：為什么是10度？引導(dǎo)學(xué)生理解這是因?yàn)樗怯?0個(gè)1度累加起來的。接著林老師引導(dǎo)學(xué)生逆時(shí)針觀察36份中的第4份小角（尚未像第1份那樣被分成10個(gè)1度小角），讓學(xué)生說說這個(gè)角是多少度，結(jié)果學(xué)生遇到的困難更大了，不少學(xué)生認(rèn)為這是40度！為了讓學(xué)生理解更為深?yuàn)W的“運(yùn)動(dòng)不變性”，林老師改為讓學(xué)生做選擇：這個(gè)角到底是40度還是10度？學(xué)生們豁然開朗：它還是10度，仍然是由10個(gè)1度角累加起來的，只是相當(dāng)于第一份10度的小角移動(dòng)了位置而已。

接下去林老師將上面背景中第一份10度小角留下，在它的左上方另呈現(xiàn)一個(gè)30度的角，基于上面的測(cè)量結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，學(xué)生很快知道可以用10度小角去量，很容易看出它有3個(gè)10度，所以是30度。然后，林老師讓學(xué)生估計(jì)黑板上最先呈現(xiàn)的那個(gè)銳角，學(xué)生也能輕松想到用10度小角去量，有的還想到了用量角器。于是林老師讓學(xué)生簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)了一下量角器，就讓學(xué)生自己嘗試量角了。

根據(jù)課堂巡察，林老師選擇以下兩種通過投影同屏呈現(xiàn)：第一種是角的頂點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)0度刻度線左端的;第二種是標(biāo)準(zhǔn)量法。先讓學(xué)生自主比較、做出判斷、說明理由。雖然學(xué)生對(duì)量角器很不熟悉，但借助10度小角這一獨(dú)特的測(cè)量工具和對(duì)“有限可加性”的理解，很多學(xué)生居然能很輕松地發(fā)現(xiàn)第二種量法是正確的，有的還能對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量法進(jìn)行一些零星總結(jié)：比如角的頂點(diǎn)與量角器的中心重合，零度刻度線與角的一條邊重合，測(cè)量的結(jié)果要注意在內(nèi)外圈中選一個(gè)，等等。至于為什么要這么做還說不太清楚。

接下去林老師呈現(xiàn)“二重合”背景下向左或向右開口的40度、120度、130度等大小不同的整十?dāng)?shù)度數(shù)的角，學(xué)生都能輕松應(yīng)對(duì)，并借助10度小角進(jìn)行解釋。隨著速度的加快，學(xué)生不得不扔掉10度小角的協(xié)助，直面兩圈讀數(shù)的選擇……終于有學(xué)生出錯(cuò)了！不過，借助10度小角，他們還是能很快自主解釋錯(cuò)誤的理由并修正。有學(xué)生還找到了選擇的竅門——看用的是哪條0度刻度線。

最后，林老師讓學(xué)生用量角器獨(dú)立量一個(gè)110度的鈍角，大部分學(xué)生都能量對(duì)，但有一個(gè)學(xué)生量出了140度！不過，立即有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這種量法也是可以的！只是這種量法還要減，不夠簡(jiǎn)便;只有“二重合”才是最簡(jiǎn)便的。于是，學(xué)生又理解了即使使用量角器量角，方法也可以是多樣的。

林老師“四兩撥千斤”的教學(xué)讓我們發(fā)現(xiàn)，有測(cè)度原理打底，無須先認(rèn)識(shí)量角器再去量角，二者完全可以同步推進(jìn)，相輔相成，最終實(shí)現(xiàn)量角器的自主認(rèn)識(shí)和量角規(guī)則的自主建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效率的顯著提升。

三、直通本質(zhì)啟哲思

“角的度量”教學(xué)是否還有更高的境界？在數(shù)學(xué)教學(xué)期刊上，筆者看到浙江的俞正強(qiáng)老師作為“數(shù)學(xué)教學(xué)圈中人”的高手，為我們做過一次極為與眾不同的嘗試。

在引入階段，俞老師出示了下面五個(gè)角的圖形：0度、45度、90度、135度、180度，從小到大依次編號(hào)排成一行予以呈現(xiàn)，每個(gè)角還刻意凸顯了它們的頂點(diǎn)和邊。先引導(dǎo)觀察：哪個(gè)角最大？哪個(gè)角最小？再引發(fā)思考：如果用一個(gè)數(shù)來表示每個(gè)角的大小，你會(huì)用哪個(gè)數(shù)來表示？基于熟知的特殊角的引領(lǐng)，學(xué)生居然能輕松完成“賦形以數(shù)的創(chuàng)舉”。

接著，讓所有人想不到的是，俞老師還給出了下面的問題：“②號(hào)角”用10度表示可以嗎？超越常理的提問，迅速激起了思維的狂浪。經(jīng)過激烈討論，終于有學(xué)生理解了數(shù)學(xué)“賦形以數(shù)”的約定性、標(biāo)準(zhǔn)的相對(duì)意義和價(jià)值等，從而實(shí)現(xiàn)“賦形以數(shù)”的再次飛躍。

然后，俞老師又把上面五個(gè)角標(biāo)上刻度合在一起，建構(gòu)成一個(gè)類似量角器的圖形，在它的旁邊出示一個(gè)未知的“⑥號(hào)角”。學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)，只要把這個(gè)角放進(jìn)上面的背景圖形中，大體能估量出它的范圍;只不過放入的時(shí)候要頂點(diǎn)對(duì)著中心點(diǎn)，一邊對(duì)著0度刻度線等。

最后，俞老師讓學(xué)生取出單圈、雙圈量角器量角，學(xué)生均能無師自通，想到此時(shí)要反過來，只要用可移動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)——量角器去比未知的角就可以了。

俞老師的成功之處在于完全跳過了量角器的認(rèn)識(shí)，直通測(cè)量的本質(zhì)——測(cè)度原理，顯然，這樣的教法有利于避免物理性測(cè)量可能產(chǎn)生的感性迷惑，直接抵達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)把握。

在研究此案例的過程中，筆者還發(fā)現(xiàn)，上海的潘小明老師還曾讓學(xué)生去量鐘面上的時(shí)針和分針形成的角，除了“量”，不少學(xué)生還想到了“算”，感受算法的精確性。對(duì)此，筆者還曾組織學(xué)生開展過進(jìn)一步的討論：如果“量”與“算”的結(jié)果不一致，你更愿意相信哪一個(gè)結(jié)果？有些學(xué)生還能初步感悟到數(shù)學(xué)結(jié)論的可靠性與其他自然科學(xué)在本質(zhì)上的不同。

諸多成功案例啟示我們，對(duì)于“角的度量”這種復(fù)雜的數(shù)學(xué)技能學(xué)習(xí)來說，如果能適時(shí)適度揭示其背后蘊(yùn)藏的測(cè)量結(jié)構(gòu)、測(cè)度原理、數(shù)學(xué)本質(zhì)，就能有效地促進(jìn)小學(xué)生對(duì)該技能的理解，從而有效地推動(dòng)該技能的習(xí)得與掌握。由此觀之，其他技能學(xué)習(xí)實(shí)際上也離不開理解的參與。只有基于理解的技能學(xué)習(xí)才能讓小學(xué)生走進(jìn)“自能”“自得”的學(xué)習(xí)境界。當(dāng)然，這樣的理解到底應(yīng)該定位于怎樣的深度和層次，教師可以依據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和理解力做出合理的選擇。那種僅僅局限于規(guī)則記憶、反復(fù)操練的技能學(xué)習(xí)，不利于技能的習(xí)得，更不利于思維的激發(fā)與培養(yǎng)。