張 琪，陳曉燕，朱元國(guó)

(南京理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210094)

近年來(lái)，隱藏行為的研究文獻(xiàn)主要是在奈特不確定下，即產(chǎn)出的分布具有模糊不確定的框架下對(duì)委托代理的最優(yōu)契約問(wèn)題進(jìn)行研究. 2002年Chen 和Epstein[1]利用倒向隨機(jī)微分方程和等價(jià)概率測(cè)度，在連續(xù)時(shí)間模型下考慮了產(chǎn)出存在均值模糊的情況，指出委托人和代理人在模糊厭惡的態(tài)度下會(huì)選擇相同的最悲觀(guān)的概率測(cè)度或分布.2008年Epstein和Schneider[2]在離散時(shí)間模型下考慮了產(chǎn)出方差的模糊情況，通過(guò)假定工資是產(chǎn)出的線(xiàn)性函數(shù)，給出不同代理人在模糊厭惡下也會(huì)選擇相同的最悲觀(guān)的概率測(cè)度或分布. 2010年Weinschenk[3]在離散時(shí)間下同樣假定工資為產(chǎn)出的線(xiàn)性函數(shù)，考慮委托人和代理人具有相同的模糊厭惡態(tài)度.結(jié)論是，若產(chǎn)出只有均值(或方差)模糊，那么委托人和代理人會(huì)選擇相同的最悲觀(guān)的概率測(cè)度或分布.但是，當(dāng)產(chǎn)出的均值和方差聯(lián)合模糊時(shí)，該文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)委托人和代理人可能會(huì)選擇不同的概率測(cè)度或分布.2015年Miao和Rivera[4]考慮了連續(xù)時(shí)間情況下產(chǎn)出具有均值模糊的委托代理問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)契約是激勵(lì)與模糊分擔(dān)之間的一種權(quán)衡. 2018年Sung[5]在連續(xù)時(shí)間模型下，在均值方差聯(lián)合模糊不確定的基礎(chǔ)上，考慮了對(duì)產(chǎn)出的均值的控制.該文獻(xiàn)給出了最優(yōu)工資方案是產(chǎn)出和產(chǎn)出的可驗(yàn)證方差的線(xiàn)性函數(shù)，并證明了委托人和代理人在同樣模糊厭惡的情況下會(huì)選擇相同先驗(yàn)的概率測(cè)度或分布. 在該文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，2018年ChenX[6]通過(guò)假設(shè)工資為產(chǎn)出和產(chǎn)出的可驗(yàn)證方差的線(xiàn)性函數(shù)，論證了委托人和代理人在模糊厭惡態(tài)度下會(huì)選擇相同的均值和方差所對(duì)應(yīng)產(chǎn)出的先驗(yàn)概率分布，并證明了績(jī)效工資敏感度貝塔是隨預(yù)測(cè)的產(chǎn)出波動(dòng)率遞減的，這與1999年Aggarwal和Samwick[7]的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)一致.

本文主要是在均值方差聯(lián)合模糊不確定的基礎(chǔ)上，考慮對(duì)均值和方差均有控制，給出了契約形式.結(jié)果表明，考慮第一最優(yōu)契約問(wèn)題時(shí)，委托人與代理人關(guān)于最糟糕的先驗(yàn)選擇是能達(dá)成一致的，且模糊與控制并不會(huì)影響產(chǎn)出的風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)和模糊補(bǔ)償.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 模型

在分析合約問(wèn)題之前，定義如下的Hamiltonians式子.對(duì)于((e,μ,ν),β,θ,t,Y)∈U×Dt(Y)×R×R×[0,1]×Ω,HA(μ,ν;e,β,θ;t,Y)=-c(e,t,Y)+φA(μ,ν;e,β,θ;t,Y),

且對(duì)于(e,β,θ,(μP,νP),p,t,Y)∈U×R×R×Dt(Y)×R×[0,1]×Ω,

HP(μP,νP;e,β,θ;p,t,Y)= -c(e,t,Y)+φP(μP,νP;e,β,θ;p,t,Y)+

本文所要解決的最優(yōu)問(wèn)題的一般形式為如下問(wèn)題：

(1)

s.t.dYt=f(u,v,t,Y)dt+σ(u,v,t,Y)dBu,v,

其中，g,q,h,f,σ為實(shí)值函數(shù)，使得g,q,h,f:U×D×[0,1]×Ω→R,σ:U×D×[0,1]×Ω→R+

Ho表示如下的Hamiltonian式子：對(duì)于所有的(ut,vt,p,t,Y)∈Ut(Y)×Dt(Y)×R×[0,1]×Ω,

(2)

1.2 假設(shè)條件

注：在本文中，Pu,v=Pe,v=Pe,μ,ν.

假設(shè)4假設(shè)f,σ,c分別關(guān)于(e,μ,ν),(e,ν),e是連續(xù)可微的；f,c,σ關(guān)于e嚴(yán)格遞增，σ關(guān)于ν嚴(yán)格遞增.

注：Ee,μ,ν表示測(cè)度Pe,μ,ν(Pe,v)下的期望算子，記為Ee,v；Ee,ν表示測(cè)度Pe,ν下的期望算子，記為Ee,ν.

2 容許合約的表示形式

(3)

因此，由測(cè)度變換可知，代理人的期望效用等價(jià)于

s.t.dYt=σ(et,νt,t,Y)dWt,

(4)

(6)

3 第一最優(yōu)契約問(wèn)題

問(wèn)題1(第一最優(yōu))委托人與代理人通過(guò)解決下面的問(wèn)題來(lái)簽訂一份合約.

約束(ⅱ)使得代理人選擇最糟糕的模糊參數(shù)過(guò)程.約束(ⅲ)可以保證代理人的參與，即達(dá)到他的保守效用.

(8)

證明(1)求出關(guān)于問(wèn)題1的Hamiltonian式子

類(lèi)似于文獻(xiàn)[5]定理3的證明，問(wèn)題1的后兩個(gè)約束條件可以被替換為如下的約束條件：

(9)

因此，委托人的問(wèn)題可以被等價(jià)地表示為如下形式：

(2) 求出最優(yōu)化問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的一階條件

由于φA和φP都是連續(xù)可微的且Dt(Y)滿(mǎn)足KKT(Karush-Kuhn-Tuckler)約束條件，因此,關(guān)于(μ,ν)的一階條件是委托人和代理人的最優(yōu)化問(wèn)題的必要條件，且運(yùn)用包絡(luò)定理得到關(guān)于(e,β,θ)的一階條件，如下：

(10)

(11)

(12)

(3)具體分析，并給出最優(yōu)解

(13)

(14)

(15)

(16)

那么，委托人和代理人問(wèn)題關(guān)于(μ,ν)的一階條件如下：存在拉格朗日乘子λPt,λAt≥0,使得

(17)

(18)

λPtπ=0,π≥0

(19)

βtfμ+λAt(-πμ)=0

(20)

(21)

λAtπ=0,π≥0

(22)

根據(jù)θt=0且βt滿(mǎn)足式(13)，最糟糕的先驗(yàn)選擇最小化φA和φP等價(jià)于解決式(8).由此可以得到定理2所給出的最優(yōu)契約的形式.命題得證.

4 結(jié)論

通過(guò)考慮產(chǎn)出的均值和方差具有模糊和控制時(shí)，定理1給出了最優(yōu)契約形式.結(jié)果表明，在定理1所給出的最優(yōu)契約形式下，考慮第一最優(yōu)契約問(wèn)題時(shí)，委托人與代理人關(guān)于最糟糕的先驗(yàn)選擇是能達(dá)成一致的，且模糊與控制并不會(huì)影響風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)和模糊補(bǔ)償.因此，在考慮第一最優(yōu)契約問(wèn)題時(shí)，不需要考慮對(duì)產(chǎn)出均值和方差的模糊及控制，只需要考慮產(chǎn)出的風(fēng)險(xiǎn)不確定性，這大大簡(jiǎn)化了第一最優(yōu)契約的模型.